Ableitungsfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitungsfunktion,
f: [mm] [1,\infty] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit f(x) = [mm] arcosch(x^3)
[/mm]
Hinweis:
Umkehrfunktion : cosh(x) = [mm] \bruch{e^x + e^-x}{2} [/mm] |
Hi zusammen,
ich habe die Aufgabe gelöst. Jedoch ohne den Hinweis.
Erstmal meine Rechnung:
f´(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{(x^3)^2 - 1}} [/mm] * [mm] 3x^2 [/mm] = [mm] \bruch{3x^2}{\wurzel{x^6 - 1}}
[/mm]
Jetzt zu meiner Frage:
Ich habe keine Ahnung was ich mit dem Hinweis anfangen soll.
Ist [mm] arcosh(x^3) [/mm] = [mm] \bruch{e^3x + e^-3x}{3*2} [/mm] , oder wie habe ich das zu verstehen ?
Soll ich dann damit die Ableitungsfunktion mit dem Quotientenkriterium berechnen ?
Danke für die Hilfe im voraus
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Hallo,
> Berechnen Sie die Ableitungsfunktion,
>
> f: [mm][1,\infty][/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit f(x) = [mm]arcosch(x^3)[/mm]
>
> Hinweis:
> Umkehrfunktion : cosh(x) = [mm]\bruch{e^x + e^-x}{2}[/mm]
> Hi
> zusammen,
>
> ich habe die Aufgabe gelöst. Jedoch ohne den Hinweis.
> Erstmal meine Rechnung:
>
> f´(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{(x^3)^2 - 1}}[/mm] * [mm]3x^2[/mm] =
> [mm]\bruch{3x^2}{\wurzel{x^6 - 1}}[/mm]
>
Das ist als Ableitungsterm betrachtet richtig. Streng genommen solltest du jedoch auch hier den Definitonsbereich angeben, er weicht nämlich von dem der Grundfunktion ab!
> Jetzt zu meiner Frage:
> Ich habe keine Ahnung was ich mit dem Hinweis anfangen
> soll.
> Ist [mm]arcosh(x^3)[/mm] = [mm]\bruch{e^3x + e^-3x}{3*2}[/mm] , oder wie
> habe ich das zu verstehen ?
Nein, der gegebene Term ist ja der für den Kosinus hyperbolicus, nicht für dessen Umkehrfunktion, den Areakosinus.
> Soll ich dann damit die Ableitungsfunktion mit dem
> Quotientenkriterium berechnen ?
Nein. Ich verstehe das so, dass man
[mm] (arcosh(x))'=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} [/mm] ; x>1
eben nicht der Formelsammlng entnehmen darf, sondern mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion
[mm] \left(f^{-1}(x)\right)=\bruch{1}{f'(y)}
[/mm]
herleiten soll.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Also Umkehrfunktionen scheinen mir ein Rätsel zu bleiben.
> Nein. Ich verstehe das so, dass man
>
> [mm](arcosh(x))'=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm] ; x>1
>
> eben nicht der Formelsammlng entnehmen darf, sondern mit
> Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion
>
> [mm]\left(f^{-1}(x)\right)=\bruch{1}{f'(y)}[/mm]
>
> herleiten soll.
Dann habe ich mich mal an der Aufgabe versucht.
Die Umkehrfunktion ist ja von cosh(x) und nicht für [mm] cosh(x^3) [/mm] gegeben.
Hier bin ich mir schon unsicher.
[mm] cosh(x^3) [/mm] = [mm] \bruch{e^{x^3} + e^{-x^3}}{3*2=6}
[/mm]
Dann habe ich die Funktion abgeleitet:
f´(x) = [mm] \bruch{(3x^2*e^{x^3} - 3x^2*e^{-x^3})*6 - 0}{6^2} [/mm] = [mm] \bruch{x^2*e^{x^3} - x^2*e^{-x^3}}{2}
[/mm]
(f^-1 (x)) = [mm] \bruch{1}{\bruch{x^2*e^{x^3} - x^2*e^{-x^3}}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{x^2*e^{x^3} - x^2*e^{-x^3}}
[/mm]
Ist das soweit korrekt ?
Und wenn ja, was habe ich dann zu machen ?
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Hallo Bindl,
> Also Umkehrfunktionen scheinen mir ein Rätsel zu bleiben.
>
> > Nein. Ich verstehe das so, dass man
> >
> > [mm](arcosh(x))'=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm] ; x>1
> >
> > eben nicht der Formelsammlng entnehmen darf, sondern mit
> > Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion
> >
> > [mm]\left(f^{-1}(x)\right)=\bruch{1}{f'(y)}[/mm]
> >
> > herleiten soll.
>
> Dann habe ich mich mal an der Aufgabe versucht.
> Die Umkehrfunktion ist ja von cosh(x) und nicht für
> [mm]cosh(x^3)[/mm] gegeben.
> Hier bin ich mir schon unsicher.
> [mm]cosh(x^3)[/mm] = [mm]\bruch{e^{x^3} + e^{-x^3}}{3*2=6}[/mm]
>
> Dann habe ich die Funktion abgeleitet:
> f´(x) = [mm]\bruch{(3x^2*e^{x^3} - 3x^2*e^{-x^3})*6 - 0}{6^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{x^2*e^{x^3} - x^2*e^{-x^3}}{2}[/mm]
>
> (f^-1 (x)) = [mm]\bruch{1}{\bruch{x^2*e^{x^3} - x^2*e^{-x^3}}{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{x^2*e^{x^3} - x^2*e^{-x^3}}[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt ?
> Und wenn ja, was habe ich dann zu machen ?
Das ist völlig sinnfrei, und es ist insbesondere nicht das, was ich vorgeschlagen habe.
Es geht um die Ableitung der cosh(x)-Funktion, wenn man die hat, dann bestimmt man selbstverständlich die gesuchte Ableitung per Kettenregel, so wie du es ja auch gemacht hast. Nur hast du eben die Ableitung der cosh-Funktion vorausgesetzt, und das darf offensichtlich nicht gemacht werden (sonst würde wengstens der Hinweis keinen Sinn ergeben).
Tipp:
Es ist
(cosh(x))'=sinh(x)
sowie
[mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1
[/mm]
Damit bekommt man die Ableitungen der beiden Areafunktionen arsinh(x) und arcosh(x) recht einfach.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also habe ich mal folgendes gemacht:
arcosh´(y) = [mm] \bruch{1}{cosh´(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{sinh(x)}
[/mm]
[mm] cosh^2(x) [/mm] - [mm] sinh^2 [/mm] = 1 -> sinh(x) = [mm] \wurzel{cosh^2(x) - 1}
[/mm]
arcosh'(y) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{cosh^2(x) - 1}}
[/mm]
Wenn ich jetzt statt [mm] x^1 [/mm] in der Klammer [mm] x^3 [/mm] habe dann bekomme ich ja im Zähler [mm] 3x^2 [/mm] statt 1.
Nur wie komme ich von [mm] cos^2(x) [/mm] auf [mm] x^6 [/mm] mit [mm] x^3 [/mm] statt [mm] x^1 [/mm] ?
Ist mein Gedanke überhaupt richitg das ich von [mm] \bruch{1}{\wurzel{cosh^2(x) - 1}} [/mm] auf [mm] \bruch{3x^2}{\wurzel{x^6 - 1}} [/mm] schließe ich dem ich [mm] x^1 [/mm] mit [mm] x^3 [/mm] "austausche" ?
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Hallo Bindl,
sei so gut und lies Antworten gründlicher durch. Ich habe dir geraten
- in einem ersten Schritt die Ableitung des Areakosinus herzuleiten
- im zweiten Schritt per Kettenregel die gesuchte Ableitung zu bestimmen.
Du schmeißt hier aber alles durcheinander.
> also habe ich mal folgendes gemacht:
> arcosh´(y) = [mm]\bruch{1}{cosh´(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{sinh(x)}[/mm]
>
> [mm]cosh^2(x)[/mm] - [mm]sinh^2[/mm] = 1 -> sinh(x) = [mm]\wurzel{cosh^2(x) - 1}[/mm]
>
> arcosh'(y) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{cosh^2(x) - 1}}[/mm]
>
Ja, und wenn du jetzt noch y=cosh(x) verwendest und endlich den Definitionsbereich beachtest, bist du hier schon fertig.
> Wenn ich jetzt statt [mm]x^1[/mm] in der Klammer [mm]x^3[/mm] habe dann
> bekomme ich ja im Zähler [mm]3x^2[/mm] statt 1.
>
> Nur wie komme ich von [mm]cos^2(x)[/mm] auf [mm]x^6[/mm] mit [mm]x^3[/mm] statt [mm]x^1[/mm] ?
> Ist mein Gedanke überhaupt richitg das ich von
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{cosh^2(x) - 1}}[/mm] auf
> [mm]\bruch{3x^2}{\wurzel{x^6 - 1}}[/mm] schließe ich dem ich [mm]x^1[/mm]
> mit [mm]x^3[/mm] "austausche" ?
Das eben hatte ich niemals zu keiner Zeit vorgeschlagen. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Bindl |
> Hallo Bindl,
>
> sei so gut und lies Antworten gründlicher durch. Ich habe
> dir geraten
>
> - in einem ersten Schritt die Ableitung des Areakosinus
> herzuleiten
>
> - im zweiten Schritt per Kettenregel die gesuchte Ableitung
> zu bestimmen.
>
> Du schmeißt hier aber alles durcheinander.
>
> > also habe ich mal folgendes gemacht:
> > arcosh´(y) = [mm]\bruch{1}{cosh´(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{sinh(x)}[/mm]
> >
> > [mm]cosh^2(x)[/mm] - [mm]sinh^2[/mm] = 1 -> sinh(x) = [mm]\wurzel{cosh^2(x) - 1}[/mm]
>
> >
> > arcosh'(y) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{cosh^2(x) - 1}}[/mm]
Das ist doch die Herleitung des Areakosinus oder nicht ?
> >
>
> Ja, und wenn du jetzt noch y=cosh(x) verwendest und endlich
> den Definitionsbereich beachtest, bist du hier schon
> fertig.
Ich kann mit diesem Hinweis, um ehrlich zu sein, nicht all zu viel anfangen.
Nach Herleitung müsste ich doch nur noch [mm] \bruch{1}{\wurzel{cosh^2(x^3) -1}} [/mm] berechnen und das müsste doch dann die Lösung sein.
Kann mir vielleicht zeigen was ich nun noch machen muss?
Ich stehe hier nun wirklich auf dem Schlauch !!!
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Hallo,
> >
> > >
> > > arcosh'(y) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{cosh^2(x) - 1}}[/mm]
>
> Das ist doch die Herleitung des Areakosinus oder nicht ?
Das ist die Herleitung der Ableitung des Areakosinus. Fertig bist du aber erst, wenn da steht
[mm] (arcosh(y))'=\bruch{1}{\wurzel{y^2-1}}
[/mm]
Den entsprechenden Hinweis dazu habe ich oben gegeben:
> >
> > Ja, und wenn du jetzt noch y=cosh(x) verwendest und endlich
> > den Definitionsbereich beachtest, bist du hier schon
> > fertig.
>
> Ich kann mit diesem Hinweis, um ehrlich zu sein, nicht all
> zu viel anfangen.
Dann sag halt, was dir unklar ist. Ich kann nämlich mit dieser Art von Rückfragen ebensowenig anfangen.
> Nach Herleitung müsste ich doch nur noch
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{cosh^2(x^3) -1}}[/mm] berechnen und das
> müsste doch dann die Lösung sein.
Das ist Quatsch. Dabei übersiehst du die vorliegende Verkettung.
> Kann mir vielleicht zeigen was ich nun noch machen muss?
> Ich stehe hier nun wirklich auf dem Schlauch !!!
Ich habe es dir oben schon geschrieben, aber du geruhst es zu überlesen:
- zunächst die Ableitung des Areakosinus herleiten
- dann mit der erhaltenen Ableitung per Kettenregel die Aufgabe lösen.
Im Prinzip bist du damit längst fertig, nur scheint dir überhaupt nicht klar zu sein, was du da überhaupt tust.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
habe es nun ein wenig anders gemacht.
y = cosh(x) -> x = arcosh(y)
[mm] cosh^2(arcosh(y)) [/mm] - [mm] sinh^2(arcosh(y)) [/mm] = 1
[mm] y^2 [/mm] - [mm] sinh^2(arcosh(y)) [/mm] = 1
sinh(arcosh(y)) = [mm] \wurzel{y^2 - 1}
[/mm]
arcosh´(y) = [mm] \bruch{1}{cosh´(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{sinh(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{sinh(arcosh(y))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{y^2 - 1}}
[/mm]
Das sollte ja nun die Herleitung der Ableitung sein.
Der Wertebereich zeigt mir das ich in der Wurzel immer eine positive Zahl habe.
Jetzt soll ich die Kettenregel anwenden. Nur hier habe ich doch einen Bruch und keine Funktion in einer Funktion. Also verstehe ich den Tipp deswegen nicht.
Was offensichtlich ist, das wenn ich im Nenner [mm] x^3 [/mm] statt x ableite habe ich die [mm] 3x^2 [/mm] und wenn ich im Nenner [mm] x^3 [/mm] für y einsetze habe ich [mm] x^6. [/mm] Ist das hier Zufall?
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Hallo,
> Hi,
> habe es nun ein wenig anders gemacht.
>
> y = cosh(x) -> x = arcosh(y)
>
> [mm]cosh^2(arcosh(y))[/mm] - [mm]sinh^2(arcosh(y))[/mm] = 1
> [mm]y^2[/mm] - [mm]sinh^2(arcosh(y))[/mm] = 1
> sinh(arcosh(y)) = [mm]\wurzel{y^2 - 1}[/mm]
>
> arcosh´(y) = [mm]\bruch{1}{cosh´(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{sinh(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{sinh(arcosh(y))}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{y^2 - 1}}[/mm]
>
> Das sollte ja nun die Herleitung der Ableitung sein.
> Der Wertebereich zeigt mir das ich in der Wurzel immer
> eine positive Zahl habe.
Das ist natürlich auch eine mögliche Vorgehensweise. Wenn du an Stelle deiner nebulösen Bemerkungen zu irgendeinem Wertebereich jetzt einfach y>1 schreibst, dann passt es. Denn es geht hier eben nicht um die maximale Definitionsmenge, also sind insbesondere Werte mit y<-1 ausgeschlossen (da sie nicht zur cosh-Funktion gehören). Für diese Werte wäre dein Ableitungsterm jedoch definiert!!!
>
> Jetzt soll ich die Kettenregel anwenden.
Man wendet keine Regel an, ohne irgendein Ziel damit zu verbinden. Mal abgesehen davon, dass du diesen Teil der Aufgabe doch längst gelöst hast, ist die Kettenregel auf das Problem
[mm] \left(arcosh\left(x^3\right)\right)'
[/mm]
anzuwenden. Wenn du da die Verkettung nicht siehst, dann frage ich mich, wie du auf den korrekten Ableitungsterm im Startbeitrag gekommen bist?
> verstehe ich den Tipp deswegen nicht.
>
> Was offensichtlich ist, das wenn ich im Nenner [mm]x^3[/mm] statt x
> ableite habe ich die [mm]3x^2[/mm] und wenn ich im Nenner [mm]x^3[/mm] für y
> einsetze habe ich [mm]x^6.[/mm] Ist das hier Zufall?
Nein, es kommt vermutlich daher, dass ich die ganze Zeit Chinesisch geschrieben habe, ohne es zu merken. Oder ist meine Vermutung, dass du die Antworten nicht richtig durchliest, am Ende doch richtig? ...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 So 02.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Ich dachte die ganze Zeit ich solle die Kettenregel auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{cos^2(x) - 1}} [/mm] anwenden und habe dann eigentlich vollkommen den Durchblick verloren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 So 02.03.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Bindl,
> Ich dachte die ganze Zeit ich solle die Kettenregel auf
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{cos^2(x) - 1}}[/mm] anwenden und habe dann
> eigentlich vollkommen den Durchblick verloren.
Dann sei doch so gut, und sage mir mal, wo ich dir dazu geraten hätte...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 So 02.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Das hast du nie getan. Ich habe deinen Tipp nur falsch interpretiert und habe immer mehr den Durchblick verloren.
Mein Fehler !!!
Ich hätte mich in den weitere Fragen besser erklären müssen, damit du auch gesehen hättest das ich deinen Tipp falsch interpretiert habe.
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