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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 So 04.01.2009 | | Autor: | Smasal |
| Aufgabe | Für k [mm] \in \IN [/mm] , m > 0 und k > m gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{m^i}{(i+k)!} [/mm] k! [mm] \le \bruch{k}{k - m}
[/mm]
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Hallo,
ich benötige einen Hinweis, wie man obige Aufgabe lösen kann. Diese Abschätzung steht in einem Buch und ich verstehe leider nicht, wie man darauf kommt.
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 So 04.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ich denke, es ist einfacher, wenn Du das erste Summenglied herausziehst:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{m^i}{(i+k)!}k! \le \bruch{k}{k - m}
[/mm]
[mm] \bruch{m^0}{(0+k!)}k!+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{m^i}{(i+k)!}k! \le \bruch{k-m+m}{k - m}
[/mm]
[mm] 1+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{m^i}{(i+k)!}k! \le 1+\bruch{m}{k-m}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{m^i}{(i+k)!}k! \le \bruch{m}{k-m}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{m^i}{\red{m}(i+k)!}k! \le \bruch{\red{1}}{k-m}
[/mm]
[mm] \summe ^{\infty}_{\red{j=0}} \bruch{m^\red{j}}{(\red{j+1}+k)!}k! \le \bruch{1}{k-m}
[/mm]
(Keine Ahnung übrigens, warum die letzte Formel nicht gelingt. Der Editor mag nicht, dass ich den Term unter der Summe rot markiere. So steht auf einmal das Unendlichzeichen nicht mehr über dem Summenzeichen, aber Du weißt schon, was ich meine...)
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Hallo reverend,
> [mm]\summe ^{\infty}_{\red{j=0}} \bruch{m^\red{j}}{(\red{j+1}+k)!}k! \le \bruch{1}{k-m}[/mm]
>
> (Keine Ahnung übrigens, warum die letzte Formel nicht
> gelingt. Der Editor mag nicht, dass ich den Term unter der
> Summe rot markiere. So steht auf einmal das
> Unendlichzeichen nicht mehr über dem Summenzeichen, aber Du
> weißt schon, was ich meine...)
Ich hab's soeben geändert 
Vertauschung der Reihenfolge von oberem und unterem Index hilft, warum weiß ich auch nicht, aber es tut's.
Schönen Abend
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 So 04.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
so sieht es doch gleich viel netter aus, dankeschön!
Wie ich sehe, ist ein kreativer Umgang mit der Syntax des Editors doch nicht immer schädlich, sondern sogar nützlich.
lg,
reverend
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Ich hätte "vollständige Induktion" erwähnen sollen, dann hätte das erste Glied der Summe auch da bleiben können, wo es ist.
Grüße,
reverend
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