Abschnitt 1.3, Zusatzaufgabe < Kap 1: El. Gruppenth < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:59 Fr 15.09.2006 | | Autor: | statler |
Zusatzaufgabe (aus Rotman, An Introduction to the Theory of Groups)
| Aufgabe | Seien $G$ eine endliche Gruppe und $S$ und $T$ zwei (nicht notwendig verschiedene) Teilmengen von $G$. Dann gilt $G = ST$ oder $|G| [mm] \ge [/mm] |S| + |T|$.
In der Originalversion heißt es: Dann gilt entweder $G = ST$ oder $|G| [mm] \ge [/mm] |S| + |T|$. Ist das auch richtig?
Dabei ist $ST := [mm] \{st| s \in S, t \in T\}$. [/mm] $ST$ ist selbst dann nicht unbedingt eine Untergruppe, wenn $S$ und $T$ es sind. |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:05 Fr 22.09.2006 | | Autor: | felixf |
Sali zusammen!
Hat sich eigentlich schon jemand diese Aufgabe hier angeschaut? Da sie so weit hinten in der Liste steht befuerchte ich gerade das ihr sie uebersehen habt. Oder ist sie zu schwierig?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Fr 22.09.2006 | | Autor: | Frusciante |
Hallo Felix,
> Hat sich eigentlich schon jemand diese Aufgabe hier
> angeschaut? Da sie so weit hinten in der Liste steht
> befuerchte ich gerade das ihr sie uebersehen habt. Oder ist
> sie zu schwierig?
Angeschaut schon, bin aber noch auf keine Lösung gekommen. Wenn keiner sehnsüchtig auf eine Lösung wartet, würde ich auch gerne noch weiter darüber nachdenken (möchte den Kurs aber nicht deswegen aufhalten).
Gruß,
Frusciante
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Hallo,
> Zusatzaufgabe (aus Rotman, An Introduction to the Theory of
> Groups)
>
> Seien G eine endliche Gruppe und S und T zwei (nicht
> notwendig verschiedene) Teilmengen von G. Dann gilt G = ST
> oder |G| [mm]\ge[/mm] |S| + |T|.
Dies ist nun doch überraschend einfach zu zeigen:
Es sei [mm] $G\not=ST$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ G\stackrel{\supset}{\not=}ST$ ($G\stackrel{\subset}{\not=}ST$ [/mm] ist nicht möglich)
[mm] $\Rightarrow\ \exists g\in [/mm] G\ :\ [mm] (\forall s\in [/mm] S,\ [mm] t\in [/mm] T\ :\ [mm] st\not=g)$
[/mm]
Es sei [mm] $S=\{s_1,\ldots,s_n\}$.
[/mm]
In G existiert für jedes [mm] $s_i\in [/mm] S$ genau ein [mm] $s_i'\in [/mm] G$ mit [mm] $s_i*s_i'=g$.
[/mm]
Keines dieser [mm] $s_i'$ [/mm] darf in T liegen (sonst wäre [mm] $g\in [/mm] ST$):
[mm] $\Rightarrow\ T\subset G\setminus\{s_1',\ldots,s_n'\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ |T|\le [/mm] |G|-|S|$
[mm] $\Rightarrow\ |T|+|S|\le [/mm] |G|$
[mm] $\Box$
[/mm]
> In der Originalversion heißt es: Dann gilt entweder G = ST
> oder |G| [mm]\ge[/mm] |S| + |T|. Ist das auch richtig?
Gegenbeispiel:
[mm] $G=(\IZ/4\IZ,+)=\{0,1,2,3\}$
[/mm]
[mm] $S:=\{0,1\}, T:=\{1,3\}$
[/mm]
[mm] $ST=\{0+1,0+3,\ 1+1,1+3\}=\{1,3,\ 2,0\}=G$
[/mm]
und [mm] $4=|G|\ge|S|+|T|=2+2$
[/mm]
In diesem Fall gilt also $G=ST$ und $|G| [mm] \ge [/mm] |S| + |T|$. [mm] $\Box$
[/mm]
Ist das dann tatsächlich ein Fehler im Buch?
Viele Grüße, Frusciante
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 So 24.09.2006 | | Autor: | statler |
> Hallo,
>
> > Zusatzaufgabe (aus Rotman, An Introduction to the Theory of
> > Groups)
> >
> > Seien G eine endliche Gruppe und S und T zwei (nicht
> > notwendig verschiedene) Teilmengen von G. Dann gilt G = ST
> > oder |G| [mm]\ge[/mm] |S| + |T|.
>
> Dies ist nun doch überraschend einfach zu zeigen:
Ganz typisch, ging mir genauso.
> Es sei [mm]G\not=ST[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow\ G\stackrel{\supset}{\not=}ST[/mm]
> ([mm]G\stackrel{\subset}{\not=}ST[/mm] ist nicht möglich)
>
> [mm]\Rightarrow\ \exists g\in G\ :\ (\forall s\in S,\ t\in T\ :\ st\not=g)[/mm]
>
> Es sei [mm]S=\{s_1,\ldots,s_n\}[/mm].
>
> In G existiert für jedes [mm]s_i\in S[/mm] genau ein [mm]s_i'\in G[/mm] mit
> [mm]s_i*s_i'=g[/mm].
> Keines dieser [mm]s_i'[/mm] darf in T liegen (sonst wäre [mm]g\in ST[/mm]):
>
> [mm]\Rightarrow\ T\subset G\setminus\{s_1',\ldots,s_n'\}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ |T|\le |G|-|S|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ |T|+|S|\le |G|[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
>
>
> > In der Originalversion heißt es: Dann gilt entweder G = ST
> > oder |G| [mm]\ge[/mm] |S| + |T|. Ist das auch richtig?
>
> Gegenbeispiel:
>
> [mm]G=(\IZ/4\IZ,+)=\{0,1,2,3\}[/mm]
>
> [mm]S:=\{0,1\}, T:=\{1,3\}[/mm]
>
> [mm]ST=\{0+1,0+3,\ 1+1,1+3\}=\{1,3,\ 2,0\}=G[/mm]
>
> und [mm]4=|G|\ge|S|+|T|=2+2[/mm]
>
> In diesem Fall gilt also [mm]G=ST[/mm] und [mm]|G| \ge |S| + |T|[/mm]. [mm]\Box[/mm]
>
> Ist das dann tatsächlich ein Fehler im Buch?
Naja, in dem Buch stand 'either - or', was ich aber immer mit 'entweder - oder' übersetze, und das stimmt offenbar nicht, wie du hier gerade schlüssig vorgeführt hast.
Ist das nicht ein schönes Gefühl, wenn einem nach gehörigem Nachdenken alles sonnenklar ist?
Schöne Sonntagsgrüße
Dieter
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