Ableitungen einer gebrochenrat < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 So 14.08.2005 | | Autor: | fritz48 |
Hallo Mathe-Befähigten!
Ich bin gerade dabei meine Mathefähigkeiten für das Abitur aufzufrischen und bei einer Kurvendiskusion musste man eine Funktion ableiten. Die Lösung ist mir zwar bekannt, trotzdem kam ich auch nach mehreren Versuchen nicht auf diese Lösung.
Ich bitte um Hilfe beim Lösungsweg und bedanke mich schon mal im Vorraus.
Die Funktion:
f(x)= [mm] x^2 [/mm] / (3x-9)
f'(x)= x(x-6) / [mm] 3(x-3)^2 [/mm] <---Auf die Ableitung bin ich noch gekommen
f''(x)= 6 / [mm] 8x-3)^3 [/mm] <-- Hierfür ist der Lösungsweg unklar!
Beste Grüße
Fritz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Fritz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Funktion:
>
> [mm]f\left( x \right) = \bruch{x^2}{3x-9}[/mm]
>
> [mm]f'\left( x \right) = \bruch{x\left(x-6\right)}{3\left(x-3\right)^2} \leftarrow \text{Auf die Ableitung bin ich noch gekommen}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f''\left( x \right) = \bruch{6}{\left( 8x-3 \right)^3} \leftarrow \text{Hierfür ist der Lösungsweg unklar!}[/mm]
Rechnen wir das mal nach:
[m]\begin{gathered}
f''\left( x \right) = \left[ {\frac{{x\left( {x - 6} \right)}}
{{3\left( {x - 3} \right)^2 }}} \right]'\mathop = \limits^{{\text{Quotientenregel}}} \frac{{\overbrace {\left[ {x\left( {x - 6} \right)} \right]'}^{{\text{Produktregel}}}3\left( {x - 3} \right)^2 - x\left( {x - 6} \right)\overbrace {\left[ {3\left( {x - 3} \right)^2 } \right]'}^{{\text{Kettenregel}}}}}
{{\left( {3\left( {x - 3} \right)^2 } \right)^2 }} \hfill \\
= \frac{{\left( {\left[ x \right]'\left( {x - 6} \right) + x\left[ {x - 6} \right]'} \right)3\left( {x - 3} \right)^2 - x\left( {x - 6} \right)\left( {3\overbrace {\left[ {x - 3} \right]'2\left( {x - 3} \right)}^{\begin{subarray}{l}
{\text{''innere Ableitung'' }}* \\
{\text{''äu{\ss}ere Ableitung''}}
\end{subarray}} } \right)}}
{{9\left( {x - 3} \right)^4 }} \hfill \\
= \frac{{\left( {\left( {x - 6} \right) + x} \right)3\left( {x - 3} \right)^2 - x\left( {x - 6} \right)\left( {6\left( {x - 3} \right)} \right)}}
{{9\left( {x - 3} \right)^4 }} = \frac{{\left( {2x - 6} \right)3\left( {x - 3} \right)^2 - x\left( {x - 6} \right)6\left( {x - 3} \right)}}
{{9\left( {x - 3} \right)^4 }} \hfill \\
= \frac{{\left( {2x - 6} \right)\left( {x - 3} \right) - x\left( {x - 6} \right)2}}
{{3\left( {x - 3} \right)^3 }} = \frac{{2x^2 - 12x + 18 - 2x^2 + 12x}}
{{3\left( {x - 3} \right)^3 }} = \frac{6}
{{\left( {x - 3} \right)^3 }} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
So wie es aussieht, hat deine Musterlösung im Nenner einen Fehler drin. Wie kommt den da die 8 in die Klammer?
Viele Grüße
Karl
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[mm]f'(x) = \frac{x(x-6)}{3(x-3)^2} = \frac{(x^2-6x+9)-9}{3(x-3)^2} = \frac{(x-3)^2}{3(x-3)^2}-\frac{9}{3(x-3)^2} = \ldots[/mm]
Und dann erst differenzieren ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 So 14.08.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Leopold,
> [mm]f'(x) = \frac{x(x-6)}{3(x-3)^2} = \frac{(x^2-6x+9)-9}{3(x-3)^2} = \frac{(x-3)^2}{3(x-3)^2}-\frac{9}{3(x-3)^2} = \ldots[/mm]
>
> Und dann erst differenzieren ...
Du hast vollkommen recht. Damit muß man nur ein einziges Mal die Kettenregel anwenden und ist dann sofort fertig. Schöne Lösung. 
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