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Aufgabe | Man beweise, dass für x>0 die folgenden Ungleichungen gelten:
[mm] $\frac{x}{1+x^2}\cdot e^{-x^2/2}\leq\int_x^\infty{e^{-z^2/2}dz}\leq\frac{1}{x}e^{-x^2/2} [/mm] |
Guten Abend.
Leider habe ich keine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Wie kann ich das Integral hier gut abschätzen? Bin für jeden Tipp dankbar.
Lg Lykanthrop
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
formen wir die erste Ungleichung mal um und erhalten:
[mm] $xe^{-x^2/2}\leq (1+x^2)\int_x^\infty{e^{-z^2/2}dz}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 0 [mm] \le (1+x^2)\int_x^\infty{e^{-z^2/2}dz} [/mm] - [mm] x*e^\bruch{-x^2}{2}$
[/mm]
Wir stellen fest: für x=0 stimmt die Gleichung.
Betrachte nun die Ableitung von
$h(x) = [mm] (1+x^2)\int_x^\infty{e^{-z^2/2}dz} [/mm] - [mm] x*e^\bruch{-x^2}{2}$
[/mm]
Für x>0 gilt dann $h'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ (warum?)
Damit ist die Ungleichung bewiesen (warum?)
MFG,
Gono.
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Danke für deine Hinweise! Wenn ich gezeigt habe, dass die Ableitung von h(x) größergleich 0 ist, dann ist die Funktion monoton wachsend und daher gilt die linke Ungleichung (wenn sie für x=0 gezeigt wurde).
Allerdings habe ich ein bisschen Schwierigkeiten mit der Ableitung von dem Integral. Wie leite ich das denn ab (mit x als Grenze)?
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Hiho,
stimmt denn dein mathematischer Background?
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt dir, dass [mm] $\left(\integral_a^x f(z)\,dz\right)' [/mm] = f(x)$
Beachte aber, dass [mm] $\integral_x^a f(z)\,dz [/mm] = - [mm] \integral_a^x f(z)\,dz$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 10:45 Do 31.05.2012 | Autor: | Lykanthrop |
Stimmt, vielen Dank! Bin ein bisschen auf dem Schlauch gestanden.
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