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| Aufgabe | | Gegeben ist ein Rechteck mit den Seiten a und b. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 25cm². Gesucht sind die Seitenlängen dieses Rechtecks bei minimalem Umfang. |
Guten Tag,
Die Seitenlängen sind Unbekannt. Es gibt also Bedingungen:
Hauptbedingung: 2a + 2b = U
Nebenbedingung: a * b = 25
Nun haben wir es im Unterricht folgendermaßen gelöst:
Nebenbedingung umformen:
a = [mm] \bruch{25}{b}
[/mm]
=> In die Hauptbedingung einsetzen
2 * [mm] \bruch{25}{b} [/mm] + 2b = U
[mm] \bruch{50}{b} [/mm] + 2b = U
=> entspricht:
50 * [mm] b^{-1} [/mm] + 2b = U
=> nun haben wir abgeleitet:
U'(b) = - [mm] \bruch{50}{b^{2}} [/mm] + 2
=> Null setzen
0 = - [mm] \bruch{50}{b^{2}} [/mm] + 2 | -2
-2 = - [mm] \bruch{50}{b^{2}} [/mm] | Kehrwert
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = - [mm] \bruch{b^{2}}{50} [/mm] | * (-50)
25 = [mm] -b^{2} [/mm] | Wurzel ziehen
5 = b
=> Demnach ist eine Seite b und beim Einsetzen in die Hauptbedingung fällt auf, dass auch a=5 sein muss. Der Umfang beträgt demnach 2*5 + 2*5 = 20cm.
Soweit so gut, nun liegt meine Frage im Verständnis der Aufgabe. Der Lehrer ist nämlich etwas an seine Grenzen gestoßen, als ich ihn damit konfrontiert habe. Ich möchte wissen welchen Zusammenhang es zwischen der Ableitung und dem geringst-möglichem Umfang gibt ?
Klar ist, dass es nur in einem Quadrat den Fall gibt, dass der Umfang so gering wie möglich ist. Dies sollen wir aber mit der Ableitung beweisen, denn uns ist es nicht gestattet, dies als Voraussetzung einfach anzunehmen. Ich hoffe es kann jemand Licht ins Dunkle bringen.
Mfg
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Hallo!
So ganz klar ist mir deine Frage auch nicht.
Um das Extremum einer Funktion zu finden, berechnet man nunmal die Nullstellen der Ableitung.
Deine Funktion lautet hier:
[mm] U(b)=\frac{50}{b}+2b
[/mm]
Oder ist es dir lieber, wenn sie
[mm] f(x)=\frac{50}{x}+2x [/mm]
hieße?
Der Zusammenhang ist nun einfach: Ist die Ableitung von f(x) bzw. U(b) gleich 0, ist bei diesem x bzw. b eine Extremstelle.
Was im Prinzip noch fehlt ist der Nachweis, daß es sich tatsächlich um ein Minimum handelt. Das läßt sich aber leicht argumentieren: Pol bei x=0, Funktion kommt für x>0 aus dem positiv unendlichen und tangiert dann gegen die Funktion 2x. Da kann nur ein Minimum zwischen liegen.
Vermutlich hast du hier ein Problem damit, den Transfer von dem recht abstrakten f(x) bisheriger Aufgaben auf praktische Aufgaben zu vollziehen. Da ist aber auch nicht klar, wo es bei dir genau hakt.
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Hallo!
Danke für deine Antwort, ich habe den Graphen über einen Plotter anzeigen lassen und kann so ganz genau verstehen was du meinst. Ist ja auch logisch!
Was ich wohl schlecht ausgedrückt habe ist, dass ich es nicht verstehe, wie mann von dem Extremwert entnehmen kann, dass er sich tatsächlich auf den Umfang des Quadrats bezieht. Ich bekomm keine Verbindung zwischen der Kurve und dem geometrischem Körper, also dem Rechteck. Oder anders gefragt: Kann ich auf eine ähnliche Art und Weise auch errechnen, wie lang die Seitenlängen sein müssen, damit ich den maximalen Umfang erreiche ?
Dieser ist nämlich nach etwas Testen gar nicht so einfach zu ermitteln, denn er dürfte gegen Unendlich gehen, eine rationale Zahl kann also kaum die Lösung sein. Trotzdem: Warum lässt sich der Umfang des Rechtecks durch eine Ableitung errechnen ? Oder klappt dass in diesem Beispiel nur zufällig, weil es sich eben um ein Quadrat handelt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Do 27.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Du hast eine Funktion U(b). Diese gibt Dir den Umfang des Rechtecks an, abhängig davon, wie Du b gewählt hast. Also: einen Wert von b einsetzen, damit den Umfang ausrechnen. Das hast Du auch gemacht.
Wenn Du die Ableitung berechnest, dann berechnest Du einen Proportionalitätsfaktor (Geradensteigung).
Um wieviel nimmt U zu, wenn b um einen bestimmten Betrag zunimmt. Das stimmt nicht genau, weil U(b) ja keine Gerade ist. Das ist aber der Trick mit der Ableitung, dass es durch diese Näherung mit der Geraden übersichtlich wird. Wenn Du nun weißt, dass U zunimmt, wenn b zunimmt, dann ist klar, dass Du ein kleineres b suchen musst, denn U soll ja möglichst klein werden. Wenn nun der Fall eintritt, dass U zunimmt, wenn b abnimmt, dann ist auch klar, dass Du zu weit gegangen bist, denn U wird in der Richtung schon wieder größer. Also wieder zurück, bis zu der Stelle, an der U gerade weder zu- noch abnimmt, wenn b sich ändert. Das ist U'(b) = 0.
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> Danke für deine Antwort, ich habe den Graphen über einen
> Plotter anzeigen lassen und kann so ganz genau verstehen
> was du meinst. Ist ja auch logisch!
>
> Was ich wohl schlecht ausgedrückt habe ist, dass ich es
> nicht verstehe, wie mann von dem Extremwert entnehmen kann,
> dass er sich tatsächlich auf den Umfang des Quadrats
> bezieht.
Weil Du aus der Kurve für einen Wert von b den Wert für U ablesen kannst. Das es gerade ein Quadat wird, findest Du erst heraus, wenn Du auch a berechnest. Das ein Quadrat herauskommt, liegt an der speziellen Fragestellung. Nimm eine Seite weg, weil da schon eine Wand steht, dann wird es auch kein Quadrat.
> Ich bekomm keine Verbindung zwischen der Kurve und
> dem geometrischem Körper, also dem Rechteck. Oder anders
> gefragt: Kann ich auf eine ähnliche Art und Weise auch
> errechnen, wie lang die Seitenlängen sein müssen, damit
> ich den maximalen Umfang erreiche ?
Ja.
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> Dieser ist nämlich nach etwas Testen gar nicht so einfach
> zu ermitteln, denn er dürfte gegen Unendlich gehen, eine
> rationale Zahl kann also kaum die Lösung sein.
Das siehst Du auch richtig
> Trotzdem:
> Warum lässt sich der Umfang des Rechtecks durch eine
> Ableitung errechnen?
Du hast mit der Ableitung eine Seitenlänge des Rechtecks bestimmt, nicht den Umfang.
Diese Seitenlänge erfüllt die oben beschriebene besondere Bedingung. Erst Wenn Du diese Seitenlänge in die Formel für den Umfang einsetzt, bekommst Du den Umfang des Rechtecks.
> Oder klappt dass in diesem Beispiel
> nur zufällig, weil es sich eben um ein Quadrat handelt?
Das Prinzip funktioniert allgemein, dass es hier ein Quadrat wird liegt an der Aufgabe.
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Danke, wie wäre dein Ansatz um den maximalen Umfang zu ermitteln ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 30.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Danke, wie wäre dein Ansatz um den maximalen Umfang zu
> ermitteln ?
Genau der gleiche, aber die Funktion U(b) ist eine nach oben geöffnete Parabel, daher hat diese nur einen Tiefpunkt.
Es kann also keinen maximalen Umfang geben.
MfG
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