Ableitung von (ln x)² < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Di 06.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
| Aufgabe | | f(x)=(ln x)² Ableiten und Asymptoten , wovon ich leider keine Ahnung hab, wie ich diese nachweise oder berechnen kann. |
Also Ableitung habe ich probiert:
f'(g(x))g'(x)
f(g)=( )²
f'(g)= 2( )
g(x)= ln x
g'(x)=1/x
also zusammengefasst: 2(ln x)/x
richtig?
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Di 06.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Ableitung ist korrekt.
Asymptoten sind die Geraden, an die sich ein Graph anschmiegt.
Diese liegen entweder bei sehr großen oder sehr kleinen x...wenn x über gesamt IR definiert ist, oder aber an den Definitionslücken. Ich weiß, ist sehr schwammig formuliert, aber da ich nicht genau weiß, welche Vorkenntnisse du schon mitbringst, und über welche Funktionen du schon bescheid weist, erzähl ich nicht mehr.
Gut, kennst du den Graphen der Funktion ln(x) ?
Wenn ja, dann weist du ja vlt. dass x nur für IR+ (also für x größer Null) definiert ist.
D.h. der Graph der Funktion ln(x) besitzt schon eine Asymptote, nämlich die y-Achse.
Welche Asymptote wird dann [mm] (ln(x))^2 [/mm] besitzen?
Slaín,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:45 Mi 07.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
Ja naja wir hatten Asymptoten vor 2jahren ca...daher bin ich nicht sicher wie ich sie nachweisen kann..
(ln x)² hat ebenfalls die y-Achse als Asymptote, wie man am graphen erkennen kann..aber Wie ist der Beweis dafür auf mathematischem wege?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du kannst den Grenzwert bilden:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ln x [mm] =-\infty
[/mm]
Das weiß man ja.
Da die Funktion aber (ln [mm] x)^2 [/mm] lautet, ist
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (ln [mm] x)^2 =+\infty
[/mm]
Da du hier am Rand des Definitionsbereiches bist, liegt eine Asymptote vor.
Wie gesagt, Asymptoten liegen wenn überhaupt an den Rändern eines Definitionsbereichs.
Es gibt dann zwei Arten von Asymptoten:
Einmal die senkrechten, die da sein können, wenn eine Funktion an bestimmten Stellen nicht definiert ist (z.B. einige gebrochenrationale Funktionen etc.), oder aber es gibt waagerechte oder schräge Asymptoten, die es dann gibt, wenn du dein x (soweit das geht) gegen +/- [mm] \infty [/mm] laufen lässt (wobei du dein x z.B. NICHT gegen [mm] -\infty [/mm] laufen lassen kannst, da ln(x) dort gar nicht definiert ist).
In deinem Fall bist du also am absoluten Ende des Definitionsberecihes angelangt, deshalb muss, wenn eine Asymptote vorliegt, diese senkrecht sein.
Aber ich denke in deinem Fall hilft auch die Argumentation über den Graphen der ln Funktion, da diese ja jedem bekannt ist.
Sláin,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mi 07.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
| Aufgabe | | Welche (von x-Achse verschiedene) Ursprungsgerade berührt die Funktion |
die Funktion verläuft ja nur im I.Quadranten...und berührt die X-Achse bei (1;0)
Muss ich davon aus eine Parallele Suchen?
Greetz
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Hallo oSwooD,
zunächst noch ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Gesucht ist hier eine Ursprungsgerade, also eine Gerade der Form $y \ = \ t(x) \ = \ [mm] m_t*x$ [/mm] .
Dafür benötigen wir zunächst den Berührpunkt $B \ [mm] \left( \ b \ | \ f(b) \ \right)$ [/mm] . Diesen erhalten wir, indem wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
$t(b) \ = \ f(b)$ [mm] $\gdw$ $m_t*b [/mm] \ = \ [mm] \left[\ln(b)\right]^2$
[/mm]
Den Wert der Tangentensteigung [mm] $m_t$ [/mm] entspricht auch der Steigung der Funktion an der Stelle $b_$ : [mm] $m_t [/mm] \ = \ f'(b) \ = \ [mm] \bruch{2*\ln(b)}{b}$ [/mm] .
Dies eingesetzt in obige Gleichung ergibt: [mm] $\bruch{2*\ln(b)}{b}*b [/mm] \ = \ [mm] \left[\ln(b)\right]^2$
[/mm]
Daraus nun $b \ = \ ...$ bzw. [mm] $m_t$ [/mm] ermitteln und in die Geradengleichung einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mi 07.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
| Aufgabe | | Ja also wenn ich diese Gleichung nach b umstellen will, lande ich bei ln(b)=ln(b) und davon hab ich ja nix |
..die beiden b links kürzen sich, danach den exponenten davorziehen auf der rechten seite..und ich komm nich weiter?
Was mach ich dabei falsch?
Ich hätte dann noch eine weitere Frage..bischen komplizierter aber vlt machbar: also der graph von [ln(x)]² und (ln x) umschließen eine fläche, welche Parallele zur Y-achse schneidet aus dieser fläche eine Strecke maximaler Länge (Extremwertaufgabe) aus.
Da bin ich einfach nur ratlos nach einem Anhalts oder Anfangspunkt. Irgendwelche Ideen?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
unter der Annahme, dass die Formel $ [mm] \bruch{2\cdot{}\ln(b)}{b}\cdot{}b [/mm] \ = \ [mm] \left[\ln(b)\right]^2 [/mm] $ stimmt, musst du doch folgendes machen:
die beiden b kürzen sich.
Dann steht dort
[mm] 2*ln(b)=(ln(b))^2
[/mm]
Das 2ln(b) rüberbringen, ein ln(b) ausklammern und weitersehen.
Das schaffst du!
Bei der zweiten Aufgabe sieht das folgendermaßen aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Fläche wird nun von einer Geraden, die senkrecht ist, geschnitten.
Die Strecke, die dann zwischen dem oberen und unterem Graphen liet, soll maximal werden. (Diese Strecke ist durch den senkrechten Strich angedeutet).
Das bekommst du auch hin=)
Sláin,
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Do 08.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
Puh..nun endlich geschafft, danke nochmal an alle die geholfen haben..=)
Aber werde demnächst noch 2 Aufgaben reinstellen müssen, damit komme ich nicht mal annährend klar =/
Mfg
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