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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Fuktionen:
(a) [mm] $f(x)=a^{\wurzel{x^{2}+1}} (a>0,x\in\IR)$ [/mm] |
Hallo.
Zu dieser Aufgabe habe ich einige Fragen:
1. Wie geht man bei solchen Aufgaben generell vor, d.h. muss man die Basis und den Exponenten immer getrennt voneinander ableiten?
2. Ich begreife nicht, warum in der Angabe im Exponenten eine Wurzel steht und im Punkt (i) heißt es für den Exponenten plötzlich n-te Wurzel. Welcher Gedanke steckt da dahinter?
3. Ist diese aufwändige Prozedur wie im Punkt (i) wirklich notwendig, denn schließlich genügt ein Blick in die Formelsammlung und man erfährt die Ableitung?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
Musterlösung:
(i) Zunächst ist die Wurzelfunktion
[mm] $w_{n} [/mm] : [mm] \left] 0,\infty \right[\to\IR; w_{n}(y):=\wurzel[n]{y}$
[/mm]
differenzierbar:
[mm] $\forall [/mm] y>0 : [mm] w_{n}(y)=\wurzel[n]{y}=\exp\left( \bruch{1}{n}\ln(y) \right)$ [/mm] ist differenzierbar, weil die Abbildung [mm] $\exp$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] und die Abbildung [mm] $\ln$ [/mm] auf dem Intervall [mm] $(0,\infty)$ [/mm] differenzierbar, und damit auch die Komposition [mm] $\exp\left( \bruch{1}{n}\ln(y) \right)$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] differenzierbar ist nach der Kettenregel.
Für die Abbildung gilt:
[mm] $w_{n}' \overset{Kettenregel}{=}\exp'\left( \bruch{1}{n}\ln(y) \right)*\left( \bruch{1}{n}\ln'(y) \right)=\exp\left( \bruch{1}{n}\ln(y) \right)*\bruch{1}{n}*\bruch{1}{y}=\bruch{1}{n}y^{\bruch{1}{n}-1}=\bruch{1}{n}y^{\bruch{1-n}{n}}=\bruch{1}{n}\wurzel[n]{y^{1-n}}=\bruch{1}{n}\bruch{1}{\wurzel[n]{y^{n-1}}}$
[/mm]
(ii) Auch die Funktion
[mm] $\alpha [/mm] : [mm] \left] 0,\infty \right[\to\IR;\alpha(x):=\alpha^{x}=\exp(x\ln(\alpha))$
[/mm]
ist als Komposition differenzierbarer Funktionen [mm] $(\exp$ [/mm] und $id)$ nach der Kettenregel differenzierbar mit der Ableitung
[mm] $\alpha'(x)\overset{Kettenregel}{=}\exp'(x\ln(a))*\ln(a)=\exp(x\ln(a))*\ln(a)=a^{x}\ln(a)$.
[/mm]
Setzt man nun [mm] $h(x):=x^{2}+1$, [/mm] so ist $h$ als Polynom differenzierbar und es folgt:
[mm] $f(x)=a^{\wurzel{x^{2}+1}}=\alpha(\wurzel{x^{2}+1})=\alpha(w_{2}(h(x)))=(\alpha\circ w_{2}\circ [/mm] h)(x)$, d.h. [mm] $f=\alpha\circ w_{2}\circ [/mm] h$ ist als Komposition von drei differenzierbaren Funktionen nach Kettenregel differenzierbar, und für die Ableitung folgt:
[mm] $f'(x)\overset{Kettenregel}{=}\alpha'((w_{2}\circ h)(x))*(w_{2}\circ [/mm] h)'(x)$
[mm] $\overset{Kettenregel}{=}a^{\wurzel{x^{2}+1}}\ln(a)*w_{2}'(h(x))*h'(x)$
[/mm]
[mm] $\underset{(i)}{=}a^{\wurzel{x^{2}+1}}\ln(a)*\bruch{1}{2}\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}*2x$
[/mm]
[mm] $=a^{\wurzel{x^{2}+1}}\bruch{x\ln(a)}{\wurzel{x^{2}+1}}$ [/mm] q.e.d.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 So 28.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der "Musterlösung werden mehrere Funktionen behandelt, nicht nur eine:
i 1. Funktion [mm] w_n(y)=\wurzel[n]{y}=y^{1/n}
[/mm]
dann wird gezeigt, dass man erstmal die fkt in eine Exponentialfunktion um formt.
Dann wird nach Kettenregel abgeleitet.
(später wird w dann nochmal benutzt!)
ii 2.te fkt [mm] f(x)=a^x
[/mm]
wieder umwandeln in e-fkt, dann differenzieren.
iii.
3. fkt [mm] f(x)=e^{\wurzel{h(x)}} [/mm] allgemein, bzw mit [mm] h(x)=x^2+1
[/mm]
dann wird wieder nach Kettenregel diff.
Deine Frage "muss man die Basis und den Exponenten immer getrennt voneinander ableiten? " ist falsch gestellt, die Basis wird gar nicht abgeleitet.
du hast nur verschachtelte Funktionen
bei $ [mm] f(x)=a^{\wurzel{x^{2}+1}} (a>0,x\in\IR) [/mm]
ist die äusserst fkt nämlich [mm] a^{g(x)} [/mm] also das a hoch nicht eine der fkt von denen man i.A. die Ableitung auswendig weiss. deshalb formt man [mm] a^b [/mm] in [mm] e^{b*lna} [/mm] um, da man von [mm] e^x=exp(x) [/mm] die Ableitung weiss (exp(x))'=exp(x)
wenn dann in exp(x) nicht x steht, sondern eine fkt, g(x)
dann sagt die Kettenregel:
(exp(g(x))'=exp(g(x)*g'(x)
wenn g selbst wieder g(h(x)) dann ist (g(h(x)))'=g'(h)*h'
wenn h wieder nochmal von k(x) abhängt.geht es immer so weiter.
guck dir die Herleitung unter dem Gesichtspunkt nochmal an und dann frag weiter.
Gruss leduart
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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, leduart.
Ich gehe gerade die Aufgabe anhand deiner Ausführungen Schritt für Schritt durch, erhalte aber in gewisser Weise etwas anderes als die Musterlösung.
Um Dir mein Verständnisproblem zu verdeutlichen, möchte ich zeigen, wie ich vorgehe:
[mm] $\wurzel{x^{2}+1} \gdw (x^{2}+1)^{\bruch{1}{2}} \gdw \wurzel[2]{x^{2}+1} \gdw \exp(\bruch{1}{2}*\ln(x^{2}+1))$
[/mm]
Ist das falsch bzw. warum machen die das in der Musterlösung anders?
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Hallo el_grecco,
> Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, leduart.
> Ich gehe gerade die Aufgabe anhand deiner Ausführungen
> Schritt für Schritt durch, erhalte aber in gewisser Weise
> etwas anderes als die Musterlösung.
>
> Um Dir mein Verständnisproblem zu verdeutlichen, möchte
> ich zeigen, wie ich vorgehe:
> [mm]\wurzel{x^{2}+1} \gdw (x^{2}+1)^{\bruch{1}{2}} \gdw \wurzel[2]{x^{2}+1} \gdw \exp(\bruch{1}{2}*\ln(x^{2}+1))[/mm]
Was soll das sein?
Äquivalenz zwischen Termen? Das ist unsinnig!
Und wieso formst du nur die Wurzel um?
Für $a>0$ ist [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Also hier [mm] $a^{\sqrt{x^2+1}}=e^{\sqrt{x^2+1}\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Das nach Kettenregel ableiten.
Es ist [mm] $\left[e^{g(x)}\right]'=e^{g(x)}\cdot{}g'(x)$
[/mm]
Den Wurzelausdruck musst du seinerseits ebenfalls mit der Kettenregel erschlagen.
Dazu bietet sich die Umformung in eine Potenz - so wie du auch angesetzt hast, an:
[mm] $\sqrt{x^2+1}=\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}$ [/mm] ...
>
> Ist das falsch bzw. warum machen die das in der
> Musterlösung anders?
Es wird überhaupt nicht klar, was deine Terme da sollen?!
Schreibe mal genauer und vor allem richtig auf, was du uns eigentlich sagen willst ...
Gruß
schachuzipus
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Danke, schachuzipus.
Das Problem war, dass ich mich nur auf den Exponenten beschränkt und die Kettenregel nicht richtig verwendet habe.
Ich habe versucht weiterzukommen, stoße aber ziemlich bald schon an meine Grenzen.
> Es ist [mm]\left[e^{g(x)}\right]'=e^{g(x)}\cdot{}g'(x)[/mm]
>
> Den Wurzelausdruck musst du seinerseits ebenfalls mit der
> Kettenregel erschlagen.
>
> Dazu bietet sich die Umformung in eine Potenz - so wie du
> auch angesetzt hast, an:
>
> [mm]\sqrt{x^2+1}=\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}[/mm] ...
>
[mm] $g'=\bruch{1}{2}(x^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}*2x$
[/mm]
Dann:
[mm] $\left[ e^{g(x)} \right]'=e^{\wurzel{x^{2}+1}}*\bruch{1}{2}(x^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}*2x$
[/mm]
Ich habe das Gefühl, dass ich auf dem Holzweg bin...?
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Hallo nochmal,
> Danke, schachuzipus.
> Das Problem war, dass ich mich nur auf den Exponenten
> beschränkt und die Kettenregel nicht richtig verwendet
> habe.
>
> Ich habe versucht weiterzukommen, stoße aber ziemlich bald
> schon an meine Grenzen.
>
> > Es ist [mm]\left[e^{g(x)}\right]'=e^{g(x)}\cdot{}g'(x)[/mm]
> >
> > Den Wurzelausdruck musst du seinerseits ebenfalls mit der
> > Kettenregel erschlagen.
> >
> > Dazu bietet sich die Umformung in eine Potenz - so wie du
> > auch angesetzt hast, an:
> >
> > [mm]\sqrt{x^2+1}=\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}[/mm] ...
> >
>
> [mm]g'=\bruch{1}{2}(x^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}*2x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nicht ganz, der Exponent vermindert sich doch beim Ableiten um 1, richtig ist also
$g'(x)=\frac{1}{2}(x^2+1)^{\frac{1}{2}-1}\cdot{}2x}=x\cdot{}(x^2+1)^{\red{-}\frac{1}{2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
>
> Dann:
> [mm]\left[ e^{g(x)} \right]'=e^{\wurzel{x^{2}+1}}*\bruch{1}{2}(x^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}*2x[/mm]
>
> Ich habe das Gefühl, dass ich auf dem Holzweg bin...?
Der Ansicht bin ich ganz und gar nicht, du bist doch nahe dran, hast nur eine "Kleinigkeit" übersehen, die dann zu einem falschen Ergebnis führt ...
Gruß
schachuzipus
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Danke, schachuzipus.
> Nicht ganz, der Exponent vermindert sich doch beim Ableiten
> um 1, richtig ist also
>
> [mm]g'(x)=\frac{1}{2}(x^2+1)^{\frac{1}{2}-1}\cdot{}2x}=x\cdot{} > (x^2+1)^{\red{-}\frac{1}{2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/mm]
>
Müsste es am Ende nicht [mm] $\frac{x}{\wurzel[2]{x^{2}+1}}$ [/mm] heißen?
Dann:
$ [mm] \left[ e^{g(x)} \right]'=e^{\wurzel{x^{2}+1}}\cdot{}\frac{x}{\wurzel[2]{x^{2}+1}} [/mm] $
Ich sehe jetzt aber absolut nicht, wie ich auf den Weg der Musterlösung kommen kann. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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Hallo nochmal,
> Danke, schachuzipus.
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> > Nicht ganz, der Exponent vermindert sich doch beim Ableiten
> > um 1, richtig ist also
> >
> > [mm]g'(x)=\frac{1}{2}(x^2+1)^{\frac{1}{2}-1}\cdot{}2x}=x\cdot{} > (x^2+1)^{\red{-}\frac{1}{2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/mm]
>
> >
>
> Müsste es am Ende nicht [mm]\frac{x}{\wurzel[2]{x^{2}+1}}[/mm]
> heißen?
Es ist [mm] $\sqrt{\ldots}$ [/mm] dasselbe wie [mm] $\sqrt[2]{\ldots}$
[/mm]
>
> Dann:
>
> [mm]\left[ e^{g(x)} \right]'=e^{\wurzel{x^{2}+1}}\cdot{}\frac{x}{\wurzel[2]{x^{2}+1}}[/mm]
>
> Ich sehe jetzt aber absolut nicht, wie ich auf den Weg der
> Musterlösung kommen kann.
Naja, wir haben ja auch noch nicht den gesamten Exponenten verarztet, nur den "hinteren" Teil [mm] $\sqrt{x^2+1}$
[/mm]
Im Exponenten steht aber [mm] $\ln(a)\cdot{}\sqrt{x^2+1}$
[/mm]
[mm] $\ln(a)$ [/mm] ist einfach eine multiplikative Konstante, unabh. von x, die bleibt beim Ableiten einfach erhalten.
Bsp.: [mm] $\left[3\cdot{}x^2\right]'=3\cdot{}2x$
[/mm]
Denke dir, statt [mm] $\ln(a)$ [/mm] stünde dort eine 3.
Was ergibt sich also ...
Gruß
schachuzipus
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Für eine bessere Übersicht:
$ [mm] a^{\sqrt{x^2+1}}=e^{\sqrt{x^2+1}\cdot{}\ln(a)} [/mm] $
Abgeleitet mit der Kettenregel:
$ [mm] \left[e^{g(x)}\right]'=e^{g(x)}\cdot{}g'(x) [/mm] $
>
> [mm]\ln(a)[/mm] ist einfach eine multiplikative Konstante, unabh.
> von x, die bleibt beim Ableiten einfach erhalten.
>
> Bsp.: [mm]\left[3\cdot{}x^2\right]'=3\cdot{}2x[/mm]
>
> Denke dir, statt [mm]\ln(a)[/mm] stünde dort eine 3.
>
> Was ergibt sich also ...
>
Muss das dann so heißen?
[mm] $\left[e^{g(x)}\right]'=e^{\sqrt{x^2+1}\cdot{}\ln(a)}\cdot{}\frac{x}{a\sqrt{x^2+1}}$ [/mm] (da: [mm] $f(x)=\ln [/mm] a ; [mm] f'(x)=\bruch{1}{a}$)
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Für eine bessere Übersicht:
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> [mm]a^{\sqrt{x^2+1}}=e^{\sqrt{x^2+1}\cdot{}\ln(a)}[/mm]
>
> Abgeleitet mit der Kettenregel:
>
> [mm]\left[e^{g(x)}\right]'=e^{g(x)}\cdot{}g'(x)[/mm]
>
>
> >
> > [mm]\ln(a)[/mm] ist einfach eine multiplikative Konstante, unabh.
> > von x, die bleibt beim Ableiten einfach erhalten.
> >
> > Bsp.: [mm]\left[3\cdot{}x^2\right]'=3\cdot{}2x[/mm]
> >
> > Denke dir, statt [mm]\ln(a)[/mm] stünde dort eine 3.
> >
> > Was ergibt sich also ...
> >
>
> Muss das dann so heißen?
>
> [mm]\left[e^{g(x)}\right]'=e^{\sqrt{x^2+1}\cdot{}\ln(a)}\cdot{}\frac{x}{a\sqrt{x^2+1}}[/mm]
> (da: [mm]f(x)=\ln a ; f'(x)=\bruch{1}{a}[/mm])
Unsinn, was habe ich denn oben geschrieben?
[mm] $\ln(a)$ [/mm] ist doch von x völlig unabhängig, das ist einfach ne reelle Zahl
Setze mit der o.e. Kettenregel und Bezeichnung:
[mm] $g(x):=\ln(a)\cdot{}\sqrt{x^2+1}$
[/mm]
Vllt. überlegst du mal vorher, wie die Ableitung von [mm] $245\cdot{}\sqrt{x^2+1}$ [/mm] aussieht und die von [mm] $13\cdot{}\sqrt{x^2+1}$ [/mm] und die von [mm] $\pi\cdot{}\sqrt{x^2+1}$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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Sorry, ich bin immer zu sehr auf die Formelsammlung fixiert.
Dann ist das hier der "aktuelle Stand":
[mm] $\left[e^{g(x)}\right]'=e^{\sqrt{x^2+1}\cdot{}\ln(a)}\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}*\ln(a)$
[/mm]
Wie geht es nun aber weiter (vorausgesetzt das ist richtig)?
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Hallo nochmal,
> Sorry, ich bin immer zu sehr auf die Formelsammlung
> fixiert.
>
>
> Dann ist das hier der "aktuelle Stand":
>
> [mm]\left[e^{g(x)}\right]'=e^{\sqrt{x^2+1}\cdot{}\ln(a)}\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}*\ln(a)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aha, HEUREKA!
>
> Wie geht es nun aber weiter (vorausgesetzt das ist
> richtig)?
Das ist es, du kannst [mm] $e^{\text{bla}}$ [/mm] wieder umschreiben in [mm] $a^{\sqrt{x^2+1}}$, [/mm] dann sieht's wie in der ML aus ...
Gruß
schachuzipus
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
