Ableitung von x^(1/x) Problem < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie globale/lokale Extrema von [mm] x^{ \bruch{1}{x}} [/mm] |
Hallo!
Also das soll ich ableiten, aber irgendwie komme ich damit nicht zurecht, weil ich die Kettenregel nicht anwenden kann, weil ich da ja 2 "x" drin habe, also was soll dann meine innere sein?
Ich dachte mir: f(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
und g(y) = [mm] x^{y}
[/mm]
Aber dann habe ich ja in der d(y) immernoch ein x drin...
Villeicht kann mir da ja jemand helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruss Mattes
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Hallo Mattes,
> [mm]x^{ \bruch{1}{x}}[/mm]
Es gibt da zwei Beziehungen, die dir hier helfen können:
[mm]\ln \left(e^a\right) = e^{\ln a} = a[/mm],
weil die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion zum natürlichen Logarithmus ist.
Außerdem gilt:
[mm] \ln\left(a^b\right) = b\ln a[/mm]
Jetzt setze [mm]a := x\wedge b :=\tfrac{1}{x}[/mm], wende diese Beziehungen an, und benutze die Kettenregel.
Viele Grüße
Karl
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Also Danke erstmal, aber müsste das nicht: $ [mm] \ln \left(e^a\right) [/mm] = [mm] e^{\ln a} [/mm] = a $ heissen, oder ist das nur ein Schreibfehler?
Gruss Mattes
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Hallo Mattes,
> Also Danke erstmal, aber müsste das nicht: [mm]\ln \left(e^a\right) = e^{\ln a} = a[/mm]
> heissen, oder ist das nur ein Schreibfehler?
Mir fällt gerade auf, daß ich hier vielleicht eine andere Variable verwenden sollte, um Mißverständnissen mit der zweiten Formel vorzubeugen, aber ansonsten ist das schon richtig so:
[mm]\ln \left(e^z\right) = e^{\ln z} = z[/mm],
wobei [mm]z := a^b[/mm] ist.
Grüße
Karl
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Ich bin immernoch leicht irritiert.
Ich meine nämlich zu wissen, dass [mm] ln{e^{x}} [/mm] = x ist und nicht x'
Weil man ja den Exponenten vor den ln ziehen kann, dann bleibt x*ln{e} übrig und das ist x
Oder ist das falsch?
EDIT:
Ich glaube ihc habe es:
weil ja [mm] x^{ \bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] e^{ \bruch{1}{x} * ln{x}}
[/mm]
ist kann ich ja verketten:
g(y) = [mm] e^{y}
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * ln{x} (Produktregel)
Hoffe das stimmt, wenn mir das kurz einer bestätigen würde wäre ads optimal!
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mattes!
> kann ich ja verketten:
> g(y) = [mm]e^{y}[/mm]
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] * ln{x} (Produktregel)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genauso geht es ... Wie lautet also Deine Ableitung?
Gruß
Loddar
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Hi!
Die Ableitung lautet, wenns stimmt^^:
[mm] (1-ln(x))*x^{ \bruch{1}{x}-2}
[/mm]
Und die 2. Ableitung is zu kompliziert ;)
Habe den EW "0" raus, aber der is nit definiert, also keine Extremwerte ;)
Liebe Grüße Mattes
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 So 25.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mattes!
Deine Ableitung ist leider falsch.
Mir scheint, Du hast den Ausdruck [mm] $\bruch{1}{x}*\ln(x)$ [/mm] falsch abgeleitet ( Produktregel):
[mm] $\left[ \ \bruch{1}{x}*\ln(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{x^2}*\ln(x)+\bruch{1}{x}*\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-\ln(x)+1}{x^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 So 25.06.2006 | | Autor: | Mattes_01 |
Ja genau das habe ich auch gemacht, aber da hinter steht ja noch das [mm] e^{z}
[/mm]
Also so sieht das bei mir aus:
f(x) = [mm] \bruch{1}{x}*ln(x) [/mm] => f'(x) = [mm] \bruch{1-ln(x)}{x^{2}}
[/mm]
g(z) = [mm] e^{z} [/mm] => [mm] g'(z)=e^{z}
[/mm]
f'(x) * g'(f(x))
=> [mm] \bruch{1-ln(x)}{x^{2}} [/mm] * [mm] e^{\bruch{1}{x}*ln(x)}
[/mm]
[mm] =>\bruch{1-ln(x)}{x^{2}} [/mm] * [mm] x^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
und weil [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] kann man das x aus dem Nenner und das x am Ende zusammenfassen:
[mm] (1-ln(x))*x^{\bruch{1}{x}-2}
[/mm]
Oder is das falsch???
Gruss Mattes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 So 25.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mattes!
Da habe ich wohl nur von 12 bis mittags gedacht ... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") . Dein Ergebnis stimmt so!
Allerdings ist eine Nullstelle dieser Ableitung nicht $0_$ sondern $e_$ , da ja gilt: [mm] $\ln(e) [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 So 25.06.2006 | | Autor: | Mattes_01 |
<:D
Also alles nochmal abschreiben^^
Gruss Mattes
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