Absolutbetrag < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Di 28.10.2014 | | Autor: | xOx |
| Aufgabe | | Hierzu gibt es keine genaue Angabe. |
Hallo!
Kann mir bitte jemande von euch erklären. Was bzw. wie man genau mit einem Absolutbetrag umgeht?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Hierzu gibt es keine genaue Angabe.
> Hallo!
>
> Kann mir bitte jemande von euch erklären. Was bzw. wie man
> genau mit einem Absolutbetrag umgeht?
Was meinst du mit 'umgehen' ?
Der Absolutbetrag einer Zahl ist definiert als
$|x| = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}$
[/mm]
z.B.
$|5| = 5$
$|-5| = -(-5) = 5$
>
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Di 28.10.2014 | | Autor: | xOx |
Mit "umgehen" meinte ich, dass ich bis jetzt noch keinen Bezug dazu aufgebaut habe bzw. wir dieses Thema in der Schule scheinbar ausgelassen haben.
Nun weiß ich nicht, wie ich die Fkt.
| x - 5| < 1/2
beweisen kann.
Vlt. hast du noch einen Rat.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 28.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Mit "umgehen" meinte ich, dass ich bis jetzt noch keinen
> Bezug dazu aufgebaut habe bzw. wir dieses Thema in der
> Schule scheinbar ausgelassen haben.
>
> Nun weiß ich nicht, wie ich die Fkt.
>
> | x - 5| < 1/2
>
> beweisen kann.
>
> Vlt. hast du noch einen Rat.
>
> Danke
Hallo,
du hast vorhin als Antwort folgende Definition bekommen:
[mm] |x| = \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases} [/mm]
Übertragen auf deine Aufgabe bedeutet das:
[mm] |x-5| = \begin{cases} x-5, & \mbox{für } x-5 \ge 0 \\ -(x-5), & \mbox{für } x-5 < 0 \end{cases} [/mm]
Wegen dieser fallweise verschiedenen Funktionsvorschrift musst du auch beim Lösen deiner Ungleichung die beiden Fälle
[mm] $x-5\ge [/mm] 0$ und $x-5<0$ getrennt behandeln.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 28.10.2014 | | Autor: | xOx |
Vielen lieben Dank! Jetzt verstehe ich.
Leider kann ich es nicht umsetzen. Bei mir kommt in beiden Fällen raus, dass es eine leere Menge ist. /: Ich denke nicht, dass das korrekt ist.
Bitte um nochmalige Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Di 28.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Vielen lieben Dank! Jetzt verstehe ich.
>
> Leider kann ich es nicht umsetzen. Bei mir kommt in beiden
> Fällen raus, dass es eine leere Menge ist. /:
Rechne vor.
PS: Für (beispielsweise) x=5,1 gilt die Ungleichung
> Ich denke
> nicht, dass das korrekt ist.
>
> Bitte um nochmalige Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Di 28.10.2014 | | Autor: | xOx |
Okay, gerne!
1. Fall
x - 5 [mm] \ge [/mm] 0
x-5< 1/2
2x -10 < 0
-10 < -2x
5 > x
x-5 [mm] \ge \wedge [/mm] x < 5
x [mm] \ge [/mm] 5 [mm] \wedge [/mm] x < 5
Ist eine leere Menge, da sich die beiden x in 5 nicht treffen
2. Fall
x - 5 < 1/2
-(x -5) < 1/2
-x+5 < 1/2
-2x +10 < 0
10 < 2x
5 < x
x - 5 < 0 [mm] \wedge [/mm] x > 5
x < 5 [mm] \wedge [/mm] x > 5
Wäre wieder eine leere Menge.
Das kann überhaupt nicht sein.
Vielen lieben Dank für die Bemühung!
Sry, für die Verspätung, ich bin mit dem Forum noch nicht vertraut.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Di 28.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Okay, gerne!
>
> 1. Fall
>
> x - 5 [mm]\ge[/mm] 0
>
> x-5< 1/2
> 2x -10 < 0
Wenn du links von x-5 auf 2x-10 kommst, hast du offensichtlich die linke Seite verdoppelt,
also lautete dein Rechenbefehl |*2.
Rechnenbefehle müssen auf beiden Seiten angewendet werden! Rechts stand 1/2, das muss auch verdoppelt werden, und dabei kommt NICHT 0 heraus.
> -10 < -2x
> 5 > x
>
> x-5 [mm]\ge \wedge[/mm] x < 5
> x [mm]\ge[/mm] 5 [mm]\wedge[/mm] x < 5
>
> Ist eine leere Menge, da sich die beiden x in 5 nicht
> treffen
>
> 2. Fall
>
> x - 5 < 1/2
>
> -(x -5) < 1/2
> -x+5 < 1/2
> -2x +10 < 0
Gleicher Fehler.
> 10 < 2x
> 5 < x
>
> x - 5 < 0 [mm]\wedge[/mm] x > 5
> x < 5 [mm]\wedge[/mm] x > 5
>
> Wäre wieder eine leere Menge.
>
>
> Das kann überhaupt nicht sein.
>
> Vielen lieben Dank für die Bemühung!
>
> Sry, für die Verspätung, ich bin mit dem Forum noch nicht
> vertraut.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Mi 29.10.2014 | | Autor: | xOx |
Korrektur:
>
> 1. Fall
>
> x - 5 [mm] \ge [/mm] 0
> x-5< 1/2
> 2x -10 < 1
> -10 < 1 -2x
> -11 < -2x
> 11/2 > x
> x-5 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] x < 11/2
> x [mm] \ge [/mm] 5 [mm] \wedge [/mm] x < 11/2
> 5 [mm] \le [/mm] x < 11/2
>
> 2. Fall
>
> x - 5 < 0
>
> -(x -5) < 1/2
> -x+5 < 1/2
> -2x +10 < 1
> 9 < 2x
> 9/2 < x
>
> x - 5 < 0 [mm] \wedge [/mm] x > 9/2
> x < 5 [mm] \wedge [/mm] x > 9/2
Jetzt habe ich alle Schnittpkt., rund um 5, aber nur nicht 5. Ist das ein Denkfehler?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Korrektur:
>
> >
> > 1. Fall
>
> >
> > x - 5 [mm]\ge[/mm] 0
>
> > x-5< 1/2
> > 2x -10 < 1
es ist sinnvoll, sich das Benutzen der Zeichen [mm] $\Rightarrow$, $\Leftarrow$ [/mm] bzw. [mm] $\gdw$
[/mm]
zu bemächtigen. Aber gut, schauen wir mal drüber hinweg und interpretieren
wir das richtig!
> > -10 < 1 -2x
> > -11 < -2x
> > 11/2 > x
>
> > x-5 [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x < 11/2
> > x [mm]\ge[/mm] 5 [mm]\wedge[/mm] x < 11/2
>
> > 5 [mm]\le[/mm] x < 11/2
Im Falle $x [mm] \ge [/mm] 5$ ist also die Ungleichung gleichwertig mit $x < [mm] 11/2\,.$ [/mm] Hier ist
also
[mm] $\IL_{1. Fall}=[5,\;11/2[$
[/mm]
> >
> > 2. Fall
>
> >
> > x - 5 < 0
>
> >
> > -(x -5) < 1/2
> > -x+5 < 1/2
> > -2x +10 < 1
> > 9 < 2x
> > 9/2 < x
> >
> > x - 5 < 0 [mm]\wedge[/mm] x > 9/2
> > x < 5 [mm]\wedge[/mm] x > 9/2
Im Falle $x < [mm] 5\,$ [/mm] ist die Ungleichung äquivalent zu $x > [mm] 9/2\,,$ [/mm] es ist also
[mm] $\IL_{2. Fall}=]9/2,\;5[\,.$
[/mm]
> Jetzt habe ich alle Schnittpkt., rund um 5, aber nur nicht
> 5. Ist das ein Denkfehler?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
[mm] $\IL$ [/mm] = [mm] "$\IL_{alle\;Faelle}$" [/mm] = [mm] $\IL_{1.Fall}$ $\cup$ $\IL_{2.Fall}$ [/mm] = [mm] $[5,\;11/2[$ $\cup$ $]9/2,\;5[$ [/mm] = [mm] $]9/2,\;5[$ $\cup$ $\red{[\,}5,\;11/2[$ [/mm] = [mm] $]9/2,\;11/2[$
[/mm]
Sieht doch gut aus!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:09 Mi 29.10.2014 | | Autor: | xOx |
Na ja, meine Frage bezieht sich darauf, dass x < 5 (alles das kleiner als 5 ist) und dann 5 [mm] \le [/mm] x (alles das größer oder gleich 5 ist).
Geht das einfach so über? Also der verlauf von x.
Sry, ist bestimmt eine komische Frage. Mein Kopf kann sonst keine andere Verbindung herstellen.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Mi 29.10.2014 | | Autor: | chrisno |
Es geht nur darum, den Fall x = 5 nicht auszulassen. Du könntest ihn auch ganz abtrennen und einzeln betrachten. Der Betrag wird dann gerade Null.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Mi 29.10.2014 | | Autor: | xOx |
Ja, soweit ist mir das aus dieser Fkt. nun auch klar.
Nur aus der Lösung ergibt sich 5 nicht aus beiden Lösungsmengen. Ist das egal? Bzw. wie gesagt einmal 5 kleiner gleich und dann kleiner als 5.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mi 29.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, soweit ist mir das aus dieser Fkt. nun auch klar.
>
> Nur aus der Lösung ergibt sich 5 nicht aus beiden
> Lösungsmengen. Ist das egal? Bzw. wie gesagt einmal 5
> kleiner gleich und dann kleiner als 5.
Marcel hat geschrieben:
$ [mm] \IL [/mm] $ = "$ [mm] \IL_{alle\;Faelle} [/mm] $" = $ [mm] \IL_{1.Fall} [/mm] $ $ [mm] \cup [/mm] $ $ [mm] \IL_{2.Fall} [/mm] $ = $ [mm] [5,\;11/2[ [/mm] $ $ [mm] \cup [/mm] $ $ [mm] ]9/2,\;5[ [/mm] $ = $ [mm] ]9/2,\;5[ [/mm] $ $ [mm] \cup [/mm] $ $ [mm] \red{[\,}5,\;11/2[ [/mm] $ = $ [mm] ]9/2,\;11/2[ [/mm] $
Es ist doch 5 [mm] \in \IL [/mm] !!
FRED
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, soweit ist mir das aus dieser Fkt. nun auch klar.
>
> Nur aus der Lösung ergibt sich 5 nicht aus beiden
> Lösungsmengen. Ist das egal? Bzw. wie gesagt einmal 5
> kleiner gleich und dann kleiner als 5.
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ bedeutet: $x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in B\,.$
[/mm]
Die Lösungsmenge der einzelnen Fälle werden VEREINIGT, nicht(!) geschnitten.
(Fred hat's ja nochmal zitiert!).
"Innerhalb" eines Falles hast Du "Schnitte", denn wenn Du in einem Fall
etwa stets die Bedingung annimmst, dass $x < [mm] 5\,$ [/mm] ist, dann gilt sie während
dieses Falles "immer simultan".
Mach' Dir das klar!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen lieben Dank! Jetzt verstehe ich.
>
> Leider kann ich es nicht umsetzen. Bei mir kommt in beiden
> Fällen raus, dass es eine leere Menge ist. /: Ich denke
> nicht, dass das korrekt ist.
>
> Bitte um nochmalige Hilfe.
Abakus hat Dir Deine Fehler ja gut erklärt. Hier noch ein anderer Tipp:
Du suchst alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit
$|x-5| < [mm] 1/2\,.$
[/mm]
Dazu kann man sich wunderbar
1. Den Graphen zweier Funktionen skizzieren und damit arbeiten...
oder
2. Sogar nur den Graphen einer einzigen Funktion skizzieren, und dann
die gesuchten x ablesen.
Hast Du Ideen, was ich damit meine?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Mit "umgehen" meinte ich, dass ich bis jetzt noch keinen
> > Bezug dazu aufgebaut habe bzw. wir dieses Thema in der
> > Schule scheinbar ausgelassen haben.
> >
> > Nun weiß ich nicht, wie ich die Fkt.
> >
> > | x - 5| < 1/2
> >
> > beweisen kann.
> >
> > Vlt. hast du noch einen Rat.
> >
> > Danke
> Hallo,
> du hast vorhin als Antwort folgende Definition bekommen:
> [mm]|x| = \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}[/mm]
>
> Übertragen auf deine Aufgabe bedeutet das:
>
> [mm]|x-5| = \begin{cases} x-5, & \mbox{für } x-5 \ge 0 \\ -(x-5), & \mbox{für } x-5 < 0 \end{cases}[/mm]
>
> Wegen dieser fallweise verschiedenen Funktionsvorschrift
> musst du auch beim Lösen deiner Ungleichung die beiden
> Fälle
> [mm]x-5\ge 0[/mm] und [mm]x-5<0[/mm] getrennt behandeln.
diese Vorgehensweise ist *beim Arbeiten per Definitionem* natürlich angebracht,
und sollte auch geübt werden.
Hier kann man aber auch für $0 [mm] \le r\,,$ [/mm] $0 [mm] \le [/mm] s$
$r < s$ [mm] $\iff$ $r^2 [/mm] < [mm] s^2$
[/mm]
ausnutzen! (Dann braucht man noch sowas wie [mm] $|r|^2=r^2$...)
[/mm]
Zudem sollte man sich *mit Parabeln* auskennen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Mi 29.10.2014 | | Autor: | xOx |
Hallo!
Deine Angabe mit dem Graphen verstehe ich. Den haben wir letztens abgearbeitet.
Dass x= 5 und x= -5 auch y= 5.
Doch mit deiner Biimplikation kann ich im Moment leider noch nicht viel anfangen. Kannst du es mir erklären?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Deine Angabe mit dem Graphen verstehe ich. Den haben wir
> letztens abgearbeitet.
> Dass x= 5 und x= -5 auch y= 5.
>
> Doch mit deiner Biimplikation kann ich im Moment leider
> noch nicht viel anfangen. Kannst du es mir erklären?
Du meinst die Äquivalenz?
Okay, es gilt, weil durchweg $|x-5| [mm] \ge [/mm] 0$ und $1/2 [mm] \ge [/mm] 0$ ist
$|x-5| < 1/2$ [mm] $\iff$ $|x-5|^2 [/mm] < 1/4$ [mm] $\iff$ $(x-5^2) [/mm] < [mm] 1/4\,.$
[/mm]
D.h.
[mm] $\{x \in \IR:\;\;|x-5| < 1/2\}=\{x \in \IR: \;\;(x-5)^2 < 1/4\}\,.$
[/mm]
Einverstanden?
Nun gilt aber
[mm] $(x-5)^2 [/mm] < 1/4$
[mm] $\iff$ $x^2-10x+\frac{99}{4} [/mm] < 0$
[mm] $\iff$ $(x-\tfrac{9}{2})*(x-\tfrac{11}{2}) [/mm] < [mm] 0\,.$
[/mm]
Wie hilft das? Und was habe ich da wohl gemacht?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:38 Mi 29.10.2014 | | Autor: | xOx |
> Deine Angabe mit dem Graphen verstehe ich. Den haben wir
> letztens abgearbeitet.
> Dass x= 5 und x= -5 auch y= 5.
>
> Doch mit deiner Biimplikation kann ich im Moment leider
> noch nicht viel anfangen. Kannst du es mir erklären?
> Du meinst die Äquivalenz?
Haha...ja x'D
> Okay, es gilt, weil durchweg $ |x-5| [mm] \ge [/mm] 0 $ und $ 1/2 [mm] \ge [/mm] 0 $ ist
> $ |x-5| < 1/2 $ $ [mm] \iff [/mm] $ $ [mm] |x-5|^2 [/mm] < 1/4 $ $ [mm] \iff [/mm] $ $ [mm] (x-5^2) [/mm] < [mm] 1/4\,. [/mm] $
> D.h.
> $ [mm] \{x \in \IR:\;\;|x-5| < 1/2\}=\{x \in \IR: \;\;(x-5)^2 < 1/4\}\,. [/mm] $
> Einverstanden?
> Nun gilt aber
> $ [mm] (x-5)^2 [/mm] < 1/4 $
> $ [mm] \iff [/mm] $ $ [mm] x^2-10x+\frac{99}{4} [/mm] < 0 $
> $ [mm] \iff [/mm] $ $ [mm] (x-\tfrac{9}{2})\cdot{}(x-\tfrac{11}{2}) [/mm] < [mm] 0\,. [/mm] $
> Wie hilft das? Und was habe ich da wohl gemacht?
Du hast es nun Quadriert und umfunktioniert. Seeehr interessant. Ich muss, dass einmal auf mich wirken lassen. ^^
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Deine Angabe mit dem Graphen verstehe ich. Den haben wir
> > letztens abgearbeitet.
> > Dass x= 5 und x= -5 auch y= 5.
> >
> > Doch mit deiner Biimplikation kann ich im Moment leider
> > noch nicht viel anfangen. Kannst du es mir erklären?
>
> Du meinst die Äquivalenz? Haha...ja x'D
>
> Okay, es gilt, weil durchweg [mm]|x-5| \ge 0[/mm] und [mm]1/2 \ge 0[/mm] ist
>
> [mm]|x-5| < 1/2[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]|x-5|^2 < 1/4[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm](x-5^2) < 1/4\,.[/mm]
>
> D.h.
>
> [mm]\{x \in \IR:\;\;|x-5| < 1/2\}=\{x \in \IR: \;\;(x-5)^2 < 1/4\}\,.[/mm]
>
> Einverstanden?
>
> Nun gilt aber
>
> [mm](x-5)^2 < 1/4[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]x^2-10x+\frac{99}{4} < 0[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm](x-\tfrac{9}{2})\cdot{}(x-\tfrac{11}{2}) < 0\,.[/mm]
>
> Wie hilft das? Und was habe ich da wohl gemacht?
>
> Du hast es nun Quadriert und umfunktioniert. Seeehr
> interessant. Ich muss, dass einmal auf mich wirken lassen.
> ^^
es gibt den Zitierknopf, vor allem kann man dann das, was ich geschrieben
habe, von dem unterscheiden, was Du nun schreibst ^^
Ich habe da noch mehr gemacht: Ich habe einen Term der Form
[mm] $x^2+px+q\,$
[/mm]
"faktorisiert". Wie wohl?
Und zum Grund:
Der Grund ist, dass man für Zahlen [mm] $f_1,f_2 \in \IR$ [/mm] weiß:
[mm] $f_1*f_2$ $<\,$ $0\,$ $\iff$ (($f_1 [/mm] < 0$ und [mm] $f_2 [/mm] > 0$) oder [mm] ($f_1 [/mm] > 0$ und [mm] $f_2 [/mm] < 0$))
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe die "Frage" mal so editiert, dass man wieder erkennt, was ich
eigentlich geschrieben hatte!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Deine Angabe mit dem Graphen verstehe ich. Den haben wir
> letztens abgearbeitet.
> Dass x= 5 und x= -5 auch y= 5.
was meinst Du eigentlich damit?
Ich wollte folgendes vorschlagen:
1. Zeichne sowohl den Graphen von [mm] $f(x)=|x-5|\,$ [/mm] als auch den von [mm] $g(x)=1/2\,,$ [/mm] und
dann prüfe, wie Du damit die gesuchten [mm] $x\,$ [/mm] *lokalisieren* kannst. Das ist
übrigens auch immer gut, denn hier sieht man durchaus, wie man sinnvolle
Fallunterscheidungen machen kann.
2. Alternativ: Zeichne den Graphen von
[mm] $h(x)=\frac{1}{2}-|x-5|\,.$
[/mm]
Dort, wo die zugehörigen Funktionswerte echt oberhalb der [mm] $x\,$-Achse [/mm] liegen,
da... ?
Was Du da oben genau machen wolltest, das ist mir nicht klar...
Gruß,
Marcel
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