Abschluss, Inneres und Rand < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Fr 22.05.2009 | | Autor: | cukram |
| Aufgabe | Sei [mm] $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2|x>0,y=\sin(\frac{1}{x})\}$
[/mm]
eine Teilmenge des [mm] $\mathbb{R}^2$. [/mm] Man bestimme den Abschluss, das Innere und den Rand von A. |
Hallo, habe bei dieser Aufgabe einige Schwierigkeiten.
Also ich denke, dass $A [mm] \cup \{(x,y)|x=0, y \in [-1,1]\}$ [/mm] der Abschluss ist. Jedoch glaube ich, dass das Innere leer ist. Weiss jedoch nicht so recht ob das so stimmt und vor allem wie ich das zeigen soll. Evtl. kann mir ja jemand einen Ansatz geben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
cukram
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2|x>0,y=\sin(\frac{1}{x})\}[/mm]
>
> eine Teilmenge des [mm]\mathbb{R}^2[/mm]. Man bestimme den
> Abschluss, das Innere und den Rand von A.
> Hallo, habe bei dieser Aufgabe einige Schwierigkeiten.
> Also ich denke, dass [mm]A \cup \{(x,y)|x=0, y \in [-1,1]\}[/mm]
> der Abschluss ist.
Ja!
> Jedoch glaube ich, dass das Innere leer
> ist. Weiss jedoch nicht so recht ob das so stimmt und vor
> allem wie ich das zeigen soll. Evtl. kann mir ja jemand
> einen Ansatz geben.
Laß' Dir doch mal den Graphen von $x [mm] \mapsto \sin(1/x)$ [/mm] plotten. Hier sieht man z.B. sehr schön, dass $A [mm] \cup \{(0,0)\} \subset \overline{A}$ [/mm] ist; und dass noch keine Gleichheit besteht, erkennt man auch, wenn man mal Folgen [mm] $\big((x_n,\;\sin(1/x_n))\big)_n$ [/mm] in [mm] $A\,$ [/mm] betrachtet, wobei eine Folge [mm] $(x_n)_n\,$ [/mm] dann die Bauart [mm] $x_n:=\frac{1}{c+n*2\pi}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] habe, wobei $c [mm] \in \Big[-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\Big]\,.$
[/mm]
(Damit weißt Du dann, dass $(A [mm] \cup \{(0,y):\;y \in [-1,1]\}) \subset \overline{A}$; [/mm] wie sieht es mit der Begründung [mm] $\overline{A} \subset [/mm] A [mm] \cup \{(0,y):\;y \in [-1,1]\}$ [/mm] aus?)
Also das passt zu Deiner Vermutung oben... Du kannst es nun aber sicher auch sauber aufschreiben, oder?
P.S.:
[mm] $A^o=\overline{A} \setminus \partial A\,.$
[/mm]
Was ist denn hier [mm] $\partial [/mm] A$? Wenn Du Dir das überlegt hast, kannst Du sofort auch folgern, dass [mm] $A^o=\emptyset\,.$
[/mm]
Oder Du machst - zur Begründung von [mm] $A^o=\emptyset$ [/mm] - den Ansatz:
Nimm' einfach einen Punkt $a [mm] \in [/mm] A$ her, und zeige, dass dann für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ die Menge [mm] $U_\epsilon (a):=\{\text{x} \in \IR^2:\;\;\|\text{x}-a\|_2 < \epsilon\}$ [/mm] aber stets einen Punkt enthält, der nicht in [mm] $A\,$ [/mm] liegt.
Tipp:
$$a [mm] \in [/mm] A [mm] \gdw a=(x,\sin(1/x)) \text{ mit einem }x [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Betrachte für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ dann den Punkt [mm] $\tilde{a}:=\big(x,\;(\epsilon/2)+\sin(1/x)\big)\,.$
[/mm]
Begründe:
[mm] $\tilde{a} \notin [/mm] A$ und [mm] $\|\tilde{a}-a\|_2 [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Sa 23.05.2009 | | Autor: | cukram |
| Aufgabe | | $ [mm] \overline{A} \subset [/mm] A [mm] \cup \{(0,y):\;y \in [-1,1]\} [/mm] $ |
Also ich hab alles hinbekommen bis auf diese Inklusion. Weiß nicht so recht wie ich daran gehen soll. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? :)
Gruß,
cukram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 24.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\overline{A} \subset A \cup \{(0,y):\;y \in [-1,1]\}[/mm]
> Also
> ich hab alles hinbekommen bis auf diese Inklusion. Weiß
> nicht so recht wie ich daran gehen soll. Kann mir da jemand
> auf die Sprünge helfen? :)
klar:
Sei $a [mm] \in \overline{A}\,.$ [/mm] Dann existiert eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $A\,$ [/mm] mit [mm] $a_n \to a\,.$ [/mm]
1. Fall: Ist $a [mm] \in A\,,$ [/mm] so ist nichts mehr zu zeigen.
2. Fall: Sei $a [mm] \notin A\,.$ [/mm] ...
Beim zweiten Fall musst Du nun zeigen, dass dann aber schon $a [mm] \in \{(0,y):\;y \in [-1,1]\}$ [/mm] folgt.
Tipp:
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] Folge in $A [mm] \Rightarrow$ $a_n=\big(x_n,\,\sin(1/x_n)\big)$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit einer Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $(0,\,\infty)\,.$
[/mm]
Und jetzt überlege Dir, wie die Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] sich auf die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] auswirkt. Und dann überlege Dir, welche Grenzwerte für eine konvergente Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] - wenn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $(0,\,\infty)$ [/mm] ist - nur in Frage kommen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:05 Mo 25.05.2009 | | Autor: | cukram |
Alles klar, ich beschränke mich einfach auf die Folgen mit dem Grenzwert 0, denn bei jedem anderen Grenzwert bleibe ich ja offensichtlich in A. Und dann schau ich mir halt die möglichen Häufungspunkte für x gegen 0 an. Und dadurch, dass sin beschränkt ist, hab ich alles was ich brauche.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Alles klar, ich beschränke mich einfach auf die Folgen mit
> dem Grenzwert 0, denn bei jedem anderen Grenzwert bleibe
> ich ja offensichtlich in A.
ganz offensichtlich ist es nicht, aber fast. Mit einem kleinen Stetigkeitsargument ist's aber wirklich offensichtlich.
> Und dann schau ich mir halt die
> möglichen Häufungspunkte für x gegen 0 an. Und dadurch,
> dass sin beschränkt ist, hab ich alles was ich brauche.
Genau.
> Danke!
Gern geschehen. 
Gruß,
Marcel
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