Ableitungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:44 Sa 10.03.2012 | | Autor: | dosaja |
| Aufgabe 1 | 1. Gegeben sind die Funktionen
f(x) = [mm] 2\wurzel{x} [/mm] + cos(x) ;
g(x) = [mm] \bruch{1}{5} x^5 [/mm] - sin(x);
h(x) = [mm] (2x^3 [/mm] - [mm] 2)^2
[/mm]
a) Berechne per Hand die Ableitungen der Funktionen.
b) Berechne per Hand die Tangentengleichung an der Stelle x=3 |
| Aufgabe 2 | 2. Berechne alle Extrempunkte zu
g(x)= [mm] x^3-x [/mm] ;
h(x)= [mm] \bruch{1}{4} x^4 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] . |
| Aufgabe 3 | | 3.Gegeben ist die Ableitung g'(x)= [mm] (x+4)^2 [/mm] . Gib die entsprechende Ausgangsfunktion an. |
Hallo :)
Zuerst eine kleine Anmerkung: Ich bin hier das 1. Mal also verzeiht mit Fehler mit dem Editor oder ähnliches :)
So nun zu meinen Fragen:
Aufgabe 1a) f(x) und g(x) habe ich gelöst aber was die Ableitung zu h(x) ist, ist mir ein Rätsel. Ich hab ersteinmal versucht die Ableitung von [mm] 2x^3 [/mm] zu bilden, was ja [mm] 6x^2 [/mm] sein müsste und dann nochmal davon die Ableitung (12x) damit man die Potenz nicht mehr stehen hat. Danach hab ich das mit der binomischen Formel versucht. Erscheint mir jetzt auch logisch aber anscheinend habe ich in meiner Rechnung irgendeinen Fehler gemacht, da bei mir 72x - 4 rauskam.
Nun zu Aufgabe 1b:
h(x) konnte ich nicht lösen, da man ja dafür die Ableitung braucht.
Bei f(x) habe ich nur die x-Koordinate des Punktes ausgerechnet.
Hier einmal meine Vorgehensweise:
Man muss ja bei der Ableitung der Funtion x durch die 3 ersetzen und dann nur ausrechnen. Dann bekommt man m (=Steigung).
Danach die 3 anstelle des x in der Ausgangsgleichung platzieren. Dann hat man einen Wert raus den man dann gleichsetzt und zwar mit dem ersten errechneten Wert + b.
Am besten ich schreibe meinen Gedankengang nochmal konkret auf:
f(x)= [mm] 2\wurzel{x} [/mm] + cos(x)
f'(x)= x^ - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - sin(x)
Dann in diese Ableitung die 3 einsetzen:
f'(x)= 3^ - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - sin(3) [mm] \approx [/mm] -1,64
Dieser Wert ist dann m.
Um die 2te Koordinate dann herauszufinden muss man dann (glaub ich) die 3 in die Ausgangsgleichung einsetzen. Also:
f(x)= 2 * [mm] \wurzel{3} [/mm] + cos(3)
/approx 2.745
Dann setz man ein: 2,745 = -1,64*3+b
2,745 = -4,92+b
b = 7,394
und anhand meiner Rechnung wäre die Gleichung:
y= -1,64x + 7,394
Da man mit dem Taschenrechner nachprüfen kann ob es richtig ist, weiss ich das zumindest b falsch ist.
Bei g(x) habe ich es auch so gemacht und wieder war m halbwegs richtig aber b total falsch.
Ich wüsste nicht woran das liegen könnte....
Aufgabe 2:
Prinzipiell weiss ich wie man die Extrempunkte errechnet, da es (leichte) Aufgaben gibt bei denen ich das richtige Ergebnis errechnet habe.
Bei g(x) liegt mein Problem darin, dass es (soweit ich mich erinnere) eine Gerade ist und eine Gerade doch keine Extrempunkte hat...oder?
Bei h(x) habe ich selbst mit dem Ansatz meine Probleme.
Aufgabe 3:
g'(x) = [mm] (x+4)^2
[/mm]
Nach der binomischen Formel aufgelöst:
g'(x) = [mm] x^2 [/mm] + 8x + 16
Dann mein Problem:
g(x) = ?? [mm] +4x^2 [/mm] + 16x
Die Potenz müsste ja eigentlich 3 sein. Also quasi [mm] x^3 [/mm] aber dann würde die Ableitung ja [mm] 3x^2 [/mm] sein.
Für Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Sa 10.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum differeenzieren von h(x)
Hattet ihr die Kettenregel, dann damit.
wenn nicht erst die Klammer mit der binomischen formel auflosen.
bei der berechnung der tangente hast du den Rechenweg richtig, aber [mm] 1/\wurzel{3}-sin(3)=\approx [/mm] 0.436
da hast du dich verrechnet. bei f(x) vielleicht nur vertipt? f(x)=2.474
zu 2
g(x) ist keine Gerade, in geraden hast du nur x nie [mm] x^2 [/mm] oder [mm] x^3
[/mm]
h(x) hat doch nur einfache potenzen, was ist da die Schwierigkeit. Bein = setzen x ausklammern und: ein Produkt ist 0 wenn einer der Faktoren 0 ist.
zu 3
einfacher wäre es nicht aufzulösen
aber so geht es auch. wenn [mm] x^3 [/mm] abgeleitet [mm] 3x^2 [/mm] gibt , was gibt [mm] 1/3*x^3 [/mm] abgeleitet?
zu der 1 musst du schreiben, was du genau gemacht hast, dann finden wir deinen fehler sicher.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 10.03.2012 | | Autor: | dosaja |
Danke für die Antwort! :)
Aufgabe 1a
Nein, die Kettenregel hatten wir in der Schule eigentlich noch nicht aber ich habe mir jetzt Videos bei Youtube angesehen, die diese erklären und werde diese jetzt auch benutzen. Meine Lösung:
h(x)= [mm] (2x^3-2)^2
[/mm]
[mm] v(x)=2x^3 [/mm] --> [mm] v'(x)=6x^2=12x
[/mm]
[mm] u(v)=v^2 [/mm] --> u'(v)=2v
h'(x)=12x* [mm] 2(2x^3-2)
[/mm]
Wäre ich dann mit dieser Aufgabe fertig oder kann man diese noch weiter bearbeiten??
Ohne die Kettenregel habe ich es eben nochmal so versucht:
Erstmal [mm] 2x^3 [/mm] abgeleitet: [mm] 2x^3 [/mm] -> [mm] 6x^2 [/mm] -> 12x
h(x)= [mm] (2x^3 -2)^2
[/mm]
= [mm] (12x-3)^2
[/mm]
= [mm] 12x^2 [/mm] - (2*12x* (-2)) +4
= 24x - 48x +4
= -24
Obwohl jedes Mal wenn ich die Aufgabe bearbeite irgendwas anderes rauskommt. Ich glaube da fehlt bei mir das allg. mathematische Wissen was/wie kombiniert werden darf oder nicht... :)
Aufgabe 1b
Bei f(x) waren deine Korrekturen hilfreich, doch wenn man f(x) dann in den GTR eintippt, kommt diese Lösung heraus:
f(x)=0,4173x+1,22
Die Gleichung die ich berechnet habe lautet aber:
f(x)=0,4359x+2,0382
M passt ja einigermaßen. Die kleine Abweichung könnten von der Rundung entstehen. Könnte die Abweichung bei b auch aufgrund der Rundung zustandekommen?
Aufgabe 2
Bei g(x) und h(x) hab ich bei beiden x=0 und x= [mm] \wurzel{1} [/mm] raus....
Rechenweg: g(x)= [mm] x^3-x
[/mm]
[mm] g'(x)=3x^2-1
[/mm]
[mm] 0=3x^2-1 [/mm] | /3
[mm] 0=x^2-1
[/mm]
0=x(x-1)
x=0
x= [mm] \wurzel{1}
[/mm]
h(x)= [mm] \bruch{1}{4} x^4-x^2
[/mm]
h'(x)= [mm] x^3 [/mm] - 2x
[mm] 0=x^3-2x [/mm] |/(-2)
[mm] 0=x^3-x
[/mm]
[mm] 0=x(x^2-1)
[/mm]
x=0
x= [mm] \wurzel{1}
[/mm]
Irgendwie kann das ja nicht richtig sein :/
Aufgabe 3
Oh. Also ist die Gleichung jetzt:
g(x)= [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] + 16x ?
> Hallo
> zum differeenzieren von h(x)
> Hattet ihr die Kettenregel, dann damit.
> wenn nicht erst die Klammer mit der binomischen formel
> auflosen.
> bei der berechnung der tangente hast du den Rechenweg
> richtig, aber [mm]1/\wurzel{3}-sin(3)=\approx[/mm] 0.436
> da hast du dich verrechnet. bei f(x) vielleicht nur
> vertipt? f(x)=2.474
> zu 2
> g(x) ist keine Gerade, in geraden hast du nur x nie [mm]x^2[/mm]
> oder [mm]x^3[/mm]
> h(x) hat doch nur einfache potenzen, was ist da die
> Schwierigkeit. Bein = setzen x ausklammern und: ein Produkt
> ist 0 wenn einer der Faktoren 0 ist.
>
> zu 3
> einfacher wäre es nicht aufzulösen
> aber so geht es auch. wenn [mm]x^3[/mm] abgeleitet [mm]3x^2[/mm] gibt , was
> gibt [mm]1/3*x^3[/mm] abgeleitet?
>
> zu der 1 musst du schreiben, was du genau gemacht hast,
> dann finden wir deinen fehler sicher.
> gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo
1)
du hast von [mm] 2x^3-2 [/mm] richtig die Ableitung gebildet [mm] 6x^2 [/mm] aber auf keinen Fall 6*2 rechnen, du willst doch nicht eine weitere Ableitung bilden
also [mm] 6x^2*2*(2x^3-2)
[/mm]
ohne Kettenregel kannst du auch ableiten, Auflösen der Klammern, Stichwort Binomische Formel
[mm] f(x)=\wurzel{x}+cos(x)
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}-sin(x)
[/mm]
[mm] f'(3)=\bruch{1}{\wurzel{3}}-sin(3)\approx0,43623
[/mm]
vermutlich steht dein Taschenrechner noch auf Gradmaß
3)
[mm] g(x)=x^3-x
[/mm]
[mm] g'(x)=3x^2-1
[/mm]
[mm] 0=3x^2-1
[/mm]
[mm] 1=3x^2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}=x^2
[/mm]
x=....
[mm] h'(x)=x^3-2x
[/mm]
[mm] 0=x^3-2x
[/mm]
[mm] 0=x(x^2-2)
[/mm]
[mm] x_1=0
[/mm]
[mm] x_2=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_3=-\wurzel{2}
[/mm]
3)
dir fehlt noch ein Summand, überprüfe das Auflösen der Klammern
[mm] \bruch{1}{3}*(x+4)^3+C
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Paddi15 |
Zu Aufgabe 3:
Wie wäre es mit [mm]\bruch{1}{3}x^3[/mm]?
Wenn man aufleitet schreibt man die nächst hörere Potenz also n+1 auch in den Nenner.
|
|
|
|
