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Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Mi 03.12.2008
Autor: dicentra

Aufgabe 1
gib def max und die 1. ableitung an.

[mm] f(x)=e^{sin(x^2)}+e^{sin^2x} [/mm]

Aufgabe 2
[mm] f(x)=x^x [/mm]

Aufgabe 3
[mm] f(x)=\bruch{1}{1+e^\left(-c*x+d\right)} [/mm] mit c>0

Aufgabe 4
[mm] f(x)=\bruch{2x}{(x+1)^2} [/mm]

erstmal nur die 1. Aufgabe, die anderen später.

die ableitung von e hoch irgendwas ist doch das selbe.
dann muss doch eigentlich das ergebnis

[mm] f(x)'=e^{sin(x^2)}+e^{sin^2x} [/mm]

sein. oder?

für den definitionsbereich gilt: D=R, weil ich für x alle [mm] x|x\in\IR [/mm] einsetzen kann.


        
Bezug
Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 Mi 03.12.2008
Autor: MathePower

Hallo dicentra,

> gib def max und die 1. ableitung an.
>  
> [mm]f(x)=e^{sin(x^2)}+e^{sin^2x}[/mm]
>  [mm]f(x)=x^x[/mm]
>  [mm]f(x)=\bruch{1}{1+e^\left(-c*x+d\right)}[/mm] mit c>0
>  [mm]f(x)=\bruch{2x}{(x+1)^2}[/mm]
>  erstmal nur die 1. Aufgabe, die anderen später.
>  
> die ableitung von e hoch irgendwas ist doch das selbe.
>  dann muss doch eigentlich das ergebnis
>
> [mm]f(x)'=e^{sin(x^2)}+e^{sin^2x}[/mm]
>  
> sein. oder?


Das stimmt nur für [mm]e^{x}[/mm].

Hier gilt [mm]\left(e^{x}\right)'=e^{x}[/mm]

Bei dieser Aufgabe mußt Du die Kettenregel anwenden.


>  
> für den definitionsbereich gilt: D=R, weil ich für x alle
> [mm]x|x\in\IR[/mm] einsetzen kann.
>  
>  


[ok]


Gruß
MathePower

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Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:47 Do 04.12.2008
Autor: dicentra

wenn ich das richtig sehe, liegt hier eine verkettete verkettung und im zweiten teil eine verkettung, in der noch die produktregel angewendet werden muss, vor.

mein ergebnis:

[mm] f(x)'=e^{\sin(x^2)}*\cos(x^2)*2x+e^{\sin^2x}*2\sin(x)+\sin^2*1 [/mm]



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Bezug
Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Do 04.12.2008
Autor: moody

> [mm]f(x)'=e^{\sin(x^2)}*\cos(x^2)*2x+e^{\sin^2x}*2\sin(x)+\sin^2*1[/mm]

Ne das ist leider nicht ganz richtig, vielleicht postest du deinen Weg dazu.

Zur Kontrolle:

[mm]2x*e^{sin(x^2)}*cos(x^2) + 2e^{sin(x)^2}*cos(x)*sin(x)[/mm]

[mm] \gdw 2(x*e^{sin(x^2)}*cos(x^2) + e^{sin(x)^2}*cos(x)*sin(x))[/mm]

Bezug
                                
Bezug
Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Do 04.12.2008
Autor: dicentra

Aufgabe 1: $ [mm] f(x)=e^{sin(x^2)}+e^{sin^2x} [/mm] $
> [mm]f(x)'=e^{\sin(x^2)}*\cos(x^2)*2x+e^{\sin^2x}*2\sin(x)+\sin^2*1[/mm]

[mm] f(x)'=e^{\sin(x^2)} [/mm] ist die äußerste Ableitung
[mm] *\cos(x^2) [/mm] ist die äußere Ableitung von [mm] sin(x^2) [/mm]
*2x ist die innere Ableitung

[mm] +e^{\sin^2x} [/mm] ist die äußere Ableitung und
[mm] *2\sin(x)+\sin^2*1 [/mm] ist das ergebnis auf [mm] sin^2*x [/mm] mit der produktregel.

Bezug
                                        
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Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Do 04.12.2008
Autor: Herby

Hi,

> Aufgabe 1: [mm]f(x)=e^{sin(x^2)}+e^{sin^2x}[/mm]
>  >

> [mm]f(x)'=e^{\sin(x^2)}*\cos(x^2)*2x+e^{\sin^2x}*2\sin(x)+\sin^2*1[/mm]
>  
> [mm]f(x)'=e^{\sin(x^2)}[/mm] ist die äußerste Ableitung
>  [mm]*\cos(x^2)[/mm] ist die äußere Ableitung von [mm]sin(x^2)[/mm]
>  *2x ist die innere Ableitung

[ok]  jop - das stimmt so
  

> [mm]+e^{\sin^2x}[/mm] ist die äußere Ableitung und
>  [mm]*2\sin(x)+\sin^2*1[/mm] ist das ergebnis auf [mm]sin^2*x[/mm] mit der
> produktregel.

[mm] [\sin(x)]^2=sin(x)*sin(x) [/mm]

nach Produktregel abgeleitet:

[mm] \sin(x)'*\sin(x)+\sin(x)*\sin(x)'=\cos(x)*\sin(x)+\sin(x)\cos(x)=2*\sin(x)\cos(x) [/mm]


Liebe Grüße
Herby

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Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:16 Do 04.12.2008
Autor: dicentra

alles klar :) danke

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Ableitungen: vermutlicher Fehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:25 Do 04.12.2008
Autor: Herby

Hallo,

wahrscheinlich steckt hier das Problem

[mm] sin^2(x)=[\sin(x)]^2 [/mm]

d.h.

[mm] sin^2(x)\not=\underbrace{\sin(x)^2}_{=g(x)}*\underbrace{x}_{=h(x)} [/mm]


Lg
Herby



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Ableitungen: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 Do 04.12.2008
Autor: dicentra

Aufgabe
[mm] f(x)=x^x [/mm]

wenn ich zahlen da drin hätte

[mm]f(x)'=x*x^{x-1}[/mm]

aber irgendwie scheint mir das keinen sinn zu geben.


Bezug
                
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Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Do 04.12.2008
Autor: angela.h.b.


> [mm]f(x)=x^x[/mm]
>  wenn ich zahlen da drin hätte
>  
> [mm]f(x)'=x*x^{x-1}[/mm]
>  
> aber irgendwie scheint mir das keinen sinn zu geben.

Hallo,

wie das mit Sinn und Unsinn ist, weiß ich jetzt nicht so, aber richtig ist es jedenfalls nicht.

Du hast dies so abgeleitet, wie man  [mm] x^5 [/mm] ableiten würde, aber die Situation ist hier eine Komplett andere: unser Exponent ist nicht konstant, so daß man die von Dir verwendete Regel nicht nehmen kann.

Man muß sich [mm] f(x)=x^x [/mm] erstmal so umschreiben, daß eine der bekannten Regeln greift.

Das kann man so machen:

[mm] f(x)=x^x=e^{ln(x^x)}= e^{x*ln(x)}. [/mm]

Nun kommst Du mit bereits bekannten Regeln weiter.

Gruß v. Angela



>  


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Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Do 04.12.2008
Autor: dicentra

[mm] f(x)=x^x [/mm]

[mm] f(x)'=e^{ln(x^x)}*1*ln(x)+x*\bruch{1}{x} [/mm]

[mm] =e^{ln(x^x)}*\left(ln(x)+1\right) [/mm]

[mm] =x^{x}*\left(ln(x)+1\right) [/mm]

wieder mit kettenregel und dann die produktregel angewendet.

mal ne andere frage nebenher, was ich auch nie richtig kapiere:
wann schreibe ich = und wann [mm] \gdw [/mm] oder [mm] \Rightarrow? [/mm]

ach so, der def bereich müsste [mm]D=\{x\in\IR|x>0\}[/mm] sein.


Bezug
                                
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Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Do 04.12.2008
Autor: Denny22

Hallo,

> [mm]f(x)=x^x[/mm]
>  
> [mm]f(x)'=e^{ln(x^x)}*1*ln(x)+x*\bruch{1}{x}[/mm]
>  
> [mm]=e^{ln(x^x)}*\left(ln(x)+1\right)[/mm]
>  
> [mm]=x^{x}*\left(ln(x)+1\right)[/mm]
>  
> wieder mit kettenregel und dann die produktregel
> angewendet.

Das ist korrekt!

> mal ne andere frage nebenher, was ich auch nie richtig
> kapiere:
>  wann schreibe ich = und wann [mm]\gdw[/mm] oder [mm]\Rightarrow?[/mm]

Das Gleichheitszeichen $=$ verwendest Du bei Gleichungen. Es sagt als aus, dass auf der linken Seite dasselbe wie auf der rechten Seite steht, z.B.:

$2+5=7$, $x+x=2x$ oder [mm] $2\cdot(x+y)=2\cdot x+2\cdot [/mm] y$

Die Äquivalenzpfeile (oder: Genau-dann-wenn-Pfeile) verwendest Du, wenn die eine Seite jeweils aus der anderen Seite folgt, z.B.:

Aus [mm] $x^2=9$ [/mm] erhalten wir nach Wurzelziehen [mm] $x=\pm [/mm] 3$, also können wir [mm] $x^2=9\Longrightarrow x=\pm [/mm] 3$ schreiben. Andererseits erhalten wir aus [mm] $x=\pm [/mm] 3$ durch quadrieren [mm] $x^2=9$ [/mm] und können daher [mm] $x=\pm 3\Longrightarrow x^2=9$ [/mm] schreiben. Zusammengefasst können wir demnach [mm] $x^2=9\Longleftrightarrow x=\pm [/mm] 3$ schreiben.

Den Daraus-Folgt-Pfeil verwendest Du, wenn nur eine der Richtungen gilt, bzw. Du nur von einer der Richtungen weißt, dass sie gilt, z.B.:

Falls $x>0$ ist, folgt [mm] $x^2>0$, [/mm] also können wir [mm] $x>0\Longrightarrow x^2>0$ [/mm] schreiben. Aber (wie du oben im vorherigen Beispiel gesehen hast) gilt die Umkehrung dieser Aussage nicht. Zusammengefasst gilt also nur [mm] $x>0\Longrightarrow x^2>0$. [/mm]

> ach so, der def bereich müsste [mm]D=\{x\in\IR|x>0\}[/mm] sein.
>  

Das ist auch korrekt!

Gruß

Bezug
                                        
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Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:53 Do 04.12.2008
Autor: dicentra

ok, verstanden, schönen dank.

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Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Do 04.12.2008
Autor: Dath

Hallo,

zu 1.: Es stimmt, da war mal was mit [mm]e^{x}'=e^{x}[/mm]
Aber auch nur, weil [mm]x'=1[/mm]. Man muss das hier als verkettete Funktion ansehen.

zu 2: Ganz einfach Regel (Potenzregel) anwenden.

zu 3: Heir handelt es sich um Funktionen, die ineinander verschachtelt sind, aber durch konsequentes Anwenden der Kettenregel sollte eigentlich alles klappen.

zu 4: Ich würde hier die Qutientenregel empfehlen...

Viele Grüße,
Dath

PS: Die Definitionsmenge ist doch leicht. 1,2,3 : [mm]\IR[/mm], 4:[mm][mm] \IR [/mm] \ {-1}.

Bezug
                
Bezug
Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 Do 04.12.2008
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> zu 1.: Es stimmt, da war mal was mit [mm]e^{x}'=e^{x}[/mm]
>  Aber auch nur, weil [mm]x'=1[/mm]. Man muss das hier als verkettete
> Funktion ansehen.
>  
> zu 2: Ganz einfach Regel (Potenzregel) anwenden.
>  
> zu 3: Heir handelt es sich um Funktionen, die ineinander
> verschachtelt sind, aber durch konsequentes Anwenden der
> Kettenregel sollte eigentlich alles klappen.
>  
> zu 4: Ich würde hier die Qutientenregel empfehlen...
>  
> Viele Grüße,
>  Dath
>  
> PS: Die Definitionsmenge ist doch leicht. 1,2,3 : [mm]\IR[/mm], 4:[mm][mm] \IR[/mm] \ {-1}.



So leicht , dass es falsch ist: der Def. -Bereich von [mm] x^x [/mm] ist (0, [mm] \infty) [/mm]

FRED

Bezug
                        
Bezug
Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Do 04.12.2008
Autor: Dath

Vielen Dank, dass hätte ich sonst nicht gemerkt.
Ist eigentlich klar, denn man darf keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. (z.B. x=-0.5). Da war ich wohl ein wenig zu übereilig.

Viele Grüße,
Dath

Bezug
                                
Bezug
Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 Do 04.12.2008
Autor: dicentra

wieso wurzel? x muss wegen ln > 0 sein.

die null ist im intervall von fred nicht drin.
bei wurzel dürfte sie drin sein.

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Bezug
Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:23 Do 04.12.2008
Autor: Dath

Nein, ich meinte Folgendes:

Wenn ich jetzt bei [mm]x^{x}[/mm] z.B.[mm]-0.5[/mm] einsetze, dann erhalte ich:[mm]\bruch{1}{(-0.5)^{0.5}}[/mm]
Die Quadraturzel ist für negative Zahlen auf [mm]\IR[/mm] meines Wissens nicht definiert. Die Nullte-Wurzel existiert ja auch nicht.
(vgl. []Wikipedia
Und ja, der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

Bezug
        
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Ableitungen: Aufgabe 3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Do 04.12.2008
Autor: dicentra

Aufgabe
$ [mm] f(x)=\bruch{1}{1+e^\left(-c\cdot{}x+d\right)} [/mm] $

warum steht denn explizit dabei, dass c>0 sein soll oder muss?

mit der Quotientenregel:

$ [mm] f(x)'=\bruch{\left(1+e^{-c*x+d}\right)*0-1*e^{-c*x+d}}{\left(1+e^{-c*x+d}\right)^2}=\bruch{-1*e^{-c*x+d}}{\left(1+e^{-c*x+d}\right)^2} [/mm] $

wie ist das mit der definitionsmenge?
ich habe ja hier gleich x und d, wobei ja c scheinbar >0 sein soll.



Bezug
                
Bezug
Ableitungen: innere Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Do 04.12.2008
Autor: Roadrunner

Hallo dicentra!


Du vergisst hier die innere Ableitung wegen $-c*x+d_$ im Exponenten.


Und da die e-Funktion für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] definiert und immer nur postive Werte erzeugt, gilt für die Definitionsmenge dieser Funktion ebenefalls: $D \ = \ [mm] \IR$ [/mm] .


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                        
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Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Do 04.12.2008
Autor: dicentra

irgendwie stehe ich auf dem schlauch.
für die quotientenregel gilt:

[mm]u=1 \Rightarrow u'=0[/mm]

[mm]v=1+e^\left(-c\cdot{}x+d\right) $\Rightarrow v'=e^\left(-c\cdot{}x+d\right)[/mm]

und was soll ich jetzt mit -c*x+d machen?
weiß nicht wie das abzuleiten ist...





Bezug
                                
Bezug
Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Do 04.12.2008
Autor: fred97


> irgendwie stehe ich auf dem schlauch.
>  für die quotientenregel gilt:
>  
> [mm]u=1 \Rightarrow u'=0[/mm]
>  
> [mm]v=1+e^\left(-c\cdot{}x+d\right) $\Rightarrow v'=e^\left(-c\cdot{}x+d\right)[/mm]

Falsch !


[mm] v'=-ce^\left(-c\cdot{}x+d\right) [/mm]     Kettenregel !!!!

FRED


>  
> und was soll ich jetzt mit -c*x+d machen?
>  weiß nicht wie das abzuleiten ist...
>  
>
>
>  


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Bezug
Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Do 04.12.2008
Autor: dicentra

tut mir leid, das verstehe ich nicht, denke schon ne geraume zeit immer wieder drüber nach, aber...

[mm] v=1+e^{\left(-c\cdot{}x+d\right)}=g [/mm]
[mm] h=-c\cdot{}x+d [/mm]

ich verstehe nicht wie das -c vor das e kommt?
wie ich schon oben gefragt hatte, weiß ich auch nicht warum "mit c>0" dabei steht. vielleicht fällt dann der groschen.

zur Kettenregel. da gibt es ein beispiel auf der seite, wo sie erklärt wird.

das beispiel 1:

die äußere ableitung kapier ich.
die innere nicht.

h(x) = [mm] 2-3x^2 [/mm]  h'(x) = (-3) [mm] \cdot{} [/mm] 2 [mm] \cdot{} x^1 [/mm] = -6x

fällt die drei nicht weg, weil da minus steht?
ich dachte konstanten wären = 0?
da müßte doch die 2 abgeleitet 0 sein, die drei auch und aus [mm] x^2 [/mm] würde nur noch x.




Bezug
                                                
Bezug
Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Do 04.12.2008
Autor: Herby

Und Hi :-)


> tut mir leid, das verstehe ich nicht, denke schon ne
> geraume zeit immer wieder drüber nach, aber...
>  
> [mm]v=1+e^{\left(-c\cdot{}x+d\right)}=g[/mm]
>  [mm]h=-c\cdot{}x+d[/mm]
>  
> ich verstehe nicht wie das -c vor das e kommt?
>  wie ich schon oben gefragt hatte, weiß ich auch nicht
> warum "mit c>0" dabei steht. vielleicht fällt dann der
> groschen.


Ein paar Beispiele:


[mm] f(x)=e^x [/mm]

[mm] f'(x)=e^x [/mm]

Erklärung: Der unsichtbare Faktor vor dem x ist 1. Natürlich bleibt er auch bei der Ableitung unsichtbar.

[mm] f(x)=e^{-x} [/mm]

[mm] f'(x)=-e^{-x} [/mm]

Erklärung: Der fast unsichtbare Faktor vor dem x ist -1. Er tritt auch bei der Ableitung vor dem e auf.

[mm] f(x)=e^{2x} [/mm]

[mm] f'(x)=2*e^{2x} [/mm]

Hier erkennst du den Faktor 2 recht schnell.


-----  break  ------


Jetzt nehmen wir

[mm] f(x)=e^{x+2} [/mm]

das ist identisch mit

[mm] f(x)=e^x*e^2 [/mm]


Erklärung:

nimm [mm] x^2=x*x [/mm] und [mm] x^3=x*x*x [/mm]

dann ist  [mm] x^2*x^3=x*x*x*x*x=x^{5}=x^{2+3} [/mm]


also wäre

[mm] x^x*x^2=x^{x+2} [/mm]  <---  verständlich?

[mm] e^x*e^2=e^{x+2} [/mm]


----- break -----


[mm] f(x)=e^{-cx+d}=e^{-cx}*e^d [/mm]

nun ist [mm] e^d [/mm] ein konstanter Faktor, da er nicht von x abhängt. Er braucht beim Ableiten nicht berücksichtigt zu werden, wohl aber ist er da!

[mm] f'(x)=-c*e^{-cx}*e^d=-c*e^{-cx+d} [/mm]


Wenn du zu irgendeinem Schritt eine Frage hast, dann frag bitte.


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Fr 05.12.2008
Autor: dicentra


> [mm]f(x)=e^{2x}[/mm]
>  
> [mm]f'(x)=2*e^{2x}[/mm]
>  
> Hier erkennst du den Faktor 2 recht schnell.

  

also, frage: handelt es sich bei [mm]f(x)=e^{2x}[/mm] um eine verkettete funktion?

kettenregel sagt innere * äußere ableitung.

äußere abzuleitende funktion wäre: [mm]g(x)=e^{2x}[/mm]

innere abzuleitende funktion wäre: [mm]h(x)=2x[/mm]

demnach kommt da ... 2 raus bei der ableitung.

und laut kettenregel steht dann da [mm]f(x)'=e^{2x}[/mm] für die äußere Ableitung und [mm] *2[/mm] für die innere Ableitung. ja, dann stimmt es ja. das hab ich kapiert :-)


das heißt für die aufgabe [mm]d[/mm] fällt bei der inneren weg, da es nicht von x abhängt.
und somit bleibt nur das [mm]-c[/mm] übrig, das mal die äußere ableitung, die [mm]e^{-c*x+d}[/mm] ist, wo letztlich für die quotientenregel das v' von [mm]-c*e^{-c*x+d}[/mm] rauskommt, da auch die konstante 1 wegfällt. glaube, dass ich das auch kapiert habe. :-) :-)

dann begebe ich mich jetzt an die aufgabe.


Bezug
                                                                
Bezug
Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Fr 05.12.2008
Autor: djmatey

Na dann viel Erfolg :-)

Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Fr 05.12.2008
Autor: dicentra

so, bin auf folgendes ergebnis gekommen:

[mm]f(x)'=\bruch{c*e^{-cx+d}}{\links(1+e^{-cx+d}\rechts)^2}[/mm]

bitte noch um eine antwort, warum da "mit c>0" bei steht.
hat das irgend eine bewandnis für die aufgabe?
zur lösung komm ich doch auch, wenn das nicht da steht.

der definitionsbereich ist:

[mm]D=\{x \in \IR | x\not=-1 \}[/mm]

weil sonst unter dem bruch 0 stehen würde.


Bezug
                                                                                
Bezug
Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Fr 05.12.2008
Autor: schachuzipus

Hallo dicentra,

> so, bin auf folgendes ergebnis gekommen:
>  
> [mm]f(x)'=\bruch{c*e^{-cx+d}}{\links(1+e^{-cx+d}\rechts)^2}[/mm] [ok]

>  
> bitte noch um eine antwort, warum da "mit c>0" bei steht. [keineahnung]
>  hat das irgend eine bewandnis für die aufgabe?
>  zur lösung komm ich doch auch, wenn das nicht da steht.

Ja!

>  
> der definitionsbereich ist:
>  
> [mm]D=\{x \in \IR | x\not=-1 \}[/mm] [notok]
>  
> weil sonst unter dem bruch 0 stehen würde. [notok]

[mm] $e^{z}>0 [/mm] \ [mm] \forall z\in\IR$, [/mm] also ist der Nenner - sowohl von $f$ als auch von $f'$ - stets >1

LG

schachuzipus

>  


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Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Fr 05.12.2008
Autor: Herby

Hallo

> so, bin auf folgendes ergebnis gekommen:
>  
> [mm]f(x)'=\bruch{c*e^{-cx+d}}{\links(1+e^{-cx+d}\rechts)^2}[/mm]
>  
> bitte noch um eine antwort, warum da "mit c>0" bei steht.

weil für c<0 aus [mm] e^{-(-c)x+d}=e^{\red{+}cx+d} [/mm] werden würde :-)



Liebe Grüße
Herby

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Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:46 So 07.12.2008
Autor: dicentra


> Hallo
>  
> > so, bin auf folgendes ergebnis gekommen:
> >  

> > [mm]f(x)'=\bruch{c*e^{-cx+d}}{\links(1+e^{-cx+d}\rechts)^2}[/mm]
> >  

> > bitte noch um eine antwort, warum da "mit c>0" bei steht.
>  
> weil für c<0 aus [mm]e^{-(-c)x+d}=e^{\red{+}cx+d}[/mm] werden würde
> :-)
>  

mmh, bearbeite grade nochmals die aufgaben und frage mich,
ob es dabei ein probleme geben würde, wenn aus dem -c ein +c
würde, wenn nicht "mit c>0" dabei stehen würde.


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Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:05 So 07.12.2008
Autor: Herby

Hallo,

> > Hallo
>  >  
> > > so, bin auf folgendes ergebnis gekommen:
>  > >  

> > > [mm]f(x)'=\bruch{c*e^{-cx+d}}{\links(1+e^{-cx+d}\rechts)^2}[/mm]
>  > >  

> > > bitte noch um eine antwort, warum da "mit c>0" bei steht.
>  >  
> > weil für c<0 aus [mm]e^{-(-c)x+d}=e^{\red{+}cx+d}[/mm] werden würde
> > :-)
>  >  
>
> mmh, bearbeite grade nochmals die aufgaben und frage mich,
>  ob es dabei ein probleme geben würde, wenn aus dem -c ein
> +c
>  würde, wenn nicht "mit c>0" dabei stehen würde.
>  

nein, es gäbe kein Problem, die Aufgabe (die Ableitung) wäre dann halt eine andere. Hier hat man den Wertebereich auf [mm] 0
Das Ergebnis wäre bis auf die Vorzeichen gleich:

[mm] f(x)=\bruch{1}{1+e^{\red{+}cx+d}} [/mm]

[mm] f(x)'=\red{-}\bruch{c*e^{\red{+}cx+d}}{\links(1+e^{\red{+}cx+d}\rechts)^2} [/mm]


Liebe Grüße
Herby

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Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:33 So 07.12.2008
Autor: dicentra

alles klar, damit dürften nun alle fragen beantwortet sein. :-)

danke!

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Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Fr 05.12.2008
Autor: Herby

Und Hi,

>  
> das beispiel 1:
>  
> die äußere ableitung kapier ich.
>  die innere nicht.
>  
> h(x) = [mm]2-3x^2[/mm]  h'(x) = (-3) [mm]\cdot{}[/mm] 2 [mm]\cdot{} x^1[/mm] = -6x
>
> fällt die drei nicht weg, weil da minus steht?

nein, die Funktion h(x) besteht quasi aus zwei Teilen. Einmal aus der 2 und einmal aus [mm] 3x^2. [/mm] Verknüpft sind diese beiden Terme mit dem "-".

$h(x)=\ 2\ -\ [mm] 3x^2$ [/mm]

>  ich dachte konstanten wären = 0?
>  da müßte doch die 2 abgeleitet 0 sein,

[daumenhoch] ja, f'(x)=0 bei f(x)=2

> die drei auch und

die 3 ist wie [mm] e^d [/mm] ein FAKTOR, der bleibt.

Das ergibt für die Ableitung von [mm] f(x)=3x^2 [/mm]

[mm] f'(x)=3*2*x^1=6x [/mm]


Zusammengesetzt mit dem "-" erhalten wir also:

$h'(x)=\ 0\ -\ 6x\ =\ -6x$


ok?


Liebe Grüße
Herby

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Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Fr 05.12.2008
Autor: dicentra

Aufgabe
[mm] f(x)=\bruch{2x}{(x+1)^2} [/mm]

so die letzte aufgabe.

u' = 2
v' = 2x+1


-----

wenn in der klammer ein [mm] (3x+2)^2 [/mm] stehen würde, wie sähe es dann aus?
dann habe ich doch wieder eine verkettete funktion. wäre davon die
ableitung dann:

[mm]f(x)'=2(3x+2)*3[/mm]
[mm]f(x)'=(6x+4)*3[/mm] ? oder kann ich die andere klammer auch noch ausrechnen?
[mm]f(x)'=18x+12[/mm] so dass das die erste ableitung ist?

-----


zurück zur aufgabe:

wieder mit der quotientenregel:

[mm]f(x)'=\bruch{\links(x+1\rechts)^2*2-\links(2x+2\rechts)*2x} {\links(x+1\rechts)^4}[/mm]

und das kann ich doch noch weiter ausrechnen, so dass als ergebnis

[mm]f(x)'=\bruch{\links(x+1\rechts)^2*2-\links(x+1\rechts)^2*2x} {\links(x+1\rechts)^4}[/mm]

[mm]f(x)'=\bruch{2-2x} {\links(x+1\rechts)^2}[/mm]

rauskommt.


der definitionsbereich müsste folgender sein:

[mm] D=\{x \in \IR | \not=-1 \}[/mm]



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Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Fr 05.12.2008
Autor: djmatey


> [mm]f(x)=\bruch{2x}{(x+1)^2}[/mm]
>  so die letzte aufgabe.
>  
> u' = 2
>  v' = 2x+1

Achtung: v' = 2(x+1) = 2x+2

>  
>
> -----
>  
> wenn in der klammer ein [mm](3x+2)^2[/mm] stehen würde, wie sähe es
> dann aus?
>  dann habe ich doch wieder eine verkettete funktion. wäre
> davon die
>  ableitung dann:
>
> [mm]f(x)'=2(3x+2)*3[/mm]
>  [mm]f(x)'=(6x+4)*3[/mm] ? oder kann ich die andere klammer auch
> noch ausrechnen?
>  [mm]f(x)'=18x+12[/mm] so dass das die erste ableitung ist?

Ja, alles richtig.

>  
> -----
>  
>
> zurück zur aufgabe:
>  
> wieder mit der quotientenregel:
>  
> [mm]f(x)'=\bruch{\links(x+1\rechts)^2*2-\links(2x+2\rechts)*2x} {\links(x+1\rechts)^4}[/mm]
>  

Genau. Hier hast du auch das richtige v' benutzt! :-)

> und das kann ich doch noch weiter ausrechnen, so dass als
> ergebnis
>  
> [mm]f(x)'=\bruch{\links(x+1\rechts)^2*2-\links(x+1\rechts)^2*2x} {\links(x+1\rechts)^4}[/mm]

Hmmm, das stimmt so nicht. Wenn du die 2 ausklammern willst, kommt sie als Faktor vor die Klammer, nicht als Exponent oben drauf ;-)

>  
> [mm]f(x)'=\bruch{2-2x} {\links(x+1\rechts)^2}[/mm]

Folgefehler...

Nach dem Ausklammern der 2 kürze den Bruch mit (x+1), und du solltest erhalten:

[mm] \bruch{2(x+1)-4x}{(x+1)^3} [/mm] = [mm] \bruch{2(1-x)}{(x+1)^3} [/mm]

>  
> rauskommt.
>  
>
> der definitionsbereich müsste folgender sein:
>  
> [mm]D=\{x \in \IR | \not=-1 \}[/mm]

[mm] D=\{x \in \IR | x \not= -1\} [/mm]

>  
>  

LG djmatey

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Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Fr 05.12.2008
Autor: dicentra

so alle aufgaben gelöst und verstanden.
möchte mich herzlich bei allen bedanken, die mir geholfen habe.
morgen geht es weiter mit... mal sehen. :-)

danke.

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