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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Do 22.09.2005 | | Autor: | daimon76 |
Guten Tag.
Ich schreibe nächste Woche eine Matheklausur und habe dazu eine Übungsklausur bekommen, allerdings ohne Lösungswege und Lösungen. Ich hätte hier 5 Aufgaben:
Aufgabe 1
y' von y = [mm] \bruch{5}{6} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + sin x - 8
Meine Lösung y' = [mm] 3x^{2} [/mm] + cos x
Aufgabe 2
y' von y = [mm] \bruch{-x}{2} \wurzel{1-x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] arcsin x
Aufgabe 3
y''' von y = x(ln [mm] x)^{2}
[/mm]
Aufgabe 4
Partielle Ableitung 1. Ordnung von u = [mm] x^{2} [/mm] + ln y + [mm] y^{2}\*ln [/mm] x
Aufgabe 5
Partielle Ableitung 1. Ordnung im Punkt [mm] x_{P} [/mm] = 1 und [mm] z_{P} [/mm] = ln2
z = ln ( x + [mm] \bruch{y}{2x} [/mm] )
Ich wäre sehr dankbar falls Ihr mir Behilflich seinen könntet. DANKE
Als Anhang lade ich mal die PDF der Klausur hoch. wer mir noch mehr helfen will kann mir auch zu den anderen Aufgaben Lösungsvorschläge geben.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo daimon76,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe 1
>
> y' von y = [mm]\bruch{5}{6}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + sin x - 8
>
> Meine Lösung y' = [mm]3x^{2}[/mm] + cos x
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aufgabe 2
>
> y' von y = [mm]\bruch{-x}{2} \wurzel{1-x^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> arcsin x
>
>
> Aufgabe 3
>
> y''' von y = x(ln [mm]x)^{2}[/mm]
>
>
> Aufgabe 4
>
> Partielle Ableitung 1. Ordnung von u = [mm]x^{2}[/mm] + ln y +
> [mm]y^{2}\*ln[/mm] x
>
>
> Aufgabe 5
>
> Partielle Ableitung 1. Ordnung im Punkt [mm]x_{P}[/mm] = 1 und [mm]z_{P}[/mm]
> = ln2
>
> z = ln ( x + [mm]\bruch{y}{2x}[/mm] )
>
Wende hier die Ableitungsregeln an.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 22.09.2005 | | Autor: | daimon76 |
zur Aufgabe 2
y' von y = [mm] \bruch{-x}{2} \wurzel{1-x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] arcsin x
mein Ergebnis :
y' = [mm] \bruch{- \wurzel{1 - x^{2}}- \bruch{2x}{\wurzel{1 - x^{2}}}}{2}+\bruch{1}{ \wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
bzw. gekürzt.... y' = [mm] \bruch{-x^{2}-2x+1}{2 \wurzel{1-x^{2}}}+\bruch{1}{ \wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
zur Aufgabe 3
y''' von y = x(ln [mm] x)^{2}
[/mm]
mein Ergebnis :
y' = (ln [mm] x)^{2} [/mm] + 2 ln x
y'' = [mm] \bruch{2 ln x + 2}{x}
[/mm]
y''' = [mm] \bruch{- 2 ln x + 4}{ x^{2}}
[/mm]
stimmen das alles oder hab ich fehler gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Do 22.09.2005 | | Autor: | daimon76 |
stimmt, jetzt kommt bei mir auch y''' = [mm] \bruch{-2\cdot{}\ln(x)}{x^2} [/mm] raus.
danke
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Hallo!
> zur Aufgabe 2
>
> y' von y = [mm]\bruch{-x}{2} \wurzel{1-x^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] arcsin x
>
> mein Ergebnis :
>
> y' = [mm]\bruch{- \wurzel{1 - x^{2}}- \bruch{2x}{\wurzel{1 - x^{2}}}}{2}+\bruch{1}{ \wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
>
> bzw. gekürzt.... y' = [mm]\bruch{-x^{2}-2x+1}{2 \wurzel{1-x^{2}}}+\bruch{1}{ \wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier unterschlägst Du so einige mal den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ...
$y' \ = \ [mm] \bruch{- \wurzel{1-x^2}-\red{x}*\bruch{\red{-}2x}{\red{2}*\wurzel{1-x^2}}}{2}+\red{\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}$
[/mm]
Beim Zusammenfassen bleibt dann auch nicht mehr allzuviel übrig  ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Do 22.09.2005 | | Autor: | daimon76 |
danke erstmal, hab da aber noch eine rückfrage:
... + [mm] \bruch{1}{2} \* \bruch{1}{\wurzel{1-x ^{2}}} [/mm] das ist klar, da hab ich meinen fehler gefunden, aber im ersten teil der aufgabe komm ich nicht auf meinen fehler.
y = [mm] \bruch{-x}{2} \wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
zur anwendung kommt die Produktregel :
u = -x [mm] \Rightarrow [/mm] u' = -1
v = [mm] \wurzel{1-x²} \Rightarrow [/mm] v' = - [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x²}}
[/mm]
y' = [mm] \bruch{u' * v + v' * u}{2}
[/mm]
y' = [mm] \bruch{-1 * \wurzel{1-x²} + \bruch{-x}{\wurzel{1-x²}} * -x}{2}
[/mm]
y' = [mm] \bruch{-1 * \wurzel{1-x²} + \bruch{x²}{\wurzel{1-x²}}}{2}
[/mm]
y' = [mm] \bruch{-(1 - x²)+ x²}{2 \wurzel{1 - x²}}
[/mm]
y' = [mm] \bruch{-1 + 2 (x²)}{2 \wurzel{1 - x²}}
[/mm]
so, das ist meine lösung, wahrscheinlich falsch aber wo ist mein fehler?
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Hallo daemon76,
> danke erstmal, hab da aber noch eine rückfrage:
> ... + [mm]\bruch{1}{2} \* \bruch{1}{\wurzel{1-x ^{2}}}[/mm] das
> ist klar, da hab ich meinen fehler gefunden, aber im ersten
> teil der aufgabe komm ich nicht auf meinen fehler.
>
> y = [mm]\bruch{-x}{2} \wurzel{1-x^{2}}[/mm]
>
> y' = [mm]\bruch{-1 + 2 (x²)}{2 \wurzel{1 - x²}}[/mm]
>
> so, das ist meine lösung, wahrscheinlich falsch aber wo ist
> mein fehler?
Diese Ableitung des ersten Summanden stimmt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Do 22.09.2005 | | Autor: | daimon76 |
danke für die schnelle antwort.
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Hallo daimon!
> Aufgabe 4
>
> Partielle Ableitung 1. Ordnung von [mm]u = x^{2} + ln y + y^{2}*ln x[/mm]
Hier musst Du die beiden partiellen Ableitungen [mm] $u_x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}$ [/mm] und [mm] $u_y [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}$ [/mm] bestimmen.
Für [mm] $u_x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}$ [/mm] bildest Du wie gewohnt dia Ableitung mit der Größe $x_$ als Variable, dabei wird $y_$ konstant angesehen.
Bei [mm] $u_y [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}$ [/mm] ist es dann genau umgekehrt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mo 26.09.2005 | | Autor: | daimon76 |
also meine Lösung zur Aufgabe 4 ist folgende:
[mm] u_x [/mm] = [mm] \bruch{ \partial u}{ \partial x} [/mm] = 2x + [mm] \bruch{y²}{x}
[/mm]
[mm] u_y [/mm] = [mm] \bruch{ \partial u}{ \partial y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y} [/mm] + 2y lnx
stimmt meine Lösung?
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Hallo daimon!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Beides richtig ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo daimon!
Auch hier sehr ähnliche Vorgehensweise wie bei Aufgabe 4.
Zusätzlich musst Du Dir aber den zugehörigen Wert [mm] $y_P$ [/mm] errechnen, indem Du die anderen beiden Werte für [mm] $x_P$ [/mm] und [mm] $z_P$ [/mm] einsetzt in die Ausgangsvorschrift und nach $y_$ umstellst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mo 26.09.2005 | | Autor: | daimon76 |
also bei der aufgabe 5 steh ich total auf dem schlauch.
wie du es geschrieben hast hab ich den x und den z wert in die ausgangsfunktion eingesetzt und wollte sie dann nach y auflösen...
aber da setzt mein hirn aus. hab da folgendes auf dem blatt papier stehen und weiß nicht vor und zurück:
ln 2 = ln ( 1 + [mm] \bruch{y}{2} [/mm] )
ich weiß weder wie ich die funktion nach y auflösen soll, noch ob mein ansatz stimmt und wie es dann weiter gehen soll. kann mir bitte jemand einen schups in die richtige richtung geben?
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Hallo daimon!
> ln 2 = ln ( 1 + [mm]\bruch{y}{2}[/mm] )
Da die ln-Funktion bijektiv ist, gilt auch:
$2 \ = \ 1 + [mm] \bruch{y}{2}$
[/mm]
Kommst Du nun weiter?
Für die Ableitungen [mm] $z_x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\partial z}{\partial x}$ [/mm] und [mm] $z_y [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\partial z}{\partial y}$ [/mm] vorgehen wie bei Aufgabe 4 und anschließend die Werte [mm] $x_P$ [/mm] und [mm] $y_P$ [/mm] einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Di 27.09.2005 | | Autor: | daimon76 |
zur folgenden aufgabe hab ich nun folgendes raus bekommen:
Aufgabe 5
Partielle Ableitung 1. Ordnung im Punkt [mm] x_{P} [/mm] = 1 und [mm] z_{P} [/mm] = ln2
z = ln ( x + [mm] \bruch{y}{2x} [/mm] )
[mm] y_{P} [/mm] = 2
[mm] z_{x} =\bruch{\partial z}{\partial x} =\bruch{2x² - y}{2x³ + xy} [/mm] = 0
[mm] z_{y} =\bruch{\partial z}{\partial y} =\bruch{1}{2x² + y} =\bruch{1}{4}
[/mm]
sagt bitte das das stimmt....
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Hallo daimon!
> sagt bitte das das stimmt....
Das stimmt!
Gruß vom
Roadrunner
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