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| Aufgabe | Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Für jede Teilmenge A [mm] \subseteq [/mm] X definieren wir
cl(A) := { x [mm] \in [/mm] X : es existiert eine Folge [mm] (x_n)\subseteqA [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x [/mm] }
a) Zeigen Sie: cl(A) ist abgeschlossen.
b) Zeigen Sie: A ist genau dann abgeschlossen, wenn cl(A)=A gilt.
C) Bestimmen Sie cl(B) für B := {(x, [mm] sin(\bruch{1}{x})) [/mm] : 0 < x [mm] \le [/mm] 1 } im normierten Raum [mm] (\IR^2, ||*||_2). [/mm] |
Hallo zusammen,
cl(A) beschreibt doch die Menge alles Grenzwerte der Folgen aus A. In Fachliteratur haben wir gelesen, dass es sich dabei um den Abschluss einer Menge handelt.
zu a) Nach Definition heißt eine Menge abgeschlossen, falls für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = x [mm] \in [/mm] X, folgt, x [mm] \in [/mm] A.
Wie kann ich das verwenden, um die Aufgabe zu lösen? Oder muss ich mich auf einen anderen Satz beziehen?
Hat jemand einen Tipp zu b) oder c)?
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Hiho,
> cl(A) beschreibt doch die Menge alles Grenzwerte der Folgen aus A.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> In Fachliteratur haben wir gelesen, dass es sich dabei um den Abschluss einer Menge handelt.
> zu a) Nach Definition heißt eine Menge abgeschlossen,
> falls für jede Folge [mm](x_n)[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm] = x [mm]\in[/mm] X, folgt, x [mm]\in[/mm] A.
Na das glaube ich so nicht. Da hast du das wesentliche weggelassen. Nämlich dass die [mm] $x_n$ [/mm] aus der betrachteten Menge kommen müssen.
> Wie kann ich das verwenden, um die Aufgabe zu lösen? Oder
> muss ich mich auf einen anderen Satz beziehen?
Nein, genau diesen.
> Hat jemand einen Tipp zu b) oder c)?
zu b): Zeige [mm] $A\subseteq \text{cl}(A)$ [/mm] und [mm] $\text{cl}(A) \subseteq [/mm] A$
zu c): Na für welchen Punkten kannst du dich denn beliebig nähern mit Elementen aus B, die nicht zu B gehören?
Gruß,
Gono
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Ich habe nochmal eine Verständnisfrage zur Angabe von cl(A):
cl(A) beschreibt eine Menge, die aus Elementen von A und Elementen von X zusammengesetzt ist, oder? Weil [mm] (x_n) [/mm] aus A, aber der Grenzwert in X liegt. Da A Teilmenge von X kann der Grenzwert doch dann auch in A liegen, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Di 07.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe nochmal eine Verständnisfrage zur Angabe von
> cl(A):
> cl(A) beschreibt eine Menge, die aus Elementen von A und
> Elementen von X zusammengesetzt ist, oder?
ja
> Weil [mm](x_n)[/mm] aus
> A, aber der Grenzwert in X liegt. Da A Teilmenge von X kann
> der Grenzwert doch dann auch in A liegen, oder?
Ja, das kann er
fred
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dann zu a) (Abgeschlossenheit von cl(A))
Hier muss man doch zeigen, dass jede Folge von Grenzwerten (in X) in cl(A) konvergiert.
Das leuchtet mir aber nicht wirklich ein. Eine mögliche Folge besteht doch dann aus ganz vielen Grenzwerten, die alle in X liegen. Dann konvergiert diese Folge auch in X, aber warum in cl(A)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Di 07.06.2016 | | Autor: | hippias |
Sei $a$ eine Folge von Elemente aus $cl(A)$, die gegen [mm] $x\in [/mm] X$ konvergiert. Du musst beweisen, dass [mm] $x\in [/mm] cl(A)$ ist; dies ist nach Definition der Fall, wenn es eine Folge $b$ von Elementen aus $A$ gibt, die gegen $x$ konvergiert.
Nun sind die Folgeglieder [mm] $a_{n}$ [/mm] aus $cl(A)$. Also gibt es welche Folgen?
Du kannst die jetzige Situation so veranschaulichen:
[mm] $\begin{array}{cccccc}
a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n} & \ldots\to & x\\
\uparrow & \uparrow & \ldots & \uparrow & \ldots & \\
\vdots & \vdots & & \vdots & & &\\
b_{1,n} & b_{2,n} & & b_{n,n} & & &\\
\vdots & \vdots & & \vdots & & &\\
b_{1,2} & b_{2,2} & & b_{n,2} & & &\\
b_{1,1} & b_{2,1} & & b_{n,1} & & &\\
\end{array}$
[/mm]
Statt die obere Zeile entlang zu $x$ zu laufen, nähere Dich an von links unten...
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