Ableitung von Vektorbetrag < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mi 13.11.2013 | | Autor: | laupl |
Hallo,
seinen [mm]x_i[/mm] und [mm]x_s[/mm] Spaltenvektoren mit je drei Einträgen. Es sind also Punkte mit den drei Raumkoordinaten. [mm]i[/mm] ist die imaginäre Einheit und [mm]A \in \mathbb{R}[/mm].
Wie sieht die Ableitung der Funktion [mm]f(x_i)[/mm] nach [mm]x_i[/mm] aus?
[mm]f(x_i)=\frac{A}{|x_s-x_i|}e^{i|x_s-x_i|}[/mm]
[mm]\frac{d}{dx_i}f(x_i)=?[/mm]
Danke, Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mi 13.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Den Betrag kannst Du mit der Wurzel schreiben. Tu dies und leite dann ab. Pass mit den beiden verschiedenen i auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mi 13.11.2013 | | Autor: | laupl |
Danke.
Also dann leite ich zuerst mal das hier ab:
[mm]\frac{d}{dx_i}|x_s-x_i|=\frac{d}{dx_i}\sqrt{(x_{s1}-x_{i1})^2+((x_{s2}-x_{i2})^2+((x_{s3}-x_{i3})^2}=\frac{-x_s+x_i}{|x_s-x_i|}[/mm]
Stimmt das so weit?
Falls ja, dann sieht die gesamte Ableitung so aus:
[mm]\frac{d}{dx_i}f(x_i)=\frac{A}{-(\frac{-x_s+x_i}{|x_s-x_i|})^2}e^{i|x_s-x_i|}+\frac{A}{|x_s-x_i|}i\frac{-x_s+x_i}{|x_s-x_i|}e^{i|x_s-x_i|}[/mm]
Ist das so richtig? Oder geht das einfacher?
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Hallo,
wie kommst du denn darauf: [mm] \frac{A}{-(\frac{-x_s+x_i}{|x_s-x_i|})^2} [/mm] ?
Also ich würde dir mal zeigen, wie man leicht die Ableitung von [mm] |x_s-x_i| [/mm] berechnen könnte.
Man verwendet die Ketten- und Produktregel:
[mm] \frac{d}{d x_i}|x_s-x_i|=\frac{d}{d x_i}((x_s-x_i)(x_s-x_i))^{1/2}
[/mm]
$=1/2\ [mm] ((x_s-x_i)(x_s-x_i))^{-1/2}*\left(\frac{d}{d x_i}((x_s-x_i)(x_s-x_i))\right)$
[/mm]
$=1/2\ [mm] ((x_s-x_i)(x_s-x_i))^{-1/2}*((x_s-x_i)*(-1)-1*(x_s-x_i))$
[/mm]
[mm] =-\frac{(x_s-x_i)}{|x_s-x_i|}
[/mm]
Dein Job wäre es nun noch einmal die Ableitung von [mm] \frac{1}{|x_s-x_i|} [/mm] zu berechnen. Beachte dabei: [mm] \frac{1}{|x_s-x_i|}=|x_s-x_i|^{-1}=(x_s-x_i)^{-1/2}
[/mm]
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