Ableitungen berechnen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Di 14.09.2010 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | Sei a > 1. Berechne die Ableitungen für f' und g'
a) f: [mm] \IR_{>0} \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto cos(ln(x)*a^x)
[/mm]
b) g: [mm] \IR_{>0} \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \bruch{log_{a}*(x)}{exp(\wurzel{x})} [/mm] |
Liebe Helfer,
Ableitungen sind eigentlich kein Problem, es sei denn sie sehen so aus wie diese beiden. Hier komme ich nicht weiter
Muss man hier z.B. bei a) erst cos(x) ableiten?
Also Ableitung von cos(x) = -sin(x)
Dann habe ich [mm] -sin(ln(x)*a^x) [/mm] ?
und dann ln(x) und [mm] a^x [/mm] ableiten?
also [mm] -sin(\bruch{1}{x}*xa) [/mm] ?
Oder ist das komplett falsch?
Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege...
Bei der b) habe ich nicht einmal einen Ansatz.
Aber soweit ich weiss ist die Ableitung von [mm] e^x [/mm] ist immer [mm] e^x.
[/mm]
Was passiert mit dem [mm] log_{a}. [/mm] HILFE
Lg ATDT
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Di 14.09.2010 | | Autor: | algieba |
Hi ATDT
> Sei a > 1. Berechne die Ableitungen für f' und g'
>
> a) f: [mm]\IR_{>0} \to \IR[/mm] : x [mm]\mapsto cos(ln(x)*a^x)[/mm]
> b) g:
> [mm]\IR_{>0} \to \IR[/mm] : x [mm]\mapsto \bruch{log_{a}*(x)}{exp(\wurzel{x})}[/mm]
>
> Liebe Helfer,
>
> Ableitungen sind eigentlich kein Problem, es sei denn sie
> sehen so aus wie diese beiden. Hier komme ich nicht weiter
>
> Muss man hier z.B. bei a) erst cos(x) ableiten?
> Also Ableitung von cos(x) = -sin(x)
> Dann habe ich [mm]-sin(ln(x)*a^x)[/mm] ?
> und dann ln(x) und [mm]a^x[/mm] ableiten?
> also [mm]-sin(\bruch{1}{x}*xa)[/mm] ?
>
> Oder ist das komplett falsch?
> Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege...
Leider liegst du falsch! Du musst hier die Kettenregel und die Produktregel anwenden.
Als erstes wenden wir die Kettenregel an:
Sei $u(x) = [mm] \cos [/mm] (x)$ und $v(x) = [mm] \ln [/mm] (x) * [mm] a^x$
[/mm]
Dann ist $f(x) = u(v(x))$, und damit können wir die Kettenregel anwenden. Die Ableitung ist dann $f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)$!
Um $v'(x)$ zu berechnen musst du die Produktregel verwenden:
Sei $g(x) = [mm] \ln [/mm] (x)$ und $h(x) = [mm] a^x$ [/mm]
Dann ist $v(x) = g(x) * h(x)$. Dann ist die Ableitung $v'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x)$
Die Berechnungen der Ableitungen überlasse ich dir, damit ich dir nicht alles vorsage  Nur noch ein Tipp: Deine Ableitung von [mm] $a^x$ [/mm] ist nicht richtig!
> Bei der b) habe ich nicht einmal einen Ansatz.
> Aber soweit ich weiss ist die Ableitung von [mm]e^x[/mm] ist immer
> [mm]e^x.[/mm]
> Was passiert mit dem [mm]log_{a}.[/mm] HILFE
Die b) geht im Prinzp ähnlich wie die a), nur musst du hier die Quotientenregel und die Kettenregel verwenden (unter der Annahme, dass du dich bei der Aufgabe verschrieben hast, und das Malzeichen überflüssig ist: [mm]\bruch{log_{a}(x)}{exp(\wurzel{x})}[/mm].
Es stimmt zwar dass die Ableitung von [mm] $e^x$ [/mm] immer [mm] $e^x$ [/mm] ist, das gilt bei [mm] $e^{\sqrt{x}}$ [/mm] aber nicht. Hier musst du die Kettenregel wie bei a) verwenden.
Die Ableitung von [mm] $log_{a} [/mm] (x)$ ist [mm] $(log_{a} [/mm] (x))' = [mm] \frac{1}{x*\ln (a)}$
[/mm]
Viele Grüße
algieba
>
> Lg ATDT
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Do 23.09.2010 | | Autor: | ATDT |
Vielen Dank!
Ich habe es nun mal versucht:
f(x) = cos(ln(x) * [mm] a^x)
[/mm]
Kettenregel: Sei u(x) = cos(x)
v(x) = ln(x) * [mm] a^x
[/mm]
f(x) = u(v(x)) also f(x) = cos(ln(x) * [mm] a^x)
[/mm]
f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) also f'(x) = -sin(ln(x) * [mm] a^x) [/mm] * v'(x)
Für die Berechnung von v'(x) benutze die Produktregel:
Sei g(x) = ln(x)
h(x) = [mm] a^x
[/mm]
v(x) = g(x) * h(x) also v(x) = ln(x) * [mm] a^x
[/mm]
v'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x) also v'(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] a^x [/mm] + ln(x) * ln(a) * [mm] a^x
[/mm]
Also ist die Ableitung von f(x) = cos(ln(x) * [mm] a^x)
[/mm]
= f'(x) = -sin(ln(x) * [mm] a^x) [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] a^x [/mm] + ln(x) * ln(a) * [mm] a^x [/mm]
stimmt das?
LG ATDT
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 23.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das ist soweit okay, du hast dnur vergessen, um die innere Ableitung Klammern zu setzen.
Korrekt wäre also:
[mm] f'(x)=-\sin(\ln(x)*a^{x})*\red{\left(}\bruch{1}{x}*a^{x}+\ln(x)*\ln(a)*a^{x}\red{\right)}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 23.09.2010 | | Autor: | ATDT |
Herzlichen Dank!
nun zur b)
Ohje ich hab einfach mal stur die Regeln angewandt. Hoffe es passt so.
[mm] (\bruch{f}{g})=\bruch{log_{a}(x)}{exp(\wurzel{x})}
[/mm]
Quotionenregel: [mm] (\bruch{f}{g})'=\bruch{f'*g-f*g'}{g^2}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{ln(a)*x}
[/mm]
Sei u(x) = e
und v(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm]
[mm] g'(x)=u'(v(x))*v'(x)=e(\wurzel{x})*\bruch{1}{2\wurzel{x}}=\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] (\bruch{f}{g})'=\bruch{\bruch{1}{ln(a)*x}*e^{\wurzel{x}}-log_{a}(x)*\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}*e^{\wurzel{x}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{e^{\wurzel{x}}}{ln(a)*x}-log_{a}(x)*\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}*e^{\wurzel{x}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{ln(a)*x}-log_{a}(x)*\bruch{e}{2}}{e^{\wurzel{x}}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Do 23.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Herzlichen Dank!
Bitte
>
> nun zur b)
> Ohje ich hab einfach mal stur die Regeln angewandt. Hoffe
> es passt so.
>
> [mm](\bruch{f}{g})=\bruch{log_{a}(x)}{exp(\wurzel{x})}[/mm]
> Quotionenregel: [mm](\bruch{f}{g})'=\bruch{f'*g-f*g'}{g^2}[/mm]
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{ln(a)*x}[/mm]
>
> Sei u(x) = e
> und v(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm]
> [mm]g'(x)=u'(v(x))*v'(x)=e(\wurzel{x})*\bruch{1}{2\wurzel{x}}=\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm](\bruch{f}{g})'=\bruch{\bruch{1}{ln(a)*x}*e^{\wurzel{x}}-log_{a}(x)*\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}*e^{\wurzel{x}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\bruch{e^{\wurzel{x}}}{ln(a)*x}-log_{a}(x)*\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}*e^{\wurzel{x}}}[/mm]
Bis hierher ist alles korrekt, im nächsten Schritt machst du beim Ausklammern von [mm] e^{\wurzel{x}} [/mm] einen Fehler:
Es glt:
[mm] \bruch{\bruch{e^{\wurzel{x}}}{\ln(a)\cdot{}x}-\log_{a}(x)\cdot{}\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}\cdot{}e^{\wurzel{x}}} [/mm]
[mm] =\bruch{e^{\wurzel{x}}*\left(\bruch{1}{\ln(a)\cdot{}x}-\log_{a}(x)\cdot{}\bruch{1}{2\wurzel{x}}\right)}{e^{\wurzel{x}}\cdot{}e^{\wurzel{x}}} [/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{2}{2\ln(a)\cdot{}x}-\bruch{\log_{a}(x)\cdot{}*\wurzel{x}}{2\wurzel{x}\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}} [/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{2-\log_{a}(x)*\wurzel{x}}{2x}}{e^{\wurzel{x}}} [/mm]
Wenn du jetzt noch viel tun willst, kannst du den Doppelbruch entfernen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Do 23.09.2010 | | Autor: | ATDT |
Hallo Marius,
danke für deine Hilfe.
Also eigentlich habe ich nicht versucht auszuklammern... sondern zu kürzen. Hast du vielleicht etwas übersehen? ich meine beim e * [mm] (\wurzel{x}) [/mm] im zähler. es ist nicht e hoch wurzel x
naja, ich kann auch falsch liegen. Ich dachte halt man könnte da einfach kürzen.
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Hallo ATDT,
> Hallo Marius,
>
> danke für deine Hilfe.
>
> Also eigentlich habe ich nicht versucht auszuklammern...
> sondern zu kürzen. Hast du vielleicht etwas übersehen?
> ich meine beim e * [mm](\wurzel{x})[/mm] im zähler. es ist nicht e
> hoch wurzel x
Das muss aber [mm]e^{\sqrt{x}}[/mm] lauten.
Entweder schreibst du [mm]\exp(\sqrt{x})[/mm] oder [mm]e^{\sqrt{x}}[/mm]
Beides meint dasselbe.
[mm]e(\sqrt{x})[/mm] als Abkürzung für [mm]e\cdot{}\sqrt{x}[/mm] ist eine ganz andere (und hier sehr falsche) Baustelle!
>
> naja, ich kann auch falsch liegen.
Ja!
> Ich dachte halt man
> könnte da einfach kürzen.
Zumindest auf "deine Art" nicht
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Do 23.09.2010 | | Autor: | ATDT |
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