Abschätzung 2 Fkt. Beweis < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es seien g,h : [0, + unendlich) --> [mm] \IR [/mm] stetig differenzierbare Funktionen. Zeigen Sie nun die Gültigkleit folgender Aussage:
Für alle x aus [0, + unendlich) :
g(0)=h(0) und [mm] g'(x)\ge [/mm] h'(x) => [mm] g(x)\ge [/mm] h(x) |
Also ich habe mir dazu folgendes überlegt:
laut der leibnizschen identität gilt ja:
[mm] \integral_{0}^{x}{g(x) dx} [/mm] = g(x) - g(0)
und [mm] \integral_{0}^{x}{h(x) dx} [/mm] = h(x) - h(0)
da g(0) = h(0) gilt, folgt:
g(x) - h(x) = - [mm] \integral_{0}^{x}{h(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{x}{g(x) dx}
[/mm]
<=> g(x) - h(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{- h(x) + g(x) dx}
[/mm]
ich weiß ja, dass g'(x) [mm] \ge [/mm] h'(x), also ist das zu integrierende immer positiv. ist deshalb auch das gesamte integral positiv?
denn wenn ich den term größer gleich 0 abschätzen könnte, so hätte ich ja genau meine behauptung.
kann ich das einfach so machen oder wie kann ich an der stelle jetzt vorgehen?
hoffe, mir kann hier jemand weiter helfen.
vielen dank im voraus, die_conny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Fr 11.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
In deinen Formeln fehlt unter dem Integral immer die Ableitung.
Dein Vorgehen ist nicht falsch. der MWS der Integralrechnung sagt ja es gibt ein [mm] x_o [/mm] so dass [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=f(x_0)*(b-a) [/mm] ist.
aber einfacher geht der Beweis mit dem MWS der Differentialrechng direkt.
Gruss leduart
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Vielen Dank für die hilfe!
Okay, ich habe das ganze mit dem Mittelwertsatz der Diffenrenzialrechnung versucht (den der integralrechnung hatten wir noch nicht):
also laut diesem satz gilt ja, dass es eine stelle y [mm] \in [/mm] (0,x) gibt, für die folgendes gilt:
h'(y)=( h(x)- h(0)) / (x-0) und g'(y)= (g(x) - g(0)) / (x-0)
da nun [mm] g'(x)\ge [/mm] h'(x) für alle x aus [0, + unendlich) richtig ist und g(0)=h(0), folgt:
h'(y)=( h(x)- g(0)) / (x-0) [mm] \ge [/mm] g'(y)= (g(x) - g(0)) / (x-0)
und daraus folgt nach umformung unmittelbar:
g(x) [mm] \ge [/mm] h(x)
ist das jetzt richtig so, oder habe ich da noch einen denkfehler drin?
vielen dank im voraus, die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Sa 12.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Stelle x zu deinem y muss nicht für beide Funktionen gleich sein!
Du musst also den MWS auf h/g oder auf d(x)=h-g anwenden. d(0)=0 d'(x)>0
Kommst du damit hin?
für h/g brauchst du den verallgemeinerten MWS, hattet ihr den ?
Gruss leduart
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Also den verallgemeinerten mittelwertsatz dürften wir noch nicht behandelt haben (wiel autet er denn? ).
Also ich setze d(x)= h(x)-g(x)
und laut mittelwertsatz der differentialrechnung gilt nun, dass es eine stelle y $ [mm] \in [/mm] $ (0,x) gibt, für die folgendes gilt:
d'(y)=(d(x) - d(0)) / (x-0) = ( h(x) - g(x)- h(0) + g(0)) / x - 0
da gilt d(x)= h - g, muss laut summenregel gelten:
d'(y) = h'(y) - g'(y)
da nun $ [mm] g'(x)\ge [/mm] $ h'(x) für alle x aus [0, + unendlich) richtig ist und g(0)=h(0), folgt:
0 [mm] \ge [/mm] h'(y) - g'(y) = d'(y)=(d(x) - d(0)) / (x-0) = ( h(x) - g(x)- g(0) + g(0)) / x - 0 = ( h(x) - g(x)) / x
da nun x positiv (denn beide funktionen sind ja für den positiven bereich der reellen zahlen definiert) ist folgt
( h(x) - g(x) ) [mm] \le [/mm] 0 * x = 0
<=> h(x) [mm] \le [/mm] g(x)
q.e.d
Also ich hoffe, nun stimmt es endgültig? ;) wäre luieb, wenn das nochmal kurz jemand prüfen könnte.
aber so langsam denke ich, versteh ich das thema =)
vielen dank im voraus, die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Sa 12.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denk jetz ist alles ok.
Bei < > Beziehungen immer an die Differenz denken ist nützlich!
Gruss leduart
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