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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mi 12.11.2008 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe 1 | | [mm] u=\wurzel{1+z}-\wurzel{1-z} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] y=x*e^{-x} [/mm] |
| Aufgabe 3 | | y=sin(x)*cos(x) |
Haloa,
oben stehende Aufgaben wollte ich auf Extrema überprüfen, ich habe jedoch eine grundsätzliche Frage zum bestimmen der Nullstellen bei notwendiger Bedingung.
Aufg 1:
[mm] u'=\bruch{1}{\wurzel{1+z}}-\bruch{1}{\wurzel{1-z}}
[/mm]
...durch Probieren bzw. Überlegen ist [mm] z_{1}=0 [/mm] eine NS, aber gibt es dafür auch mathematisch eine Umformung des Terms?
Aufg. 2:
[mm] y'=e^{-x}-x*e^{-x}
[/mm]
...auch hier durch Überlegung bei [mm] x_{1}=1 [/mm] eine NS gefunden, da die Differenz nur durch x=1 als Faktor 0 ergibt.
Aufg. 3:
[mm] y'=(cos(x))^{2}-(sin(x))^{2}
[/mm]
...hier ist auch durch langwieriges Probieren [mm] x_{1}=\bruch{\pi}{4} [/mm] und [mm] x_{2}=bruch{3*\pi}{4} [/mm] herausgefunden
Habt ihr dort ein Rezept für das Auflösen nach 0?
Grüße
Sebastian
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Hallo Sebastian,
> [mm]u=\wurzel{1+z}-\wurzel{1-z}[/mm]
> [mm]y=x*e^{-x}[/mm]
> y=sin(x)*cos(x)
> Haloa,
>
> oben stehende Aufgaben wollte ich auf Extrema überprüfen,
> ich habe jedoch eine grundsätzliche Frage zum bestimmen der
> Nullstellen bei notwendiger Bedingung.
>
> Aufg 1:
> [mm]u'=\bruch{1}{\wurzel{1+z}}-\bruch{1}{\wurzel{1-z}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm] $u'(z)=\frac{1}{2\sqrt{1+z}}\blue{+}\frac{1}{2\sqrt{1-z}}$
[/mm]
Das "+" rührt von der inneren Ableitung von [mm] $\sqrt{1-z}$ [/mm] her
> ...durch Probieren bzw. Überlegen ist [mm]z_{1}=0[/mm] eine NS,
> aber gibt es dafür auch mathematisch eine Umformung des
> Terms?
Na klar, mache die Brüche gleichnamig, dann kannst du's auf einen Bruchstrich schreiben.
Dann weißt du, dass ein Bruch nur dann Null sein kann, wenn der Zähler Null ist, das liefert dir was?
Kann es also eine NST der Ableitungsfunktion geben?
Bedenke auch, dass $u$ nur für [mm] $z\in[-1,1]$ [/mm] definiert ist!
>
> Aufg. 2:
> [mm]y'=e^{-x}-x*e^{-x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ...auch hier durch Überlegung bei [mm]x_{1}=1[/mm] eine NS
> gefunden, da die Differenz nur durch x=1 als Faktor 0
> ergibt.
Klammere [mm] $e^{-x}$ [/mm] aus, dann kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden (auch wenn du ihn vllt. nicht unter diesem Namen kennst):
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn (mindestens) einer der Faktoren =0 ist.
[mm] $e^{blabla}$ [/mm] ist IMMER [mm] $\neq [/mm] 0$, bleibt ...
>
> Aufg. 3:
> [mm]y'=(cos(x))^{2}-(sin(x))^{2}[/mm]
> ...hier ist auch durch langwieriges Probieren
> [mm]x_{1}=\bruch{\pi}{4}[/mm] und [mm]x_{2}=bruch{3*\pi}{4}[/mm]
> herausgefunden
>
>
> Habt ihr dort ein Rezept für das Auflösen nach 0?
Vllt. hilft es dir hier, wenn du die Ableitung etwas umschreibst, es ist ja [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, [/mm] also [mm] $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$
[/mm]
Wenn du das einsetzt, hast du [mm] $y'(x)=\cos^2(x)-(1-\cos^2(x))=2\cos^2(x)-1$
[/mm]
Also [mm] $2\cos^2(x)-1=0\gdw \cos^2(x)=\frac{1}{2}\gdw \cos(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Damit bekommst du doch ein paar mehr Lösungen ...
Schaue dir Lösungen im Intervall [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] an, der Rest wiederholt sich ja [mm] $2\pi$-periodisch
[/mm]
> Grüße
> Sebastian
LG
schachuzipus
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