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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Ist [mm] \sum^\infty_{n=5} \br{n^2-1}{n!}<\infty? [/mm] Wenn ja, schätzen Sie [mm] \sum^\infty_{n=5} \br{n^2-1}{n!} [/mm] nach oben ab. |
Hallo und guten Abend.
Zunächst einmal ist meine Idee hier, dass ich zeige, dass n! schneller wächst als [mm] n^2-1.
[/mm]
Dann fange ich an zu rechnen und bilde den Quotienten nach dem Quotientenkriterium.
[mm] $|\br{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] \br{\br{(n+1)^2-1}{(n+1)!}}{\br{n^2-1}{n!}}$
[/mm]
[mm] $=\br{(n+2n+1-1)*n!}{(n+1)! (n^2-1)} [/mm] = [mm] \br{n^2+2n}{n^3-n+n^2+1}:=c$
[/mm]
Damit [mm] $\sum^\infty_{n=5} \br{n^2-1}{n!} \le a_5 [/mm] * [mm] \br{1}{1-c}=\br{25-1}{5!}*\br{1}{1-\br{25+10}{6*24}}$
[/mm]
Und somit
[mm] $\sum^{m-1}_{n=5} \br{n^2-1}{n!} \le \sum^\infty_{n=5}\br{n^2-1}{n!} [/mm] = [mm] \sum^{m-1}_{n=5} \br{n^2-1}{n!}+ \sum^{\infty}_{n=m} \br{n^2-1}{n!}$
[/mm]
z .B. m=20
[mm] $\sum^{19}_{n=5} \br{n^2-1}{n!}=:z \le \sum^{\infty}_{n=5} \br{n^2-1}{n!}< \sum^{19}_{n=5} \br{n^2-1}{n!}+\sum^{20}_{20} \br{n^2-1}{n!}$
[/mm]
Was haltet ihr davon? Also ich würde jetzt noch in den Rechner die Zahlen eingeben, und gucken, was herauskommt.
Würde mich sehr über kritische Meinungen freuen. Und um Hilfe natürlich auch.
Danke euch!
Viele Grüße
Johann
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Hallo,
> Ist [mm]\sum^\infty_{n=5} \br{n^2-1}{n!}<\infty?[/mm] Wenn ja,
> schätzen Sie [mm]\sum^\infty_{n=5} \br{n^2-1}{n!}[/mm] nach oben
> ab.
> Hallo und guten Abend.
>
> Zunächst einmal ist meine Idee hier, dass ich zeige, dass
> n! schneller wächst als [mm]n^2-1.[/mm]
Das sollte man annehmen, ja. 
>
>
> Dann fange ich an zu rechnen und bilde den Quotienten nach
> dem Quotientenkriterium.
>
>
> [mm]|\br{a_{n+1}}{a_n}| = \br{\br{(n+1)^2-1}{(n+1)!}}{\br{n^2-1}{n!}}[/mm]
>
> [mm]=\br{(n+2n+1-1)*n!}{(n+1)! (n^2-1)} = \br{n^2+2n}{n^3-n+n^2+1}:=c[/mm]
sieht soweit ganz gut aus. etwas ungeschickt formuliert allerdings. links steht ein von n abhängiger term und rechts c, was gewöhnlich konstanten bezeichnet. Setz doch einfach hier schon $n=5$ ein.
>
> Damit [mm]\sum^\infty_{n=5} \br{n^2-1}{n!} \le a_5 * \br{1}{1-c}=\br{25-1}{5!}*\br{1}{1-\br{25+10}{6*24}}[/mm]
>
sieht richtig aus!![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Und somit
>
> [mm]\sum^{m-1}_{n=5} \br{n^2-1}{n!} \le \sum^\infty_{n=5}\br{n^2-1}{n!} = \sum^{m-1}_{n=5} \br{n^2-1}{n!}+ \sum^{\infty}_{n=m} \br{n^2-1}{n!}[/mm]
>
> z .B. m=20
>
> [mm]\sum^{19}_{n=5} \br{n^2-1}{n!}=:z \le \sum^{\infty}_{n=5} \br{n^2-1}{n!}< \sum^{19}_{n=5} \br{n^2-1}{n!}+\sum^{20}_{20} \br{n^2-1}{n!}[/mm]
>
Warum du das jetzt noch machst, verstehe ich nicht.... bist eigentlich schon vorher fertig.
> Was haltet ihr davon? Also ich würde jetzt noch in den
> Rechner die Zahlen eingeben, und gucken, was herauskommt.
>
> Würde mich sehr über kritische Meinungen freuen. Und um
> Hilfe natürlich auch.
>
>
> Danke euch!
>
>
> Viele Grüße
> Johann
>
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Vielen Dank!
Setze den Vorschlag in die Tat um. Danke!
Gruß
Johann
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