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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jede stetig differenzierbare reellwertige Funktion f auf einer offenen Teilmenge der Hyperebene {0} [mm] \times \IR^{m} [/mm] oder einer offenen Teilmenge des Halbraumes [mm] \IR_{ \le 0} \times \IR^{m+1} [/mm] sich zu einer stetig differenzierbaren Funktion auf einer offenen Teilmenge des [mm] \IR^{m+1} [/mm] forsetzen lässt |
Guten Abend allerseits,
ich habe mit dieser Aufgabe allerhand Probleme:
erstens kann ich mir nicht richtig erklären, was "fortsetzen" heißt. Meine Funktion f ist ja zunächt nur auf Elementen der Hyperebene bzw des Halbraumes definiert, d.h. ihre Argumente sind Tupel der Form
[mm] (p_{1},...p_{m},0) [/mm] oder entsprechend anders. Zum Halbraum habe ich mir noch gar keine Gedanken gemacht, deshalb schreibe ich nur meine Ideen zum Teil mit der Hyperebene auf.
Von f weiß ich, dass sie stetig differenzierbar ist, also existieren alle partiellen Ableitungen. Diese liefern mir eine Jacobi-Matrix, die lineare Abbildung von {0} [mm] \times \IR^{m} [/mm] nach [mm] \IR [/mm] , da meine Funktion f ja reellwertig ist. Ich versuche nun zu zeigen, dass für meine Funktion
g: [mm] \IR^{m+1} [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] von der ich ja zeigen soll, dass sie stetig differenzierbar ist, ein totales Differential hat, also versuche ich, die zu der Funktion g gehörige Jacobi-Matrix aufzustellen. Wenn mir das gelingt und ich dann beweisen kann, dass alle Einträge der Jacobi-Matrix, also die partiellen Ableitungen, stetig sind, weiß ich nach einem Satz im Skript, dass g differenzierbar ist.
Allerdings verliere ich bei diesen Überlegungen völlig die "Fortsetzbarkeit" aus dem Auge, von daher vermute ich, dass es völliger Unsinn ist, was ich hier versuche.
Fortsetzen heißt doch eigentlich nur, dass die Funktion in den "Punkten" in denen sie nicht existiert sinnvoll durch einen Grenzwertprozess beschrieben werden kann....
Wenn ich meinen Ansatz weiterverfolge, gelange ich nach ein paar Umformungen dahin, dass in der Jacobi-Matrix die Einträge
[mm] \limes_{t\rightarrow\0}\bruch{f(p+te_{i}-f(p)}{t} [/mm] steht [mm] \vorall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,...,m+1} und p [mm] \in [/mm] {0} [mm] \times \IR^{m} [/mm]
Gelingt es mir, zu zeigen, dass diese Grenzwerte auch existieren, wenn p [mm] \in \IR^{m+1}, [/mm] so hätte ich gezeigt, dass für g ein zugehöriges totales Differential existiert....
Meine Probleme dabei sind:
1.) ich verwende das totale Differential von f, um an das totale Differential von g zu gelangen.
2.) Ich habe noch nicht gezeigt, dass alle partiellen Ableitungen von g stetig sind und damit
3.) nicht gezeigt, dass g differenzierbar ist.
4.) Die Stetigkeit von g fehlt noch völlig.
Ich habe keine Idee mehr, wie ich von da aus jetzt weiter zur Lösung der Aufgabe gelangen kann.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand die Fehler in meinem Gedankengang erläutern könnte und mir ggf. einen Ansatz hinschreiben kann.
Viele Grüße
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Fr 28.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> erstens kann ich mir nicht richtig erklären, was
> "fortsetzen" heißt.
Du sollst eine Funktiong finden, die auf einem größeren Def.bereich definiert ist, mit der aber [m]g=f[/m] auf dem Def.bereich von f gilt.
> Ich
> versuche nun zu zeigen, dass für meine Funktion
> g: [mm]\IR^{m+1}[/mm] nach [mm]\IR,[/mm]
Welche Funktion g? Wo hast du sie konstruiert? Ich gebe mal einen entscheidenn Tip: Projektionsabbildung.
Zum Halbraum: wie habt ihr differenzierbar für Funktionen auf dem Halbraum definiert? (Denn damit könnte die Aufgabe eher trivial werden.)
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Mathe_Alex |
Die Idee hatte ich heute auch noch bekommen, allerdings weiß ich noch nciht, wie das genau funktionieren soll. Aber ich werd mal weiterknobeln.
Danke für die Antwort.
Ich werd die Lösung mal einreichen, wenn ich sie finden sollte.
Bis dahin
Gruß
Alex
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