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| Aufgabe | | Berechnen Sie die ersten und zweiten Ableitungen sowie alle lokalen Maximum- und Minimumstellen und Sattelpunkte der folgenden Funktion: [mm] f(x,y)=(x^{3}-1)y [/mm] |
Ein herzliches Hallo an Euch,
ich denke mit den Ableitungen komme ich noch zurecht:
[mm] f(x,y)=x^{3}y-y
[/mm]
[mm] f'_x(x,y)=3yx^{2} [/mm] Ableitung nach x, ich betrachte y als Konstante
[mm] f'_y(x,y)=x^{3}-1 [/mm] Ableitung nach y, ich betrachte x als Konstante
[mm] f''_x_y(x;y)=6yx [/mm] Ableitung nach x von [mm] 3yx^{2} [/mm]
[mm] f''_y_x(x;y)=3x^{2} [/mm] Ableitung nach y von [mm] 3yx^{2} [/mm]
[mm] f''_x_y(x;y)=3x^{2} [/mm] Ableitung nach x von [mm] x^{3}-1
[/mm]
[mm] f''_y_x(x,y)=0 [/mm] Ableitung nach y von [mm] x^{3}-1
[/mm]
Für die Berechnung Minimum/ Maximum setze ich beide (?) 1. Ableitungen gleich Null:
[mm] 0=3yx^{2}
[/mm]
[mm] 0=x^{3}-1
[/mm]
aus der zweiten Gleichung erhalte ich x=1
aus der ersten Gleichung erhalte ich y=0
somit liegt bei (1; 0) eine Extremwert vor?
Stimmen meine Überlegungen bis hier? Wie kann ich nachweisen, ob Maximum oder Minimum? Für den Sattelpunkt hätte ich den Ansatz, alle 2. Ableitungen gleich Null zu setzen?
Danke für Eure Hinweise Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Mo 09.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Stimmen meine Überlegungen bis hier?
Ich habe jetzt nicht explizit jede der Ableitungen geprüft. Die Vorgehensweise ist aber korrekt.
> Wie kann ich
> nachweisen, ob Maximum oder Minimum? Für den Sattelpunkt
> hätte ich den Ansatz, alle 2. Ableitungen gleich Null zu
> setzen?
Um nachzuweisen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt,
musst du die kritischen Punkte berechnen. Das machst du, indem du
die Punkte berechnest, für die gilt grad f(x,y)=0.
Dann berechnest du die ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix und setzt die kritischen Punkte ein.
Die Kriterien für Maximum bzw. Minimum findest du unter dem angegebenen Link.
MfG
barsch
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Hallo an Euch, könnte mir bitte jemand erst einmal sagen, ob meine Berechnungen soweit korrekt sind, damit ich mich an alles weitere machen kann, Danke Zwinkerlippe
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> Hallo an Euch, könnte mir bitte jemand erst einmal sagen,
> ob meine Berechnungen soweit korrekt sind, damit ich mich
> an alles weitere machen kann, Danke Zwinkerlippe
Hallo,
barsch hatte Dir ja schon gesagt, daß Du es im Prinzip richtig gemacht hast.
Deine Ableitungen stimmen.
Du hattest als kritischen Punkt den Punkt (1,0) berechnet.
Was nicht stimmt ist der Schluß, den Du daraus ziehst.
Du schreibst sinngemäß, daß an dieser Stelle ein Extremwert vorliegt.
Korrekt ist: nur an dieser Stelle kann ein Extremwert vorliegen.
Weiter geht's nun mit der Hessematrix und ihrer Definitheit.
Gruß v. Angela
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Danke ich habe jetzt:
kritischer Punkt: (1; 0)
Hessematrix: [mm] \pmat{ 6xy & 3x^{2} \\ 3x^{2} & 0 }
[/mm]
P einsetzen: [mm] \pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 0 }
[/mm]
Determinante: -9
Schulßfolgerung: det(H)=-9<0 somit kein lokales Extremum, es liegt ein Sattelpunkt vor, ist das meine Lösung?
Danke Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mo 09.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Die Matrix hat als EW [mm] \pm [/mm] 3, also indefinit. Somit liegt ein Sattelpunkt vor.
Gruß,
dormant
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Hallo,
wie dormant sagt, ist Dein Ergebnis richtig.
Ich möchte hinzufügen: Du kannst das mit der Determinante bei 2x2-Matrizen so machen, wie Du sagst.
Gruß v. Angela
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Danke für die guten Erklärungen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Mo 09.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich kenne mich mit solchen Funktionen (sowohl von x als auch von y) nicht so aus.
Aber macht es einen Sinn, die erste Ableitung nach x zu bilden und vom Resultat dann die zweite Ableitung dann nach y und umgekehrt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Mo 09.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ich kenne mich mit solchen Funktionen (sowohl von x als
> auch von y) nicht so aus.
>
> Aber macht es einen Sinn, die erste Ableitung nach x zu
> bilden und vom Resultat dann die zweite Ableitung dann nach
> y und umgekehrt?
>
Ja, das macht Sinn. So bestimmt man die Hesse-Matrix und kann damit die Extremstellen von Funktionen mit mehreren Veränderlichen bestimmen.
MfG
barsch
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