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| Aufgabe | 1.) Bilden Sie die erste Ableitung von folgenden Funktionen
a. y= ln [mm] \bruch{\wurzel[3]{x²}}{e^{2x}}
[/mm]
b. y= ln [mm] \bruch{e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} [/mm] |
Hallo,
komme bei den beiden oben genannte Funktionen leider so gar nicht weiter. Vor allem ausgabe a) die Wurzel macht mir einige Kopfzerbrechen.
Bei Aufgabe b) bin ich mir nicht sicher, ob ich die "e"´s einfach ableiten kann, also die Quotientenregel anwenden muss.
Vielen Dank schoneinmal im voraus für eure Mühe,
Mit freundlichen Grüßen,
Sebastian
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, du wirst wissen, die Ableitung von ln(x) ist [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] bei deiner Aufgabe also 1. Schritt:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\bruch{x^{\bruch{2}{3}}}{e^{2x}}} [/mm] diesen Doppelbruch kanst du natürlich noch vereinfachen, somit hast du die äußere Ableitung, jetzt zur inneren Ableitung, also bilde die Ableitung von [mm] \bruch{x^{\bruch{2}{3}}}{e^{2x}} [/mm] hier benötigst du die Quotientenregel und für [mm] e^{2x} [/mm] noch die Kettenregel
Steffi
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Also müsste die Antwort nach meinen umstellungen ja lauten:
y= ln [mm] \bruch{\wurzel[3]{x²}}{e^{2x}}
[/mm]
y´= [mm] \bruch{1}{\bruch{\bruch{2}{3}x^{-\bruch{1}{2}}*e^{2x}-x^{\bruch{2}{3}}*2x
e^{2x}}{(e^{2x})²}}
[/mm]
Ist das richtig so??
Vielen Dank an Steffi21 für die schnelle Antwort, hoffe ich habe sie jetzt hier richtig umgesetzt
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Hallo ronin,
das passt noch nicht, du hast die äußere Ableitung verschludert und irgendwie bei der inneren Ableitung mit der Quotientenregel nen Fehler:
[mm] $f(x)=\ln\left(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{e^{2x}}\right)$
[/mm]
Dann ist [mm] $f'(x)=\underbrace{\frac{1}{\frac{x^{\frac{2}{3}}}{e^{2x}}}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\frac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}e^{2x}-2x^{\frac{2}{3}}e^{2x}}{e^{4x}}}_{\text{innere Ableitung}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{e^{2x}}{x^{\frac{2}{3}}}\cdot{}\frac{e^{2x}\left(\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-2x^{\frac{2}{3}}\right)}{e^{4x}}=\frac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-2x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}=\frac{2}{3x}-2$
[/mm]
Das ist aber seeeeeehr fehleranfällig, darum möchte ich dir eine weit einfachere Möglichkeit zeigen, das Biest abzuleiten:
Wenn du vor dem Ableiten einige Logarithmusgesetze bemühst und das Biest zunächst umformst, wird die Ableitung kinderleicht:
[mm] $\ln\left(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{e^{2x}}\right)=\ln\left(x^{\frac{2}{3}}\right)-\ln\left(e^{2x}\right)$
[/mm]
nach dem Logarithmusgesetz [mm] $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$
[/mm]
[mm] $=\frac{2}{3}\cdot{}\ln(x)-2x\cdot{}\ln(e)=\frac{2}{3}\cdot{}\ln(x)-2x$
[/mm]
nach dem Logarithmusgesetz [mm] $\ln\left(a^b\right)=b\cdot{}\ln(a)$
[/mm]
Und das ist doch bei weitem angenehmer abzuleiten, oder ?
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | die Aufgabe lautete:
y= ln [mm] \bruch{e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
[/mm]
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ich versuche mich jetzt einmal an der Aufgabe b), da ich ja nun auf den neuen Ansatz gebracht wurde, erst zu zerlegen und dann abzuleiten. vielen Dank nochmal. Bei meiner ersten zusammenfassung habe ich bei der Quotientenregel den fehler gemacht, dass ich die Potenz nicht direkt verarbeitet habe, sondern noch oben drüber geschrieben habe.
Also:
b: y´= [mm] \bruch{1}{e^{-x}}*(-e^{-x})-\bruch{1}{e^{x}+e^{-x}}*(e^{x}-e^{-x})
[/mm]
so, ich hoffe, dass es so richtig ist. I do my very best.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
völlig richtig. noch eins einfacher wärs gewesen beim ersten Term ln(e^-x)=-x zu sehen. Aber du hast die -1 als Ableitung des ersten Terms ja auch so richtig raus.
Gruss leduart
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Das ist ja wunderbar, vielen Dank, manchmalsieht man den baum vor lauter Bäumen nicht... klasse.
Wie sieht es aber aus, wenn ich oben genannte Formel habe und kein ln?? Wäre dann meine Umformng richtig ? Man muss natürlich die 1 ganz oben und somit den oberen Bruch wegnehmen, aber ist meine Verfahrensweise dann richtig ?? Finde das entschachteln nämlich ziemlich schwer.
Liebe Grüße,
Sebastian
(P.S. bin total begeistert von der Hilfbereitschaft ! )
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Hallo!
Wenn das ln da nicht mehr steht dann hast du [mm] \bruch{e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} [/mm] stehen Nun können wir umformen: Bedenke [mm] e^{-x}=\bruch{1}{e^{x}} [/mm] und [mm] e^{x}*e^{x}=e^{2x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{\bruch{1}{e^{x}}}{e^{x}+\bruch{1}{e^{x}}}=\bruch{\bruch{1}{e^{x}}}{\bruch{e^{2x}+1}{e^{x}}}=\bruch{1}{e^{x}}*\bruch{e^{x}}{e^{2x}+1}=\bruch{1}{e^{2x}+1} [/mm] Nun kann man das mit der Produktregel ableiten und [mm] e^{2x} [/mm] mit der Kettenregel. Die Umformung sieht heftiger aus als sie ist
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ohne ln brauchst du die Quotientenregel, ich würd lieber e^_2x in den Zähler schreiben und dann die Produktregel nehmen.
Gruss leduart
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Hallo ronin,
> 1.) Bilden Sie die erste Ableitung von folgenden
> Funktionen
> a. y= ln [mm]\bruch{\wurzel[3]{x²}}{e^{2x}}[/mm]
> b. y= ln [mm]\bruch{e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}[/mm]
> Hallo,
>
> komme bei den beiden oben genannte Funktionen leider so gar
> nicht weiter. Vor allem ausgabe a) die Wurzel macht mir
> einige Kopfzerbrechen.
Es ist ueblich einen solchen Ausdruck zwecks Rechenerleichterung mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) Logarithmengesetze zu vereinfachen.
> Bei Aufgabe b) bin ich mir nicht sicher, ob ich die "e"´s
> einfach ableiten kann, also die Quotientenregel anwenden
> muss.
Natuerlich, die "e"'s sind die Exponentialfunktionen.
Auch hier gilt wieder, zuerst den "Quotienten" vereinfachen und dann die Logarithmengesetze auf den vereinfachten Ausdruck anwenden.
>
> Vielen Dank schoneinmal im voraus für eure Mühe,
> Mit freundlichen Grüßen,
> Sebastian
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | | Bilden Sie die Ableitung von y=ln [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{1}{x}}} [/mm] |
zuerst habe ich den Bruch aufgelöst, dann habe ich ja einmal ln 1, was ja meiner Meinung nach dann wegfällt. dann habe ich nur noch
[mm] y=ln\wurzel{1-\bruch{1}{x}}
[/mm]
die wurzel kann ich dann ja auch umschreiben und da es dann ein Exponent ist vor das ln ziehen.
also: y= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] (1-\bruch{1}{X})
[/mm]
und nun? habe irgendwie nen Hänger, würde ja die Produktregel anwenden, aber habe ich hier nicht drei Faktoren? Ich hoffe, dass meine herleitung richtig ist, wenn nicht bitte entschuldigen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Logarithmusgesetzen![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
