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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 13.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
| Aufgabe | Sei f [mm] \in [/mm] H(D) und f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} z^n [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] D.
Außerdem gelte |f(z)| [mm] \le \bruch{1}{1-|z|} [/mm] auf D.
Beweisen Sie:
[mm] |a_{n}| [/mm] < e(n+1) für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Mit D haben wir in der Vorlesung den Einheitskreis bezeichnet.
Wie kann man denn bei dieser Aufgabe vorgehen?
In der Vorlesung haben wir etwas zu Potenreihenentwicklung gemacht, aber irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter ...
Hat jemand eine Idee?
Schon mal danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei f [mm]\in[/mm] H(D) und f(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n} z^n[/mm]
> für alle z [mm]\in[/mm] D.
> Außerdem gelte |f(z)| [mm]\le \bruch{1}{1-|z|}[/mm] auf D.
> Beweisen Sie:
> [mm]|a_{n}|[/mm] < e(n+1) für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> Mit D haben wir in
> der Vorlesung den Einheitskreis bezeichnet.
... vermutlich nicht nur die Kreislinie, sondern die (abgeschlossene ?)
Kreisscheibe , oder ?
... und was ist H(D) ?
ich rate mal: Menge der auf D holomorphen Funktionen ?
... und wenn wir schon dabei sind:
ist mit dem e die Eulersche Zahl gemeint ?
LG
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 13.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
Ja, richtig.
D soll die Kreisscheibe sein (ohne den Rand). Wir haben es so definiert: D = {z [mm] \in \IC: [/mm] |z| < 1}.
H(D) ist die Menge der holomorphen Funktionen.
Und zu e: Ich gehe auch davon aus, dass damit die e-funktion gemeint sein soll. Ansonsten müsste es ja nochmal irgendwie definiert sein.
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> Und zu e: Ich gehe auch davon aus, dass damit die
> e-funktion gemeint sein soll. Ansonsten müsste es ja
> nochmal irgendwie definiert sein.
Es macht dann aber doch noch einen seeehr wesentlichen
Unterschied, ob du mit e(n+1)
$\ e*(n+1)$ oder aber $\ [mm] e^{n+1} [/mm] = exp(n+1)$
meinst !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 So 14.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
Es ist e*(n+1) gemeint.
Sorry, dass ich mich unklar ausgedrückt habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Sa 13.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei f [mm]\in[/mm] H(D) und f(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n} z^n[/mm]
> für alle z [mm]\in[/mm] D.
> Außerdem gelte |f(z)| [mm]\le \bruch{1}{1-|z|}[/mm] auf D.
> Beweisen Sie:
> [mm]|a_{n}|[/mm] < e(n+1) für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> Mit D haben wir in
> der Vorlesung den Einheitskreis bezeichnet.
>
> Wie kann man denn bei dieser Aufgabe vorgehen?
Ich wuerd die Cauchyschen Integralformeln fuer [mm] $a_n$ [/mm] nehmen, mit verschiedenen Radien $0 < r < 1$. Dann die Integrale mit Hilfe der genannten Abschaetzung abschaetzen und gucken ob man damit weiterkommt. Eventuell Kurvendiskussion der entstehenden Schranke machen.
Ich bekomm damit uebrigens [mm] $|a_n| \le n^{-n} [/mm] (n + [mm] 1)^{n+1}$.
[/mm]
Das ist uebrigens fuer alle $n$ -- ausser fuer $n = 0$ -- eine wesentlich bessere Schranke als [mm] $\exp(n [/mm] + 1)$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 So 14.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
Also wir haben für den Kreis 2 Formen der Cauchy-Integralformel:
f(z) = [mm] \bruch{1}{2\pi*i}\integral_{0}^{2\pi}\bruch{f(w)}{w-z}dw
[/mm]
und
[mm] f(z_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}f(z_{0} [/mm] + [mm] r*e^{i*t})dw
[/mm]
[mm] z_{0} [/mm] = 0 (da Einheitskreis, oder?!)
Dann hätte ich: f(0) = [mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}f(r*e^{i*t})dt
[/mm]
Aber wie mache ich jetzt weiter ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 So 14.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also wir haben für den Kreis 2 Formen der
> Cauchy-Integralformel:
> f(z) =
> [mm]\bruch{1}{2\pi*i}\integral_{0}^{2\pi}\bruch{f(w)}{w-z}dw[/mm]
> und
> [mm]f(z_{0})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}f(z_{0}[/mm] +
> [mm]r*e^{i*t})dw[/mm]
Kennst du auch die hier: $n(z, [mm] \gamma) \frac{f^{(t)}(z)}{t!} [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^t} d\zeta$?
[/mm]
(Also fuer die $t$-te Ableitung anstelle die $0$-te?)
> [mm]z_{0}[/mm] = 0 (da Einheitskreis, oder?!)
Ja.
> Dann hätte ich: f(0) =
> [mm]\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}f(r*e^{i*t})dt[/mm]
>
> Aber wie mache ich jetzt weiter ...
Damit kommst du nicht weiter. Fuer $f(0)$ kannst du besser benutzen, dass $f(0) [mm] \le \frac{1}{1 - |0|} [/mm] = 1$ nach Voraussetzung.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Di 16.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
Ja, die Formel kenne ich auch.
Aber wie hilft mir die weiter?
Sorry, ich hab echt gar keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe rangehen soll ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei 0<r<1 und [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] re^{it} [/mm] für t [mm] \in[0,2 \pi]
[/mm]
Es ist [mm] L(\gamma) [/mm] = Länge von [mm] \gamma [/mm] = $2 [mm] \pi [/mm] r$
Weiter sei M(r) = max{ |f(z)|: |z|=r }
Nach Vor. ist dann
M(r) [mm] \le \bruch{1}{1-r}
[/mm]
Mit der Cauchyschen Integralformel für die Ableitungen folgt:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n)}(0)}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(z)}{z^{n+1}} dz}$
[/mm]
Also
[mm] $|a_n| \le \bruch{1}{2 \pi }L(\gamma)M(r)\bruch{1}{r^{n+1}}= M(r)\bruch{1}{r^{n}} \le \bruch{1}{1-r}*\bruch{1}{r^{n}}$
[/mm]
Setzt man nun r = [mm] 1-\bruch{1}{n+1}, [/mm] so erhält man
[mm] $|a_n| \le (n+1)(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] < (n+1)*e$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 16.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
Super. Danke. Jetzt hab ich's verstanden.
Mein größtes Problem war (wie ich eben bemerkt habe), wie ich [mm] a_{n} [/mm] darstellen kann ...
Dass man das einfach durch [mm] \bruch{f^{n}(0)}{n!} [/mm] ausdrücken kann - darauf bin ich nicht gekommen ...
Sorry, ich hab aus Versehen "Frage" statt "Mitteilung" ausgewählt und wusste nicht, wie man das danach wieder ändern kann ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Nie vergessen:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{f^{n}(z_0)}{n!} [/mm] $,
falls
$f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Di 16.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
Danke! 
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