Ableitung und Taylor < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | F(x,y,z)= [mm] xyz+((x-1)^{2})*y^{2}+z^{3}
[/mm]
Bis zur 3.Ableitung ableiten. |
Hallo,
da ich hier 3Variablen habe, weiß ich nicht wie ich das ableiten muss. Muss ich das nach x, dann nach y und z ableiten und was gilt hier? Danach muss ich auch noch den Entwicklungspunkt einsetzen. Wenn ich das nach x ableite habe ich bei der 1. Ableitung folgendes:
[mm] Yz+2(x-1)*y^{2} [/mm] stimmt das so? Wie muss ich die Aufgabe lösen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 29.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir in deinem Buch, skript oder bei Wiki die Taylorformel für mehrdimensionale Funktionen an. und du brauchst alle Ableitungen, also 3 mal nach x ,nach y nach z und die gemischten wie [mm] F_{xy} [/mm] usw.
Gruß leduart
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Hallo,
ich habe leider fast nichts finden können. Im Internet gab es eine Aufgabe, jedoch konnte ich es nicht ganz darauf anwenden. Ich habe erst einmal alle Ableitungen gebildet, die du gesagt hast, jedoch weiß ich nicht wie das mit der gemischten Ableitung funktioniert?
Gruß
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Hallo xxela89xx,
> Hallo,
>
> ich habe leider fast nichts finden können. Im Internet gab
> es eine Aufgabe, jedoch konnte ich es nicht ganz darauf
> anwenden. Ich habe erst einmal alle Ableitungen gebildet,
> die du gesagt hast, jedoch weiß ich nicht wie das mit der
> gemischten Ableitung funktioniert?
>
Für Beispiele siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hi,
vielen Dank für den Link, aber irgendwie verstehe ich nicht wie ich das für mein Bsp anwenden muss. Ich habe ja f(x,y,z). Muss ich die Funktion an sich nach all diesen Variablen ableiten? Dann habe ich ja [mm] \partial_{xyz}f(x,y,z)=1+2(x-1)*y^2+(x-1)^2*2y^2+3z^2. [/mm] oder?
Gruß
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Hallo xxela89xx,
> Hi,
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> vielen Dank für den Link, aber irgendwie verstehe ich
> nicht wie ich das für mein Bsp anwenden muss. Ich habe ja
> f(x,y,z). Muss ich die Funktion an sich nach all diesen
> Variablen ableiten? Dann habe ich ja
> [mm]\partial_{xyz}f(x,y,z)=1+2(x-1)*y^2+(x-1)^2*2y^2+3z^2.[/mm]
> oder?
>
Zuerst leitest Du f nach x dann nach y und dann nach z ab:
[mm]\bruch{\partial}{\partial z}\left( \ \bruch{\partial}{\partial y} \left( \bruch{\partial f\left(x,y,z\right)}{\partial x} \right) \ \right)=\bruch{\partial}{\partial z}\left( \ \bruch{\partial}{\partial y} \left( yz+2*\left(x-1\right)*y^{2} \right) \ \right)[/mm]
Wenn f die Voraussetzungen des Satzes von Schwarz erfüllt,
dann kannst Du hier die Reihenfolge des Ableitens ändern.
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
also so:
[mm] (Xy+3z^{2})(xz+2(x-1)^{2}y)(yz+2(x-1)y^{2} [/mm] ?
Alle Ableitungen miteinander multiplizieren oder habe ich das falsch verstanden?
Gruß
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Hallo xxela89xx,
> Hallo,
>
> also so:
> [mm](Xy+3z^{2})(xz+2(x-1)^{2}y)(yz+2(x-1)y^{2}[/mm] ?
> Alle Ableitungen miteinander multiplizieren oder habe ich
> das falsch verstanden?
>
Das hast Du falsch verstanden.
Leite f zuerst nach x ab, dann erhältst Du eine neue Funktion g.
Diese Funktion g leitest Du nach y ab, und erhältst eine Funktion h.
Diese Funktion h leitest Du nach z ab.
Dies entspricht dann [mm]\bruch{\partial^{3} f\left(x,y,z\right)}{\partial x \partial y \partial z}[/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
jetzt habe ich das gemacht, in welche Ableitungen muss ich denn den Entwicklungspunkt einsetzen? Das spielt bei dieser Aufgabe keine Rolle, weil eh überall Null rauskommt, aber für andere Werte z.B. Würde ich das gerne wissen.
Muss ich nun bei der Aufstellung der Taylorformel auf irgendetwas bestimmtes achten, weil es ja mehrdimensional ist oder mache ich das wie folgt:
[mm] 0/0!(x-(0,0,0)+0/1!(x-(0,0,0))^1... [/mm] ?
Ps.: außer bei der Ableitung nach z. Bei der 3. ableitung nach z kommt 6 raus und bei dem gemischten 1. wie muss das in die Taylorformel?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 So 30.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
welches buch benutzt du denn? Beispiele gibz es auch in wiki
wieso ist alles 0 bei dir? Ich seh nicht, welchen Entwicklungspunkt du hast, kann mit aber keinen vorstellen in dem alle Ableitungen 0 sind.
also schreib den genauen Aufgabentest auf, deine Ableitungen, bis zur dritten auf, versuch sie in die Taylorformel einzusetzen und wir helfen weiter wo es hakt.
Gruß leduart
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Hallo,
also ich schreibe jetzt die ersten Ableitungen, dann die zweiten und dritten, danach kommen die Mischformen:
[mm] \partial_{x}f(x,y,z)= yz+2(x-1)y^{2}
[/mm]
[mm] \partial_{y}f(x,y,z)=xz+2(x-1)^{2}y
[/mm]
[mm] \partial_{z}f(x,y,z)= [/mm] xy [mm] +3z^2
[/mm]
[mm] \partial{xx}f(x,y,z)=2y^{2}
[/mm]
[mm] \partial{yy}f(x,y,z)=2(x-1)^{2}
[/mm]
[mm] \partial{zz}f(x,y,z)=6z
[/mm]
[mm] \partial{xxx}f(x,y,z)=0
[/mm]
[mm] \partial{yyy}f(x,y,z)=0
[/mm]
[mm] \partial{zzz}f(x,y,z)=6
[/mm]
[mm] \partial{xyzz}f(x,y,z)=yz+2(x-1)y^{2}
[/mm]
[mm] \partial{yxz}f(x,y,z)=z+4(x-1)y
[/mm]
[mm] \partial{zxy}f(x,y,z)=1
[/mm]
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:54 So 30.03.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo,
>
> also ich schreibe jetzt die ersten Ableitungen, dann die
> zweiten und dritten, danach kommen die Mischformen:
> [mm]\partial_{x}f(x,y,z)= yz+2(x-1)y^{2}[/mm]
>
> [mm]\partial_{y}f(x,y,z)=xz+2(x-1)^{2}y[/mm]
> [mm]\partial_{z}f(x,y,z)=[/mm] xy [mm]+3z^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\partial_{xx}f(x,y,z)=2y^{2}[/mm]
> [mm]\partial_{yy}f(x,y,z)=2(x-1)^{2}[/mm]
> [mm]\partial_{zz}f(x,y,z)=6z[/mm]
>
> [mm]\partial_{xxx}f(x,y,z)=0[/mm]
> [mm]\partial_{yyy}f(x,y,z)=0[/mm]
> [mm]\partial_{zzz}f(x,y,z)=6[/mm]
>
> [mm]\partial{xyzz}f(x,y,z)=yz+2(x-1)y^{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $\partial_{xyzz}f(x,y,z)$ [/mm] ist schon eine 4. Ableitung
> [mm]\partial{yxz}f(x,y,z)=z+4(x-1)y[/mm]
Nach dem Satz von Schwarz ist für deine Funktion [mm] $\partial_{yxz}f(x,y,z) [/mm] = [mm] \partial_{zxy}f(x,y,z) [/mm] = [mm] \partial_{xyz}f(x,y,z)$
[/mm]
> [mm]\partial_{zxy}f(x,y,z)=1[/mm]
>
Es fehlen noch:
[mm] $\partial_{yx}f(x,y,z), \partial_{yz}f(x,y,z), \partial_{xz}f(x,y,z)$
[/mm]
[mm] $\partial_{yyx}f(x,y,z), \partial_{xxy}f(x,y,z), \partial_{yyz}f(x,y,z), \partial_{xxz}f(x,y,z), \partial_{xzz}f(x,y,z), \partial_{yzz}f(x,y,z)$
[/mm]
Das Taylorpolynom 3. Grades für eine Funktion in 3 Variablen aufzuschreiben
ist schon etwas länglich, auch wenn bei dieser Funktion einige 3. Ableitungen Null sind.
Siehe als Beispiele Funktion in 3 Variablen 2. Grades
Funktion in 2 Variablen
> Gruß
Gruß
meili
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Hallo,
genau diese Mischform kann ich nicht ableiten, ich weiß nicht wie das funktioniert, könntest du das einmal für [mm] \partial_{yx}f(x,y,z)vormachen? [/mm]
Gruß
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Hallo xxela89xx,
> Hallo,
>
> genau diese Mischform kann ich nicht ableiten, ich weiß
> nicht wie das funktioniert, könntest du das einmal für
> [mm]\partial_{yx}f(x,y,z)vormachen?[/mm]
>
Es ist:
[mm]\partial_{yx}f(x,y,z)=\partial_{y}\left( \ \partial_{x}f(x,y,z)\ \right)[/mm]
[mm]=\partial_{y}\left(yz+2*\left(x-1\right)*y^{2}\right) =z+2\left(x-1\right)*2y[/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank. Ich habe dann für den Rest folgendes raus:
[mm] \partial{xy}f(x,y,z)=z+4(x-1)y
[/mm]
[mm] \partial{yz}f(x,y,z)=x
[/mm]
[mm] \partial{xz}f(x,y,z)=y
[/mm]
[mm] \partial{yyx}f(x,y,z)=4(x-1)
[/mm]
[mm] \partial{xxy}f(x,y,z)=4y
[/mm]
[mm] \partial{yyz}f(x,y,z)=0
[/mm]
[mm] \partial{xxz}f(x,y,z)=0
[/mm]
[mm] \partial{xzz}f(x,y,z)=0
[/mm]
[mm] \partial{yzz}f(x,y,z)=0
[/mm]
Stimmt das alles?
Die Frage ist nun, wie setze ich das alles in das Taylorpolynom ein? Oben wurde ja schon ein Link vorgegeben. Ich versuche das jetzt dementsprechend zu machen:
T3(x,y,z)=( [mm] xyz+(x-1)^2y^2+z^3)+ (yz+2(x-1)y^2)(x-(0,0,0)+(xz+2(x-1)^2y)(y-(0,0,0))+(xy+3z^2)(z-(0,0,0))+(1/2)(2y^2)(x-(0,0,0)^2+...+(die [/mm] 2. Ableitungen, dann die 3.), dann die Mischformen alle?
+(z+4(x-1)y)(x-(0,0,0))(y-(0,0,0))+(4(x-1))(y-(0,0,0))(y-(0,0,0))(x-(0,0,0))+...
Ich habe hier jetzt nicht alle Ableitungen angegeben. Aber muss das Taylorpolynom am Ende so aussehen?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 30.03.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo,
>
> jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank. Ich habe dann
> für den Rest folgendes raus:
> [mm]\partial{xy}f(x,y,z)=z+4(x-1)y[/mm]
> [mm]\partial{yz}f(x,y,z)=x[/mm]
> [mm]\partial{xz}f(x,y,z)=y[/mm]
> [mm]\partial{yyx}f(x,y,z)=4(x-1)[/mm]
> [mm]\partial{xxy}f(x,y,z)=4y[/mm]
> [mm]\partial{yyz}f(x,y,z)=0[/mm]
> [mm]\partial{xxz}f(x,y,z)=0[/mm]
> [mm]\partial{xzz}f(x,y,z)=0[/mm]
> [mm]\partial{yzz}f(x,y,z)=0[/mm]
>
> Stimmt das alles?
> Die Frage ist nun, wie setze ich das alles in das
> Taylorpolynom ein? Oben wurde ja schon ein Link vorgegeben.
> Ich versuche das jetzt dementsprechend zu machen:
> T3(x,y,z)=( [mm]xyz+(x-1)^2y^2+z^3)+ (yz+2(x-1)y^2)(x-(0,0,0)+(xz+2(x-1)^2y)(y-(0,0,0))+(xy+3z^2)(z-(0,0,0))+(1/2)(2y^2)(x-(0,0,0)^2+...+(die[/mm]
> 2. Ableitungen, dann die 3.), dann die Mischformen alle?
> +(z+4(x-1)y)(x-(0,0,0))(y-(0,0,0))+(4(x-1))(y-(0,0,0))(y-(0,0,0))(x-(0,0,0))+...
>
> Ich habe hier jetzt nicht alle Ableitungen angegeben. Aber
> muss das Taylorpolynom am Ende so aussehen?
Leider nur so ähnlich.
Hast du als Entwicklungspunkt (0,0,0) genommen?
Alle Ableitungen (auch 1. Part Funktion selbst als 0. Ableitung) werden
am Entwicklungspunkt genommen, also z.B. (0,0,0) eingesetzt.
Statt (x- (0,0,0)), muss es nur (x-0) heißen u.s.w.
Etwas deutlicher wird es, wenn man z.B. (a,b,c) als Entwicklungspunkt nimmt:
[mm] $T_2(x,y,z) [/mm] = $
[mm] $(abc+(a-1)^2b^2+c^3) [/mm] +$
[mm] $(bc+2(a-1)b^2)(x-a)+(ac+(a-1)^2b)(y-b)+(ab+3c^2)(z-c)+$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}(2b^2(x-a)^2+2(a-1)^2(y-b)^2+6c(z-c)^2+$
[/mm]
$2(c+4(a-1)b)(x-a)(y-b) + 2b(x-a)(z-c) +2a(y-b)(z-c))$
Ja, alle 2. Ableitungen mit sämtlichen Mischformen, und für 3. Grades auch
noch alle 3. Ableitungen mit allen Mischformen.
>
> Gruß
>
Gruß
meili
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Hallo,
genau, mein Entwicklungspunkt ist (0,0,0). Du hast jetzt einfach nur a,b,c als Entwicklungspunkt genommen, aber irgendwie verstehe ich das nicht, was ist denn jetzt mit den Ableitungen? Muss ich hier für a,b,c 0 einsetzen? Also ist das die eigentliche Taylorformel?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 So 30.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, in Funktion und alle benutzten Ableitungen musst du den Entwicklungspunkt einsetzen.
Das Genau ist die Idee des Taylorpolynoms: Durch Kenntnis der Ableitung in nur einem Punkt, kann man eine Funktion in der Umgebung dieses Punktes beliebig gut durch ein Polynom annähern.
Es ist wirklich wichtig, dass du nicht nur Formeln manipulierst, sondern die Idee dahinter verstehst. Hier also was ist der Nutzen eines Taylorpolynoms. überlege es dir erstmal eindimensional, mehrdimensional ist die Idee dieselbe.
Gruß leduart
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Hallo,
du hast Recht, ich stimme dir voll und ganz zu. Jedoch hilft mir das beim Lösen dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter.
Wie muss denn das Taylorpolynom zu meiner Aufgabe genau aussehen, die einzelnen Bestandteile habe ich jetzt raus, aber irgendwie kann ich das nicht zusammenfügen.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 30.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib erstmal das TP erster Ordnung hin kannst du das noch? dann das 2 ter Ordnung,
Dann schreib auf woran du scheiterst.
Gruß leduart
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Hallo,
das habe ich doch in den vorherigen Posts, mein Taylorpolynom war nicht ganz richtig, könntet ihr bitte das richtige Taylorpolynom einmal aufschreiben. Das ist sehr wichtig für mich, ich brauche die Lösung, weil ich ansonsten nicht weitermachen kann.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Mo 31.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das war doch falsch.
1. berechne den Zahlenwert aller Ableitungen an deiner Entwicklungsstelle.
dann z.B [mm] T=f(0,00)+f_x(0,0)*x+f_y(0,0,0)*y [/mm] +.......usw
das wurde dir mehrfach erklrt, mit a,b,c statt 0,0,0 damit du das gleich für andere Fälle kannst-
Jetzt bist du dran einen Versuch zu starten
Gruß leduart
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Hallo,
ich habe das ja versucht dementsprechend zu machen. Könntet ihr einen Ansatz zumindest geben, damit ich das weiterführen kann für diese Aufgabe? Das ist echt wichtig, ich muss das Ergebnis haben, damit ich das heute vorrechnen kann.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mo 31.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein einziger Versuch hatte die Ableitungen nicht eingesetzt. Warum tust du das nicht endlich? Außerdem hatte ich den Anfang im letzten post hingeschrieben.
Also
1. schreib alle Ableitungen an der Stelle (0,0,0) auf. Tu es wirklich !
Damit wir überprüfen können, ohne zurückzublättern die allgemeinen Formeln in x,y,z dazu.
2. setz in die Formel, die du schon mal hattest ein, nur statt x-(0,0,0) schreib x-0 oder einfach x entsprechend bei y und z.
Du machst dir keinerlei Arbeit, aber wir sollen sogar die Funktionswerte usw. für dich ausrechnen?
Nochmal, wir korrigieren. auch wenn es unsinnig ist, aber du musst wenigstens Versuche posten, wenn die verbessert werden neue, wie sollen wir sonst wissen, was du verstanden hast?
Gruß leduart
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