Ableitungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen [mm] f_i [/mm] = (i= 1, ... , 5) den natürlich Definitionsbereich [mm] D_i, [/mm] untersuchen Sie, für welche x [mm] \in D_i [/mm] die Funktion [mm] f_i [/mm] differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung f'_i(x). Ist f'_i stetig?
i) [mm] f_1(x) = |x^{3}| [/mm]
ii) [mm] f_2(x) = \bruch{sin(e^{x})}{\wurzel{x+1}} [/mm]
iii) [mm] f_3(x) = (x^{2}+3x-7)* \bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm]
iv) [mm] f_4 (x) = \pi^{x} [/mm]
v) [mm] f_5 (x) = \begin{cases} x^{3}, & x \ge 0 \\ -e^{3}*x^{2}, & x < 0 \end{cases} [/mm] |
i) [mm] D_1 [/mm] = [mm] \IR [/mm] , [mm] \forall [/mm] x [mm] \in D_1 [/mm] differenzierbar.
[mm] f'_1(x) = |3x^{2}| [/mm]
f'_1 ist stetig
ii) [mm] D_2 [/mm] = ]0, [mm] \infty [/mm] [ , [mm] \forall [/mm] x [mm] \in D_2 [/mm] diffenrenzierbar.
[mm] f'_2(x) = \bruch{e^{x}*cos(x) - \bruch{sin(e^{x})}{2*\wurzel{x+1}}}{x+1} [/mm]
f'_2 ist stetig
iii) [mm] D_3 [/mm] = hier habe ich Schwierigkeiten das zu notieren, da alle [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] in beide Richtungen nicht definiert sind.
[mm] f'_3 (x) = (2x+3)( \bruch{sin(x)}{cos(x)}+(x^{2}+3x-7)*(-\bruch{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}+1) [/mm]
iv) [mm] D_4 [/mm] = [mm] \IR [/mm] , [mm] \forall [/mm] x > 0 differenzierbar
[mm] f_4(x) = ln(x) * \pi^x [/mm]
f'_4 ist stetig
v) [mm] D_5 [/mm] = [mm] \IR [/mm] , [mm] \forall [/mm] x diff'bar
[mm] f'_5(x)=3x^2 [/mm] oder [mm] f'_5(x) = -2e^{3} [/mm]
f'_5 stetig.
Stimmt das alles soweit? Soll ich die Differenzierbarkeit nochmal im speziellen nachweisen oder reicht es genau so?
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i) ist falsch. Richtig ist
[mm]{f_1}'(x) = 3x|x|[/mm]
Und auch die andern stimmen nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
Okay bei i) habe ich wirkilch einen Fehler gemacht.
i) [mm] f_1(x) = |x^{3}| [/mm] also für x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] f_1 (x) = x^{3} [/mm] und für x< 0 [mm] f_1(x) = -x^{3} [/mm]
für x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] f'_ 1(x) = 3x^{2} [/mm] und für x > 0 [mm] f_1 (x) = -3x^{2} [/mm]
Überall diff'bar
x > 0, daher [mm] f(x) = x^{3} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{f(x) - f(0)}{x-0} = \limes_{x\rightarrow0} \bruch{x^{3} - 0}{x-0} = \limes_{x\rightarrow0} x^{2} = 0 [/mm]
x < 0, daher [mm] f(x) = -x^{3} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} = \limes_{x\rightarrow0} \bruch{-x^{3}-0}{x-0} = \limes_{x\rightarrow0} -x^{2} = 0
[/mm]
Und was ist bei den anderen alles falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Di 15.07.2014 | | Autor: | chrisno |
Zu ii. beginne mit dem maximalen Definitionsbereich und berechne die Ableitungsfunktion richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
Verdammt habe den Vorfaktor vergessen einztippen. Muss heißen
$ f'_2(x) = [mm] \bruch{\wurzel{1+x}*e^{x}\cdot{}cos(e^{x}) - \bruch{sin(e^{x})}{2\cdot{}\wurzel{x+1}}}{x+1} [/mm] $
Maximale Definitionbereich ist ]-1; [mm] \infty [/mm] [
Ist doch differenzierbar über den Defbereich.
Und stetig ist f' auch, da gibt keine kritischen Stellen im Defbereich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Mi 16.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Ja, aber leider ist auch in jeder der letzten drei Ableitungen ein Fehler drin!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Mi 16.07.2014 | | Autor: | chrisno |
neben der Anmerkung von rmix22
Generell fehlt ein Satz, warum die Ableitungen existieren, warum sie stetig sind.
zu I: Da fehlt natürlich auch der Text, was Du an der Stelle x=0 machst.
zu III: Du kannst doch erst einmal den Definitionsbereich mit Worten formulieren. Mach das genau, dann ergibt sich die abgekürzte Schreibweise.
zu V: du musst noch die Flickstelle untersuchen.
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