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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Abschluss, Metrik
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Abschluss, Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 So 10.03.2013
Autor: theresetom

Aufgabe
Es sei (M,d) ein metrischer Raum. Für einne Punkt y [mm] \in [/mm] M und eine Teilmenge A [mm] \subseteq [/mm] M setzten wird d(y,A) := inf [mm] \{ d(y,z) | z \in A \} [/mm]
Zeige [mm] \overline{A} [/mm] = [mm] \{ y \in M | d(y,A)=0\} [/mm]

Hallo
[mm] \overline{A} =\bigcap_{A\subseteq F, F abg }F [/mm]
a  [mm] \in \overline{A} [/mm] d.h. a [mm] \in [/mm] F für F abgeschlossen un A [mm] \subseteq [/mm] F
ZZ.: d(a,A)=0 d.h. inf [mm] \{ d(a,z)|z\in A\} [/mm] =0

Ich hab versucht mit indirekten Beweis es zu versuchen, ist mir jedoch nicht gelungen. Auch ist mir eine Umkehrschluss nicht gelungen durchzuführen.
Für einen Tipp wäre ich dankbar.

lg

        
Bezug
Abschluss, Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 So 10.03.2013
Autor: fred97

Tipps:

1. für y [mm] \in [/mm] A ist d(y,A)=0.

2. y [mm] \in \overline{A} \gdw [/mm] es ex. eine Folge [mm] (y_n) [/mm] in A mit [mm] y_n \to [/mm] y

3. Stetigkeit der Metrik.

FRED

Bezug
                
Bezug
Abschluss, Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 So 10.03.2013
Autor: theresetom

Hallo

für y [mm] \in [/mm] A : d(y,A)= inf [mm] \{ d(y,z)| z \in A \} [/mm] = d(y,y)=0 ist klar.

y [mm] \in \overline{A}, [/mm] d.h. y [mm] \in [/mm] F für F abgeschlossen und A [mm] \subseteq [/mm] F
heißt dass nicht nur WENN eine Folge existiert [mm] y_n \in [/mm] F mit [mm] y_n [/mm] -> y dann ist y [mm] \in [/mm] F?

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Abschluss, Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 So 10.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> für y [mm]\in[/mm] A : d(y,A)= inf [mm]\{ d(y,z)| z \in A \}[/mm] = d(y,y)=0
> ist klar.

Genau.

> y [mm]\in \overline{A},[/mm] d.h. y [mm]\in[/mm] F für F abgeschlossen und A
> [mm]\subseteq[/mm] F


>  heißt dass nicht nur WENN eine Folge existiert [mm]y_n \in[/mm] F
> mit [mm]y_n[/mm] -> y dann ist y [mm]\in[/mm] F?

Für abgeschlossene Mengen stimmt das (das ist eine Möglichkeit abgeschlossene Mengen zu definieren).

Hier geht es aber um den Abschluss von A. Und den kann man alternativ zu deiner Def. auch mittels

[mm] $\overline{A} [/mm] = [mm] \{y: \exists (y_n) \subset A mit y_n \to y\}$ [/mm]

definieren, also als Menge aller Grenzwerte, die mit Folgen aus $A$ möglich sind. (Das könntest du dir aus eurer Def. herleiten)

---

Du hast also für $y [mm] \in \overline{A}$ [/mm] sicher eine Folge [mm] $(y_n) \subset [/mm] A$ mit [mm] $y_n \to [/mm] y$, d.h. [mm] $d(y,y_n) \to [/mm] 0$.

Nun nutze

$d(y,A) [mm] \le d(y,y_n) \to [/mm] 0$.

Also $d(y,A) = 0$.

---

Es fehlt noch die Rückrichtung. Ist $y [mm] \in [/mm] M$ mit $d(y,A) = 0$, dann kannst du automatisch eine Folge [mm] $(y_n) \subset [/mm] A$ mit [mm] $y_n \to [/mm] y$ erhalten wegen dem Infimum. Also $y [mm] \in \overline{A}$. [/mm]


Viele Grüße,
Stefan



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Bezug
Abschluss, Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:24 Mo 11.03.2013
Autor: theresetom

Hallo,
danke für die Antwort.
Ich komme nicht damit zurrecht das:
$ [mm] \overline{A} [/mm] = [mm] \{y: \exists (y_n) \subset A mit y_n \to y\} [/mm] $
gilt. Bzw. hatten wir diese Umformulierung nicht. Mir ist auch nicht klar - warum das eine umformulierung von meiner definition ist...


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Abschluss, Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:42 Mo 11.03.2013
Autor: Helbig

Hallo theresetom,

>  danke für die Antwort.
>  Ich komme nicht damit zurrecht das:
>  [mm]\overline{A} = \{y: \exists (y_n) \subset A mit y_n \to y\}[/mm]
>  
> gilt. Bzw. hatten wir diese Umformulierung nicht. Mir ist
> auch nicht klar - warum das eine umformulierung von meiner
> definition ist...

Eine $A$-Folge sei eine Folge, deren Glieder in der Menge $A$ liegen.

Sei $X$ die Menge der Grenzwerte konvergenter A-Folgen. Wir wollen [mm] $X=\overline [/mm] A$ zeigen.

Sei hierzu [mm] (x_n) [/mm] eine $A$-Folge mit [mm] $x_n\to x\,.$ [/mm] Wegen [mm] $A\subseteq \overline [/mm] A$ ist [mm] $(x_n)$ [/mm] auch eine [mm] $\overline [/mm] A$-Folge und weil [mm] $\overline [/mm] A$ als Durchschnitt abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen ist, erhalten wir [mm] $x\in \overline A\,.$ [/mm]

Sei umgekehrt [mm] $x\in \overline A\,.$ [/mm] Angenommen, es gäbe keine A-Folge, die gegen $x$ konvergiert. Dann gäbe es eine offene Umgebung $U$ von $x$ mit [mm] $U\cap A=\emptyset\,,$ [/mm] und [mm] $\overline A\setminus [/mm] U$ wäre eine abgeschlossene Menge, die $A$ enthält. Da [mm] $\overline [/mm] A$ der Durchschnitt solcher Mengen ist, wäre [mm] $x\in \overline [/mm] A [mm] \setminus U\$ [/mm] im Widerspruch zu [mm] $x\in U\,.$ [/mm]

Gruß,
Wolfgang



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Abschluss, Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Mo 18.03.2013
Autor: theresetom


> Dann gäbe es eine offene Umgebung $ U $ von $ x $ mit $ [mm] U\cap A=\emptyset\,, [/mm] $

Hallo,
Wie kommst du auf diese Folgerung?

Bezug
                                                        
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Abschluss, Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:24 Mi 20.03.2013
Autor: Helbig


> > Dann gäbe es eine offene Umgebung [mm]U[/mm] von [mm]x[/mm] mit [mm]U\cap A=\emptyset\,,[/mm]
>  
> Hallo,
>  Wie kommst du auf diese Folgerung?

Andernfalls gäbe es zu jedem [mm] $n\in\IN$ [/mm] ein [mm] $x_n\in [/mm] A$ mit [mm] $d(x,x_n)<1/n\,.$ [/mm]

Gruß,
Wolfgang


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Abschluss, Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Mo 11.03.2013
Autor: theresetom

Hallo
Ich stocke noch bei der Rückrichtung:

> Es fehlt noch die Rückrichtung. Ist $ y [mm] \in [/mm] M $ mit $ d(y,A) = 0 $, dann kannst du automatisch eine Folge $ [mm] (y_n) \subset [/mm] A $ mit $ [mm] y_n \to [/mm] y $ erhalten wegen dem Infimum. Also $ y [mm] \in \overline{A} [/mm] $.

ich sehe nicht wie ich die Folge finden kann..
Ist y [mm] \in [/mm] M mit d(y,A)=0
-> [mm] \forall [/mm] epsilon>0, [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A mit d(y,a) <= [mm] \epsilon [/mm]

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Abschluss, Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 Mo 11.03.2013
Autor: fred97


> Hallo
>  Ich stocke noch bei der Rückrichtung:
>  > Es fehlt noch die Rückrichtung. Ist [mm]y \in M[/mm] mit [mm]d(y,A) = 0 [/mm],

> dann kannst du automatisch eine Folge [mm](y_n) \subset A[/mm] mit
> [mm]y_n \to y[/mm] erhalten wegen dem Infimum. Also [mm]y \in \overline{A} [/mm].
>  
> ich sehe nicht wie ich die Folge finden kann..
>  Ist y [mm]\in[/mm] M mit d(y,A)=0
>  -> [mm]\forall[/mm] epsilon>0, [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A mit d(y,a) <=

> [mm]\epsilon[/mm]  


Zu [mm] \epsilon=1 [/mm] ex. ein [mm] a_1 \in [/mm] A mit [mm] d(y,a_1)<1 [/mm]

Zu [mm] \epsilon=1/2 [/mm] ex. ein [mm] a_2 \in [/mm] A mit [mm] d(y,a_2)<1/2 [/mm]

...................................

Klingelt da jetzt was ?

FRED

Bezug
                                                
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Abschluss, Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Mo 11.03.2013
Autor: theresetom

STimmt.
Man erhält also eine Folge [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] in A mit [mm] a_n [/mm] -> y

Bezug
                                                        
Bezug
Abschluss, Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mo 11.03.2013
Autor: fred97


> STimmt.
>  Man erhält also eine Folge [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] in A mit [mm]a_n[/mm]
> -> y

Ja

FRED


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