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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mi 17.10.2007 | | Autor: | rhuyeng |
| Aufgabe | Bilde die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktion:
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Hallo,
ich habe hier die Funktion [mm] cos^2(x) [/mm] + sin(x)
ich habe mir gedacht, dass man als erstes den Summanden [mm] cos^2(x) [/mm] mit Hilfe der Produktregel ableiten muss. Hab dass wie folgt gemacht:
f'(x): [mm] -sin(x)\cdot [/mm] cos(x)+ [mm] cos(x)\cdot(-sin(x))
[/mm]
ist das überhaupt richtig? bzw. kann man das wie folgt zusammen fassen:
f'(x): sin(x)+2cos(x)???
dann dachte ich kann ich den zweiten Summanden so ableiten:
f'(x): cos(x)
dann müsste es doch
f'(x): [mm] -sin(x)\cdot [/mm] cos(x)+ [mm] cos(x)\cdot(-sin(x))+cos(x)
[/mm]
bzw.
f'(x): sin(x)+3cos(x)
heißen, oder?
Vielleicht liege ich auch ganz falsch?
Würde mich sehr über eine Antwort freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG Ricarda
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Hallo Ricarda,
-sin(x)*cos(x)+ cos(x)*(-sin(x)) hast du korrekt abgeleitet, und wichtig ist auch, dass du sofort erkannt hast, dass man hier die Produktregel anwenden muss. Die "Vereinfachung" stimmt leider nicht ganz. Richtig ist cos(x)*(-2*sin(x))! cos(x) hast du richtig abgeleitet (daumenhoch), nur schreib bitte nicht f'(x), da es nur ein Teil von f'(x) ist, zB f'_{1}(x) sieht besser aus.
f'(x): (-sin(x))*cos(x)+ cos(x)*(-sin(x))+cos(x) stimmt!
Die Zusammenfassung stimmt dann leider nicht. Hier kannst du cos(x) rausheben und du erhältst cos(x)*(1-2sin(x))!
Gruß, h.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mi 17.10.2007 | | Autor: | rhuyeng |
Erstmal vielen Dank, aber ich hab noch eine Frage zur "Vereinfachung", ich habe doch 2 cos(x), oder nicht?
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Dies ist abhängig davon, was du "raushebst". Ich habe cos(x) rausgehoben. Wenn du sin(x) raushebst, erhältst du -sin(x)*(2*cos(x))!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mi 17.10.2007 | | Autor: | rhuyeng |
Dass mit dem rausheben habe ich nicht ganz verstanden, warum macht man das. Hab aber jetzt einfach mal aus
f'(x): [mm] sin(x)\cdot cos(x)+cos(x)\cdot [/mm] (-sin(x))+cos(x)
versucht dei zweite Ableitung zu machen, dass habe ich dann wie folgt versucht:
als erstes habe ich [mm] sin(x)\cdot [/mm] cos(x) mit der Produktregel abgeleitet.
[mm] f''_(1):cos(x)\cdot cos(x)+sin(x)\cdotsin(x)
[/mm]
dann betrachte ich [mm] cos(x)\cdot(-sin(x)) [/mm] auch mit der PR:
f''_(2): [mm] -sin(x)\cdot(-sin(x))+cos(x)\cdot(-cos(x))
[/mm]
und cos(x) habe ich als -sin(x) abgeleitet.
Daraus habe ich dann:
[mm] f''(x):cos(x)\cdot cos(x)+sin(x)\cdotsin(x)+(-sin(x))\cdot(-sin(x))+cos(x)\cdot(-cos(x))
[/mm]
-sin(x)
ist dass so richtig? das kann man aber bestimmt auch noc vereinfachen, oder?
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Hallo, du hast
[mm] f(x)=cos^{2}(x)+sin(x)
[/mm]
f'(x)=-2*cos(x)*sin(x)+cos(x)
Bildung der 2. Ableitung:
1. Teil: -2*cos(x)*sin(x)
u=-2*cos(x)
u'=2*sin(x)
v=sin(x)
v'=cos(x)
[mm] 2*sin(x)*sin(x)-2*cos(x)*cos(x)=2*sin^{2}(x)-2*cos^{2}(x)
[/mm]
du hast den Faktor 2 nicht bedacht, der bleibt laut Faktorregel erhalten,
2. Teil: cos(x)
Ableitung: -sin(x)
hattest du
[mm] f''(x)=2*sin^{2}(x)-2*cos^{2}(x)-sin(x) [/mm] jetzt konnte ich deine Klammern nicht nachvollziehen,
Steffi
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