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Forum "Differentiation" - Ableitung von X Wurzel
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Ableitung von X Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Mo 01.03.2010
Autor: MatheNullplan00

Aufgabe
Bilde f'(x)

f(x) = [mm] \wurzel[x]{\bruch{1}{x}} [/mm]

Guten Abend,

Das [mm] \wurzel[x] [/mm] macht mir die Probleme ;-)

Lässt sich das auch so schreiben?

[mm] {\bruch{1}{x}}^\bruch{x}{2} [/mm] = [mm] x^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Viele Grüße

        
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Mo 01.03.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Bilde f'(x)
>  
> f(x) = [mm]\wurzel[x]{\bruch{1}{x}}[/mm]
>  Guten Abend,
>  
> Das [mm]\wurzel[x][/mm] macht mir die Probleme ;-)
>  
> Lässt sich das auch so schreiben?
>  
> [mm]{\bruch{1}{x}}^\bruch{x}{2}[/mm] = [mm]x^{-\bruch{x}{2}}[/mm] [notok]
>  
> Viele Grüße


Für $a>0$ ist [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm]

Hier also [mm] $\sqrt[x]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(x)}}=e^{-\frac{\ln(x)}{x}}$ [/mm]

Das nun per Kettenregal verarzten ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Mo 01.03.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo,

Danke für deine Antwort.



[mm] =e^{-\frac{\ln(x)}{x}} [/mm]  --> Kettenregel.

Ist dann? Oder wie wende ich die Kettenregel hier an?

Innere Funktion(x) =- [mm] \bruch{\ln(x)}{x} [/mm]

Innere Funktion'(x) =

Äußere Funktion(x) = [mm] e^u [/mm]

Äußere Funktion'(x) = [mm] e^u [/mm]

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Bezug
Ableitung von X Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mo 01.03.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo,
>  
> Danke für deine Antwort.
>  
>
>
> [mm]=e^{-\frac{\ln(x)}{x}}[/mm]  --> Kettenregel.
>  
> Ist dann?

Was bedeutet das? Ich verstehe diese Frage nicht?!?!

> Oder wie wende ich die Kettenregel hier an?
>  
> u(x) =- [mm]\bruch{\ln(x)}{x}[/mm]
>  
> u'(x) =
>  
> v(x) = e
>  
> v'(x) = e

Schreibe besser [mm] $v(z)=e^z$ [/mm] und [mm] $v'(z)=e^z$ [/mm] (mit [mm] $z=z(x)=-\frac{\ln(x)}{x}$) [/mm]

Genauso ist der Ansatz.

Nun berechne $u'(x)$ mit der Quotientenregel und bastel alles zusammen.

Gruß

schachuzipus

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Bezug
Ableitung von X Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Mo 01.03.2010
Autor: MatheNullplan00

Okay...
mache ich erstmal das...
- $ [mm] \bruch{\ln(x)}{x} [/mm] $ --> Quotientenregel

u = - ln(x)
u'=- [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
v= x
v' = 1
[mm] v^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm]

[mm] \bruch{{- \bruch{1}{x}} * x - 1 *(-ln(x))}{x^2} [/mm]


Soweit richtig hoffe ich


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Bezug
Ableitung von X Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Mo 01.03.2010
Autor: metalschulze

Jupp. Und nun weiter...

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Ableitung von X Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Di 02.03.2010
Autor: MatheNullplan00

Aufgabe
Bilde f'(x)

f(x) = $ [mm] \wurzel[x]{\bruch{1}{x}} [/mm] $

f(x)= $ [mm] \sqrt[x]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(x)}}=e^{-\frac{\ln(x)}{x}} [/mm] $

Hallo,

nochmal zur Aufgabe von Gestern...

Quotientenregel:
von [mm] {-\frac{\ln(x)}{x}} [/mm]


$ [mm] \bruch{{- \bruch{1}{x}} \cdot{} x - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2} [/mm] $

- [mm] \bruch{1}{x} \cdot{} [/mm] x = -x

Wenn ich alles vereinfache komm ich auf [mm] {\frac{\ln(x)}{x}} [/mm] Nehme aber an das stimmt nicht? Sonst bin ich ja genauso schlau wie vorher?

Viele Grüße

Bezug
                                                        
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Ableitung von X Wurzel: falsch gekürzt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Di 02.03.2010
Autor: Loddar

Hallo MatheNullplan!


Nein, [mm] $-\bruch{1}{x}*x$ [/mm] ergibt selbstverständlich $-1_$ !


Gruß
Loddar


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Bezug
Ableitung von X Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Di 02.03.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo Loddar,
Danke für deine Antwort!

$ [mm] \bruch{{- \bruch{1}{x}} \cdot{} x - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2} [/mm] $

= $ [mm] \bruch{-1 - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2} [/mm] $

= [mm] \bruch{2 ln(x)}{x^2} [/mm]

Hoffe jetzt besser...

Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Di 02.03.2010
Autor: fred97


> Hallo Loddar,
>  Danke für deine Antwort!
>  
> [mm]\bruch{{- \bruch{1}{x}} \cdot{} x - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{-1 - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2 ln(x)}{x^2}[/mm]
>  
> Hoffe jetzt besser...

Nein. Was ist $-1-1(-a))$   ?

FRED

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Bezug
Ableitung von X Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Di 02.03.2010
Autor: MatheNullplan00

$ [mm] \bruch{-1 - 1 \cdot{}(-ln(x))}{x^2} [/mm] $

= [mm] \bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm]

Ah Punkt vor Strich ;-) Ohje wenns schon da scheitert... :-( Ist noch zu früh für mich  :-D



Bezug
                                                                                        
Bezug
Ableitung von X Wurzel: nun gut
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Di 02.03.2010
Autor: Loddar

Hallo MatheNullplan!


[ok] So stimmt es nun.


Gruß
Loddar


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Ableitung von X Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 Di 02.03.2010
Autor: MatheNullplan00

Okay. Danke :-)

$ [mm] \bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $

Lässt sich das denn noch weiter vereinfachen?


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Di 02.03.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Okay. Danke :-)
>  
> [mm]\bruch{-1+ ln(x)}{x^2}[/mm]
>  
> Lässt sich das denn noch weiter vereinfachen?

Nö, ist aber auch nicht nötig.

Wie sieht denn nun die "Gesamtableitung" aus? Das da oben ist ja "nur" die innere Ableitung ...

Schreibe die Ableitung zur Endkontrolle doch mal komplett hin ...

LG

schachuzipus

>  


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Di 02.03.2010
Autor: MatheNullplan00

Aufgabe
$ [mm] \sqrt[x]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(x)}}=e^{-\frac{\ln(x)}{x}} [/mm] $

Okay,

Das nun alles in die Kettenregel einsetzen...

z(x) =- $ [mm] \bruch{\ln(x)}{x} [/mm] $

z'(x) = $ [mm] \bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $
v(z) = [mm] e^z [/mm]
v'(z) = [mm] e^z [/mm]

f(x)=v(z(x))
[mm] f'(x)=v'(z(x))\cdot{} [/mm] z'(x)

= [mm] e^z *(-\bruch{\ln(x)}{x})* \bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm]

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Di 02.03.2010
Autor: metalschulze


>
> [mm]\sqrt[x]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(x)}}=e^{-\frac{\ln(x)}{x}}[/mm]
>  Okay,
>
> Das nun alles in die Kettenregel einsetzen...
>  
> z(x) =- [mm]\bruch{\ln(x)}{x}[/mm]
>  
> z'(x) = [mm]\bruch{-1+ ln(x)}{x^2}[/mm]
> v(z) = [mm]e^z[/mm]
>  v'(z) = [mm]e^z[/mm]
>  
> f(x)=v(z(x))
>  [mm]f'(x)=v'(z(x))\cdot{}[/mm] z'(x)
>  
> = [mm]e^z *(-\bruch{\ln(x)}{x})* \bruch{-1+ ln(x)}{x^2}[/mm]  

f'(x) kann ja nicht [mm] e^z [/mm] sein....du musst den ersten Teil noch anstelle von z in den Exponenten setzen..

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Di 02.03.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo,
Meinst du so?

f'(x) = $ [mm] e^{-\bruch{\ln(x)}{x}} \cdot{}(-\bruch{\ln(x)}{x})\cdot{} \bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $  


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Di 02.03.2010
Autor: fred97


> Hallo,
>  Meinst du so?
>  
> f'(x) = [mm]e^{-\bruch{\ln(x)}{x}} \cdot{}(-\bruch{\ln(x)}{x})\cdot{} \bruch{-1+ ln(x)}{x^2}[/mm]

Nein so:  f'(x) = [mm]e^{-\bruch{\ln(x)}{x}}*\bruch{-1+ ln(x)}{x^2}[/mm]

FRED

>  
>  


Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Di 02.03.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo Fred,

Achso. Okay

f'(x) = $ [mm] e^{-\bruch{\ln(x)}{x}}\cdot{}\bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $

lässt sich damit dann noch irgendwas rumdoktoren?

Oder wäre die Aufgabe damit gelöst?

Viele Grüße

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Di 02.03.2010
Autor: leduart

Hallo
Die Lösung ist so fertig, du kannst nur (musst aber nicht) den ersten Teil wieder als Wurzel schreiben, wie am Anfang.
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Ableitung von X Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Di 02.03.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo leduart,

Okay. Danke an Alle die mir geholfen haben !!!

$ [mm] e^{-\bruch{\ln(x)}{x}}\cdot{}\bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $

$ [mm] \wurzel[x]{\bruch{1}{x}} \cdot{}\bruch{-1+ ln(x)}{x^2} [/mm] $

Viele Grüße

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