Ableitung von Funktionenschar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bräuchte bei folgender Funktionenschar die Ableitungen:
f (t)= k* [mm] e^t [/mm] / [mm] (1+e^t)^2 [/mm] ; k>0, t >= 0
die Lösung soll f'(t)= [mm] ke^t*(1-e^t) [/mm] / [mm] (1+e^t)^3 [/mm] sein, die ich jedoch nicht erhalten hab:(
vielen Dank im Voraus:)
LG christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Danke, danke.
also ich habe die quotientenregel angewendet:
f´(t)= [mm] ke^t [/mm] * [mm] (1+e^t)^2- ke^t [/mm] * [mm] 2e^t [/mm] * [mm] (1-e^t)^2 [/mm] / [mm] (1+e^t)^4
[/mm]
das habe ich dann versucht, mithilfe der binomischen formel aufzulösen und es zusammenzufassen. Das ergebnis war:
[mm] ke^t-3ke^3t -2ke^4t/(1+e^t)^4 [/mm] und das ist ja falsch
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Genügt das oder benötigst du auch die Zwischenschritte, also Zusammenfassen und Binomische Formeln?
Mein Problem ist auch, dass ich nicht weiß, wie ich den Term weiter zusammenfassen kann....:(
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Fr 23.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Danke, danke.
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> also ich habe die quotientenregel angewendet:
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> f´(t)= [mm]ke^t[/mm] * [mm](1+e^t)^2- ke^t[/mm] * [mm]2e^t[/mm] * [mm](1-e^t)^2[/mm] /
> [mm](1+e^t)^4[/mm]
Das ist fast richtig. Du hast ein Quadrat zuviel dabei
[mm] f'(t)=\bruch{ke^{t}(1+e^{t})^{2}-ke^{t}*2e^{t}*(1-e^{t})^{\red{\not{2}}}}{(1+e^{t})^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\green{(1+e^{t})}*[ke^{t}(1+e^{t})-ke^{t}*2e^{t}]}{\green{(1+e^{t})}^{4}}
[/mm]
Jetzt einmal kürzen und zusammenfassen.
Diesen Trick kann man bei der Anwendung der Quotientenregel übrigens öfter nutzen. Fasse also den Zähler und den Nenner im ersten Schritt noch nicht zusammen.
Marius
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vielen Dank für die schnelle Antwort:)
Dass ich ein Quadrat zu viel hatte, habe ich verstanden, jedoch das Zusammenfassen noch nicht so ganz...
wir gehen von den Term : [mm] ke^t*(1+e^t)^2-ke^t*2e^t*(1-e^t)/(1+e^t)^4 [/mm] aus. Kann man dann nicht [mm] (1+e^t)^2 [/mm] rauskürzen und dann zusammenfassen?
dann würde da [mm] ke^t-2ke^2t+2ke^3t/(1+e^t)^2 [/mm] stehen..aber das ist auch falsch:(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Fr 23.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast scheinbar aus der Differenz im Zähler gekürzt, was natürlich nicht geht.
Um das zu umgehen, kann man ausklammern, wie ich es dir schon geschrieben habe. Mehr habe ich nicht zusammengefasst, du sollst ja schliesslich auch noch nen bisschen zur Lösung beisteuern.
Marius
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Ok danke. denn wär es: [mm] f´(t)=ke^t*(1+e^t)-ke^t*2e^t/(1+e^t)^3
[/mm]
[mm] =ke^t+ke^{2t}-2ke^{2t}/(1+e^t)^3
[/mm]
[mm] =ke^t-ke^{2t}/(1+e^t)^3
[/mm]
[mm] =ke^t*(1-e^t)/(1+e^t)^3
[/mm]
Das ist denn sogar richtig:) aber eine letzte Frage hab ich noch: Du hast anfangs [mm] (1+e^t) [/mm] ausgeklammert.Aber die Differenz besteht doch aus [mm] (1+e^t)^2 [/mm] und [mm] (1-e^t). [/mm] Kann man dies trotz des Minuszeichens ausklammern?Oder hab ich da etwas missverstanden?
lg Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Fr 23.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Rex hatte deinen zweiten Fehler uebersehen und das richtige gedacht. da steht im 2. ausdruck auch [mm] (1+e^t) [/mm] und [mm] 1-e^t [/mm] ist falsch.
(bei [mm] 1-e^t) [/mm] koennte man nicht ausklammern!
zur Sicherheit: Ableitung des Nenners [mm] ((1+e^t)*2)'=2*(1+e^t)*e^t
[/mm]
Gruss leduart
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Ja stimmt, das habe ich ganz übersehen:)
Denn passt das auch:)
Vielen Dank an euch, ihr habt mir echt weitergeholfen:)
Liebe Grüße
Christian
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Quotientenregel