Absolute Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur absoluten Konvergenz.
Also der Unterschied zwischen absolut konvergenten Reihen und nicht absolut konvergenten Reihen ist doch, dass man bei einer absolut konvergenten Reihe die Summanden beliebig umordnen darf und immer noch den selben Grenzwert hat, oder?
Irgendwie versteh ich das nicht so ganz.
Summen sind doch kommutativ, ich kann meine Summanden beliebig vertauschen und das Ergebnis bleibt gleich.
Und Reihen sind doch auch Summen, nur halt welche mit unendlich vielen Gliedern.
Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass es Reihen geben soll, bei denen sich das Ergebnis ändert, je nach dem in welcher Reihenfolge man die Summanden anordnet.
Kann mir das vielleicht jemand erklären, das wär echt super!
Vielen Dank.
Nadine
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Hallo!
> Also der Unterschied zwischen absolut konvergenten Reihen
> und nicht absolut konvergenten Reihen ist doch, dass man
> bei einer absolut konvergenten Reihe die Summanden beliebig
> umordnen darf und immer noch den selben Grenzwert hat,
> oder?
Ja!
> Irgendwie versteh ich das nicht so ganz.
>
> Summen sind doch kommutativ, ich kann meine Summanden
> beliebig vertauschen und das Ergebnis bleibt gleich.
Ja, für endliche Summen ist das richtig, und auch, wenn nur endlich viele Reihenglieder negativ sind.
Es gibt einen wesentlichen Unterschied zwischen "Kommutativität" zwischen endlich vielen Summanden und "Kommutativität" zwischen unendlich vielen Summanden. Die Kommutativität zwischen endlich vielen Summanden erhältst du aus dem Körperaxiom der reellen Zahlen.
Eine Reihe ist prinzipiell ein Konstrukt der Form:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} :=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}$
[/mm]
in der rechten, endlichen Summe (bis n) darfst du immer vertauschen. Wenn du mit dem Induktionsprinzip die Kommutativität für jede beliebige Anzahl von Summanden folgerst, so folgerst du sie trotzdem nur für eine FEST vorgegebene Anzahl von Summanden. Wenn du aber zum Beispiel alle [mm] a_{2},a_{4},a_{6},... [/mm] in der Summe vertauschen willst, hast du keine obere Schranke für die Anzahl der Summanden, die du vertauschen willst.
Das klingt irgendwie komisch, denn hier will man mit der Anschauung argumentieren, dass man trotzdem vertauschen darf. Und diese Anschauung zerstört der Satz unten.
> Und Reihen sind doch auch Summen, nur halt welche mit
> unendlich vielen Gliedern.
>
> Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass es Reihen
> geben soll, bei denen sich das Ergebnis ändert, je nach
> dem in welcher Reihenfolge man die Summanden anordnet.
Nimm die Reihe
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k}$,
[/mm]
und schau dir mal den Riemannschen Umordnungssatz (http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Umordnungssatz) an. Damit kannst du durch Umordnen jeden beliebigen Grenzwert erhalten. Das Prinzip ist nicht so schwer. Es basiert darauf, dass die Summe der Beträge eben gerade nicht konvergiert, man also durch Aufsummieren von genuegend vielen 1/k hintereinander beliebig große Zahlen erhält.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Stefan.
> Nimm die Reihe
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k}[/mm],
>
> und schau dir mal den Riemannschen Umordnungssatz
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Umordnungssatz)
> an. Damit kannst du durch Umordnen jeden beliebigen
> Grenzwert erhalten. Das Prinzip ist nicht so schwer. Es
> basiert darauf, dass die Summe der Beträge eben gerade
> nicht konvergiert, man also durch Aufsummieren von
> genuegend vielen 1/k hintereinander beliebig große Zahlen
> erhält.
Also suche ich mir quasi einen Grenzwert, summiere erstmal bis dahin auf und dann summiere ich nur noch ganz ganz kleine Zahlen, so dass sich am Ergebnis quasi nix mehr ändert?
Aber wenn ich doch unendlich viele Summanden habe, kann es dann nicht passieren, dass ich noch einige "große" Summanden übrig habe, die ich noch nicht in der Summe drin habe, und dass, wenn ich die dann noch reinpacke, das Ergebnis wieder von meinem gewählten Grenzwert weggeht?
Ich verstehe auch nicht so ganz die Begründung des Satzes.
Also wir gehen ja von einer bedingt konvergenten Reihe a aus, und teilen diese dann in zwei Reihen p und q auf, nämlich eine nur mit den positiven Summanden (einschließlich 0) und eine mit den negativen Summanden.
Dann wird gesagt, dass beide bedingt divergent sind, also gegen [mm] -\infty [/mm] bzw. [mm] \infty [/mm] konvergieren.
Begründet wird das damit, dass wenn eine der beiden Reihen p und q konvergent wäre, dass es dann auch die andere wäre, weil sie sich aus Differenz von a und p bzw. q schreiben lässt.
Und wenn zwei Reihen konvergent sind, dann ist ja auch ihre Summe konvergent.
Allerdings steht dann da, dasss damit die Reihe a absolut konvergent wäre, was ich nicht verstehe. Wie kommt man darauf?
Und es wird noch gefolgert, dass es unendlich viele Glieder mit positivem Vorzeichen und unendlich viele Glieder mit negativem Vorzeichen gibt.
Ist das nicht irgendwie anhand der Definitionen von p und q klar?
Mir ist auch irgendwie nicht so ganz klar, was der Beweis, dass die Reihen p und q divergieren, damit zu tun hat, dass ich bei nicht absolut konvergenten Reihen immer eine Umordnung mit verschiedenen Grenzwerten finde.
LG Nadine
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Huhu Nadine 
halten wir vorweg erstmal fest, dass folgendes ebenfalls gilt:
[mm] $\summe a_n \text{ absolut konvergent } \gdw \summe |a_n| \text{ konvergent }$, [/mm] d.h. die Summe der Beträge konvergiert (hattet ihr bestimmt auch).
So, nun zu deiner Fragen:
> Allerdings steht dann da, dasss damit die Reihe a absolut
> konvergent wäre, was ich nicht verstehe. Wie kommt man
> darauf?
Nunja, für eine Reihe mit NUR nichtnegativen Gliedern gilt ja gerade
[mm] $\summe a_n [/mm] = [mm] \summe |a_n| [/mm] $ und damit folgt aus [mm] $\summe a_n$ [/mm] konvergent sofort, dass auch [mm] $\summe |a_n|$ [/mm] konvergiert und damit liegt absolute Konvergenz vor.
Für nur negative Glieder ist die Argumentation identisch, da ziehst du halt einfach nur das Vorzeichen aus der Summe raus und hast wieder eine Reihe mit positiven Gliedern, also:
[mm] $\summe b_n [/mm] = [mm] -\summe (-b_n)$ [/mm] und [mm] $\summe (-b_n)$ [/mm] ist wieder eine Reihe mit positiven Gliedern.
Damit ergibt sich dann sofort:
Sei a konvergent, aber NICHT absolut konvergent und $a = p + q$.
Sei nun p konvergent, dann folgt sofort mit obigem, dass p absolut konvergent ist (da es nur aus positiven Gliedern besteht).
Daraus folgt, dass $q = a - q$ ebenfalls konvergent und damit auch absolut konvergent (da q nur aus negativen Gliedern besteht).
Daraus würde jetzt folgen, dass $a = p + q$ absolut konvergent sein muss (als Summe absolut konvergenter Reihen), was aber ja eben gerade nicht gilt. Also ist die Annahme, dass p konvergent ist, falsch sein, somit gilt $p = [mm] \infty$.
[/mm]
> Und es wird noch gefolgert, dass es unendlich viele Glieder mit positivem Vorzeichen und unendlich viele Glieder mit negativem Vorzeichen gibt.
> Ist das nicht irgendwie anhand der Definitionen von p und q klar?
Naja, erstmal ist ja nur gesagt, das p die Summe aller positiven Glieder und q die Summe aller negativen Folgenglieder ist, die können DA ja erstmal noch endlich sein.
Da wir aber eben gezeigt haben, dass $p = [mm] \infty$ [/mm] und $q = [mm] -\infty$ [/mm] gilt, MUSS es unendliche viele positive und negative Folgenglieder geben (sonst wären die Summen endlich!).
> Mir ist auch irgendwie nicht so ganz klar, was der Beweis, dass die Reihen p und q divergieren, damit zu tun hat, dass ich bei nicht absolut konvergenten Reihen immer eine Umordnung mit verschiedenen Grenzwerten finde.
Ok, dann schauen wir mal.
Nehmen wir uns ein $s [mm] \in \IR$, [/mm] da $p = [mm] \infty$ [/mm] gilt, gibt es also ein [mm] $n\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $p_{n-1} [/mm] < s, [mm] p_n \ge [/mm] s$. D.h. wir addieren einfach solange positive Folgenglieder auf, bis wir s erreichen oder überschreiten
Nun ziehen wir solange negative Folgenglieder ab, bis wir s wieder unterschreiten.
Generell sagt uns ja niemand, dass wir so jemals wieder kleiner als s werden, das geht nur, weil $q = [mm] -\infty$ [/mm] gilt, d.h. wenn wir lange genug negative Folgenglieder aufsummieren würden, kämen wir irgendwann bei [mm] $-\infty$ [/mm] "an" und unterschreiten somit jede relle Zahl und damit auch s!
Nun addieren wir wieder positive Zahlen bis wir s überschreiten usw usw.
Da unsere Folge eine Nullfolge bildet (warum?), werden alle Folgenglieder immer kleiner (um genau zu sein kleiner als jedes [mm] $\varepsilon [/mm] >0$) und damit der Abstand zu s immer kleiner als jedes [mm] $\varepsilon_s [/mm] >0$, d.h. s ist Grenzwert unser konstruierten Reihe
Ich hoffe du siehst jetzt ein wenig klarer
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Gono.
> Ok, dann schauen wir mal.
> Nehmen wir uns ein [mm]s \in \IR[/mm], da [mm]p = \infty[/mm] gilt, gibt es
> also ein [mm]n\in\IN[/mm], so dass [mm]p_{n-1} < s, p_n \ge s[/mm]. D.h. wir
> addieren einfach solange positive Folgenglieder auf, bis
> wir s erreichen oder überschreiten
>
> Nun ziehen wir solange negative Folgenglieder ab, bis wir s
> wieder unterschreiten.
> Generell sagt uns ja niemand, dass wir so jemals wieder
> kleiner als s werden, das geht nur, weil [mm]q = -\infty[/mm] gilt,
> d.h. wenn wir lange genug negative Folgenglieder
> aufsummieren würden, kämen wir irgendwann bei [mm]-\infty[/mm]
> "an" und unterschreiten somit jede relle Zahl und damit
> auch s!
>
> Nun addieren wir wieder positive Zahlen bis wir s
> überschreiten usw usw.
> Da unsere Folge eine Nullfolge bildet (warum?), werden
> alle Folgenglieder immer kleiner (um genau zu sein kleiner
> als jedes [mm]\varepsilon >0[/mm]) und damit der Abstand zu s immer
> kleiner als jedes [mm]\varepsilon_s >0[/mm], d.h. s ist Grenzwert
> unser konstruierten Reihe
Unsere Folge [mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge, weil die Reihe [mm] \summe_{}^{}a_n [/mm] konvergiert, und dafür ist notwendige Bedingung, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist, oder?
Aber wenn ich umordne, dann summiere ich meine Folgenglieder ja nicht mehr in der "richtigen" Reihenfolge auf (also zuerst die großen Folgenglieder [mm] a_1,a_2,a_3,... [/mm] und dann die immer kleiner werdenden a_1000,a_10001,a_1002,... ).
Wenn ich z.B. mit den ganz ganz kleinen Folgengliedern anfange, dann bleiben am Ende nur noch die großen Folgenglieder zum aufsummieren über und dann würde nie unter ein [mm] \epsilon>0 [/mm] kommen...
LG Nadine
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Huhu,
> Unsere Folge [mm](a_n)[/mm] ist eine Nullfolge, weil die Reihe
> [mm]\summe_{}^{}a_n[/mm] konvergiert, und dafür ist notwendige
> Bedingung, dass die Folge [mm](a_n)[/mm] eine Nullfolge ist, oder?
genau
> Aber wenn ich umordne, dann summiere ich meine
> Folgenglieder ja nicht mehr in der "richtigen" Reihenfolge
> auf (also zuerst die großen Folgenglieder [mm]a_1,a_2,a_3,...[/mm]
> und dann die immer kleiner werdenden
> a_1000,a_10001,a_1002,... ).
Jein. Aber wir behalten ja die Reihenfolge bei den positiven und negativen Teilen bei.
D.h erst kommen die "großen" positiven Teile, dann die "großen" negativen.... dann kommen kleinere postive, dann kleinerer negative etc.
> Wenn ich z.B. mit den ganz ganz kleinen Folgengliedern
> anfange, dann bleiben am Ende nur noch die großen
> Folgenglieder zum aufsummieren über und dann würde nie
> unter ein [mm]\epsilon>0[/mm] kommen...
Doch. Denn egal wo du anfängt, nehmen wir bspw. mal das 100000000000000000000000000-te Folgenglied.
Irgendwann sind die 9999999999999999999999999 (endlichen!) Folgenglieder davor aufgebraucht und dir bleibt nichts anderes übrig als immer weiter nach "hinten" in der Folge zu laufen und damit gegen Null zu laufen
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Gono!
> > Aber wenn ich umordne, dann summiere ich meine
> > Folgenglieder ja nicht mehr in der "richtigen" Reihenfolge
> > auf (also zuerst die großen Folgenglieder [mm]a_1,a_2,a_3,...[/mm]
> > und dann die immer kleiner werdenden
> > a_1000,a_10001,a_1002,... ).
>
> Jein. Aber wir behalten ja die Reihenfolge bei den
> positiven und negativen Teilen bei.
> D.h erst kommen die "großen" positiven Teile, dann die
> "großen" negativen.... dann kommen kleinere postive, dann
> kleinerer negative etc.
Achso, ok.
> > Wenn ich z.B. mit den ganz ganz kleinen Folgengliedern
> > anfange, dann bleiben am Ende nur noch die großen
> > Folgenglieder zum aufsummieren über und dann würde nie
> > unter ein [mm]\epsilon>0[/mm] kommen...
>
> Doch. Denn egal wo du anfängt, nehmen wir bspw. mal das
> 100000000000000000000000000-te Folgenglied.
> Irgendwann sind die 9999999999999999999999999 (endlichen!)
> Folgenglieder davor aufgebraucht und dir bleibt nichts
> anderes übrig als immer weiter nach "hinten" in der Folge
> zu laufen und damit gegen Null zu laufen
Ah, achso, ja gut, dann versteh ich das.
Danke für deine Hilfe
LG Nadine
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