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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Sanja |
ich brauche dirngend die 1.-3. ableitung der funktion:
f(x)=ln(x²+t)
wie komme ich zu diesen ableitungen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Mi 20.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Ich denke mal, Du willst nach x ableiten, oder?
Dann musst Du die sogennante Kettenregel anwenden, diese besagt:
Sind $f$,$g$ und $h$ stetige und differenzierbare Funktionen, dann wird ihre Verkettung
$h°g°f(x) = h(g(f(x)))$ wie folgt abgeleitet:
$(h(g(f(x))))' = f'(x) * g'(f(x)) * h'(g(f(x)))$
Ich weiss jetzt nicht, wie ich das am anschaulichsten erklären soll, stell Dir die Funktionen vor, als wenn sie Zwiebelschalen wären, Du schälst (leitest) jede einzelne Schale ab und lässt bestehen, was sich darin befindet.
Dann multiplizierst Du alle Ableitungen.
Schauen wir uns mal Deine Funktion und die erste Ableitung an, den Rest schaffst Du dann sicher auch:
$f(x) = [mm] ln(x^2+t)$,
[/mm]
dann sagen wir mal, dass wir $ln(x) = h(x)$ und [mm] $(x^2+t) [/mm] = g(x)$ setzen, dann sieht unsere Vorschrift so aus:
$f(x) = h(g(x))$ und damit
$f'(x) = (h(g(x)))' = g'(x) * h'(g(x)) = 2x * [mm] \bruch{1}{x^2+t}$
[/mm]
So, ich hoffe, das hilft Dir etwas weiter, die höheren Ableitungen solltes du jetzt auch hinbekommen.
greetz
AT-Colt
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:34 So 24.10.2004 | | Autor: | Sanja |
ich dank euch erstmal für die hilfe. ich hab jetzt die 2. und 3. ableitung über die quotientenregel gemacht und möchte nur wissen, ob die so richtig sind.
[mm] f"(x)=\bruch{2t-2x²}{(x²+t)²}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{-6t}{8x²+t)³}
[/mm]
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Die 2. Ableitung ist richtig (immer unter der Voraussetzung, dass ich mich nicht verrechnet hab).
Bei der 3. Ableitung hab ich aber was Anderes rausbekommen; bei mir im Zähler steht [mm] 4*x^3-12*t*x [/mm]
Kannst ja mal den Rechenweg von der 2. zur 3. Ableitung posten, allerdings glaube ich, dass es nur ein kleiner Rechenfehler sein dürfte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 24.10.2004 | | Autor: | Sanja |
von der z2. ableitung über die quotientenregel komm ich auf:
[mm] f'''(x)=\bruch{-2x(x²+t)²-2x(2t-x²)}{(x²+t)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2x(x²+t)³-2x(2t-x²)}{(x²+t)³}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2x³-2tx-4tx+2x³}{(x²+t)³}
[/mm]
[mm] =\bruch{-6t}{(x²+t)³}
[/mm]
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von der z2. ableitung über die quotientenregel komm ich auf:
[mm] f'''(x)=\bruch{-2x(x²+t)²-2x(2t-x²)}{(x²+t)^4} [/mm] hier fehlt ein Faktor 2
[mm] =\bruch{-2x(x²+t)³-2x(2t-x²)}{(x²+t)³} [/mm] hier wurde falsch gekürzt/erweitert
[mm] =\bruch{-2x³-2tx-4tx+2x³}{(x²+t)³} [/mm] der Term [mm] (x^2+t)^3 [/mm] ist falsch/nicht ausmultipliziert
[mm] =\bruch{-6t}{(x²+t)³}
[/mm]
Die Lösung von e.kandrai ist korrekt
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Quotientenregel