Ableitung von cos(x) < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 23.03.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Für den Graphen der Funktion $\ f:x [mm] \to \cos [/mm] x$;$\ [mm] x\in [0,2\pi] [/mm] $ sollen die Abszissen der Kurvenpunkte auf 1 Dezimale genau berechnet werden, für welche die Tangente parallel ist zur Geraden $\ g: 3x +4y - 7 = 0 $ |
Hallo,
Mir ist klar, dass für $\ f(x) = [mm] \cos [/mm] x $ nach den Stellen $\ [mm] x_0 [/mm] $ mit $\ [mm] \mathbb [/mm] D = [mm] [0,2\pi] [/mm] $ gesucht wird, die die Steigung $\ m = - [mm] \bruch{3}{4}$ [/mm] besitzen.
Also alle $\ [mm] x_0$ [/mm] für die gilt: $\ f'(x) = [mm] \cos'x [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] $
Ich weiss auch, dass $\ [mm] \cos'x [/mm] = - sin x $ ist.
Das Problem ist allerdings die Herleitung der Ableitung mit Hilfe des Differentialquotienten.
Mein Ansatz war folgender:
$\ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] = [mm] \cos'x [/mm] $
$\ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\cos(x+h) - \cos x}{h} [/mm] = [mm] \cos'x [/mm] $
Additionstheoreme:
$\ cos (x+y) = [mm] \cos [/mm] x * [mm] \cos [/mm] y + [mm] \sin [/mm] x * [mm] \sin [/mm] y $
$\ [mm] \cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] y = 2 [mm] \cos\bruch{x+y}{2} [/mm] * [mm] \cos \bruch{x-y}{2} [/mm] $
ich bevorzuge ersteres in diesem Fall...
$\ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{ \cos x * \cos h + \sin x * \sin h - \cos x}{h} [/mm] = [mm] \cos'x [/mm] $
$\ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{ \cos x * \cos h}{h} [/mm] + [mm] \bruch{\sin x * \sin h}{h} [/mm] - [mm] \bruch{\cos x}{h} [/mm] = [mm] \cos'x [/mm] $
$\ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\sin x * \sin h}{h} [/mm] = [mm] \sin [/mm] x $
$\ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{ \cos x * \cos h}{h} [/mm] + [mm] \sin [/mm] x - [mm] \bruch{\cos x}{h} [/mm] = [mm] \cos'x [/mm] $
und wie gehts nun weiter?
Würde mich über Hilfe und Antwort freuen.
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Für den Graphen der Funktion [mm]\ f:x \to \cos x[/mm];[mm]\ x\in [0,2\pi][/mm]
> sollen die Abszissen der Kurvenpunkte auf 1 Dezimale genau
> berechnet werden, für welche die Tangente parallel ist zur
> Geraden [mm]\ g: 3x +4y - 7 = 0[/mm]
> Hallo,
>
> Mir ist klar, dass für [mm]\ f(x) = \cos x[/mm] nach den Stellen [mm]\ x_0[/mm]
> mit [mm]\ \mathbb D = [0,2\pi][/mm] gesucht wird, die die Steigung [mm]\ m = - \bruch{3}{4}[/mm]
> besitzen.
>
> Also alle [mm]\ x_0[/mm] für die gilt: [mm]\ f'(x) = \cos'x = -\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Ich weiss auch, dass [mm]\ \cos'x = - sin x[/mm] ist.
>
> Das Problem ist allerdings die Herleitung der Ableitung mit
> Hilfe des Differentialquotienten.
>
> Mein Ansatz war folgender:
>
> [mm]\ \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} = \cos'x[/mm]
>
> [mm]\ \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\cos(x+h) - \cos x}{h} = \cos'x[/mm]
>
> Additionstheoreme:
>
> [mm]\ cos (x+y) = \cos x * \cos y + \sin x * \sin y[/mm]
Hier muß es heißen:
[mm]\ cos (x+y) = \cos x * \cos y \red{-} \sin x * \sin y[/mm]
>
> [mm]\ \cos x + \cos y = 2 \cos\bruch{x+y}{2} * \cos \bruch{x-y}{2}[/mm]
>
> ich bevorzuge ersteres in diesem Fall...
>
> [mm]\ \limes_{h\rightarrow0} \bruch{ \cos x * \cos h + \sin x * \sin h - \cos x}{h} = \cos'x[/mm]
>
> [mm]\ \limes_{h\rightarrow0} \bruch{ \cos x * \cos h}{h} + \bruch{\sin x * \sin h}{h} - \bruch{\cos x}{h} = \cos'x[/mm]
>
> [mm]\ \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\sin x * \sin h}{h} = \sin x[/mm]
>
> [mm]\ \limes_{h\rightarrow0} \bruch{ \cos x * \cos h}{h} + \sin x - \bruch{\cos x}{h} = \cos'x[/mm]
Hier muß es heißen:
[mm]\ \limes_{h\rightarrow0} \bruch{ \cos x * \cos h}{h} \red{-} \sin x - \bruch{\cos x}{h} = \cos'x[/mm]
>
> und wie gehts nun weiter?
Zu zeigen ist jetzt, daß
[mm]\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\cos\left(h\right)-1}{h}=0[/mm]
> Würde mich über Hilfe und Antwort freuen.
>
> Vielen Dank
> Grüße
> ChopSuey
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mo 23.03.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Mathepower,
>
> Hier muß es heißen:
>
> [mm]\ cos (x+y) = \cos x * \cos y \red{-} \sin x * \sin y[/mm]
Das war also der Wurm die ganze Zeit, hätte achtsamer sein sollen.
>
> Hier muß es heißen:
>
>
> [mm]\ \limes_{h\rightarrow0} \bruch{ \cos x * \cos h}{h} \red{-} \sin x - \bruch{\cos x}{h} = \cos'x[/mm]
>
Dahin komm ich nun auch, genau.
>
>
> >
> > und wie gehts nun weiter?
>
>
> Zu zeigen ist jetzt, daß
>
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\cos\left(h\right)-1}{h}=0[/mm]
>
Reicht es, wenn ich sag
$\ h [mm] \to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\cos\left(h\right)-1}{h}=0 [/mm] $ ?
Also damit argumentier, dass der Bruch den Grenzwert Null hat, weil der Nenner eine Nullfolge ist?
So kenn ich das jedenfalls aus den anderen Ableitungen mit Hilfe des Differentialquotienen.
>
> > Würde mich über Hilfe und Antwort freuen.
> >
> > Vielen Dank
> > Grüße
> > ChopSuey
>
>
> Gruß
> MathePower
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Hallo Mathepower,
>
>
> >
> > Hier muß es heißen:
> >
> > [mm]\ cos (x+y) = \cos x * \cos y \red{-} \sin x * \sin y[/mm]
>
> Das war also der Wurm die ganze Zeit, hätte achtsamer sein
> sollen.
>
> >
> > Hier muß es heißen:
> >
> >
> > [mm]\ \limes_{h\rightarrow0} \bruch{ \cos x * \cos h}{h} \red{-} \sin x - \bruch{\cos x}{h} = \cos'x[/mm]
>
> >
>
> Dahin komm ich nun auch, genau.
>
> >
> >
> > >
> > > und wie gehts nun weiter?
> >
> >
> > Zu zeigen ist jetzt, daß
> >
> > [mm]\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\cos\left(h\right)-1}{h}=0[/mm]
>
> >
>
> Reicht es, wenn ich sag
>
> [mm]\ h \to 0 \Rightarrow \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\cos\left(h\right)-1}{h}=0[/mm]
> ?
Ich denke nicht, daß das reicht.
Das mußt Du schon rechnerisch zeigen.
>
> Also damit argumentier, dass der Bruch den Grenzwert Null
> hat, weil der Nenner eine Nullfolge ist?
>
> So kenn ich das jedenfalls aus den anderen Ableitungen mit
> Hilfe des Differentialquotienen.
>
> >
> > > Würde mich über Hilfe und Antwort freuen.
> > >
> > > Vielen Dank
> > > Grüße
> > > ChopSuey
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Grüße
> ChopSuey
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mo 23.03.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Mathepower,
> >
> > Reicht es, wenn ich sag
> >
> > [mm]\ h \to 0 \Rightarrow \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\cos\left(h\right)-1}{h}=0[/mm]
> > ?
>
>
> Ich denke nicht, daß das reicht.
>
> Das mußt Du schon rechnerisch zeigen.
>
>
>
> Gruß
> MathePower
Puh, ich weiss ehrlich gesagt überhaupt nicht, wie ich das anstellen kann.
Wie müsste ich das denn umformen?
Gruß
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Hallo Mathepower,
>
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> > >
> > > Reicht es, wenn ich sag
> > >
> > > [mm]\ h \to 0 \Rightarrow \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\cos\left(h\right)-1}{h}=0[/mm]
> > > ?
> >
> >
> > Ich denke nicht, daß das reicht.
> >
> > Das mußt Du schon rechnerisch zeigen.
> >
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Puh, ich weiss ehrlich gesagt überhaupt nicht, wie ich das
> anstellen kann.
> Wie müsste ich das denn umformen?
[mm]\bruch{\cos\left(h\right)-1}{h}=\bruch{\left(\cos\left(h\right)-1\right)*\left(\cos\left(h\right)+1\right)}{h*\left(\cos\left(h\right)+1\right)}=\bruch{\cos^{2}\left(h\right)-1}{h*\left(\cos\left(h\right)+1\right)}=\bruch{-\sin^{2}\left(h\right)}{h*\left(\cos\left(h\right)+1\right)}[/mm]
Nun zieh das jetzt so auseinander:
[mm]\bruch{-\sin^{2}\left(h\right)}{h*\left(\cos\left(h\right)+1\right)}=-\bruch{\sin\left(h\right)}{h}*\bruch{\sin\left(h\right)}{\cos\left(h\right)+1}[/mm]
Und mache den Grnzübergang für h gegen 0.
>
> Gruß
> ChopSuey
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:59 Di 24.03.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Mathepower,
vielen Dank für die Hilfe bei der Umformung.
>
> [mm]\bruch{\cos\left(h\right)-1}{h}=\bruch{\left(\cos\left(h\right)-1\right)*\left(\cos\left(h\right)+1\right)}{h*\left(\cos\left(h\right)+1\right)}=\bruch{\cos^{2}\left(h\right)-1}{h*\left(\cos\left(h\right)+1\right)}=\bruch{-\sin^{2}\left(h\right)}{h*\left(\cos\left(h\right)+1\right)}[/mm]
>
> Nun zieh das jetzt so auseinander:
>
> [mm]\bruch{-\sin^{2}\left(h\right)}{h*\left(\cos\left(h\right)+1\right)}=-\bruch{\sin\left(h\right)}{h}*\bruch{\sin\left(h\right)}{\cos\left(h\right)+1}[/mm]
Ist es bei der Berechung von Grenzwerten immer notwendig, sie so zu erweitern, dass die 3. binomische Formel zu stande kommt?
Ich hab das bei einigen anderen Grenzwertberechnungen schon gesehen, wäre aber aus dem Stegreif nicht in der Lage gewesen, von selbst auf die Idee zu kommen.
Ich kann dem ganzen leider noch nicht entnehmen, welcher Vorteil sich daraus ergibt. Für mich sieht das im Moment wirklich nur nach reiner Umformung aus, ohne dass ich wüsste, inwiefern ich nun dem Ziel näher bin als vorher.
>
> Und mache den Grnzübergang für h gegen 0.
>
Es tut mir wirklich leid, ich wünschte, ich würde den folgenden Schritt selbst hinkriegen, weiss aber echt nicht, wie es weiter geht.
Rein intuitiv hätte ich gesagt:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\ \bruch{-\sin^{2}\left(h\right)}{h\cdot{}\left(\cos\left(h\right)+1\right)}= \limes_{h\rightarrow0}\ -\bruch{\sin\left(h\right)}{h}\cdot{}\bruch{\sin\left(h\right)}{\cos\left(h\right)+1} [/mm] $
$\ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\ -\bruch{\sin\left(h\right)}{h} [/mm] = - 1 $
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\ \bruch{-\sin^{2}\left(h\right)}{h\cdot{}\left(\cos\left(h\right)+1\right)}= \limes_{h\rightarrow0}\ -\bruch{\sin\left(h\right)}{\cos\left(h\right)+1} [/mm] $
stimmt das so? Hier komm ich, falls das überhaupt richtig ist, nicht weiter.
>
> >
> > Gruß
> > ChopSuey
> >
>
>
> Gruß
> MathePower
Gruß
ChopSuey
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hier![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]"){kind=small}
Teufel
