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| Aufgabe | | Zeige, mit Hilfe des Quotientenkriteriums, für die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n} [/mm] wobei z [mm] \in [/mm] C , dass sie absolut konvergent ist, also |z| < 1 gilt. |
Hallihallo
Ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht recht weiter. Ich habe die Reihe mal in das QK eingetragen, sodass
[mm]\bruch{\bruch{\left|z^{n+1}\right|}{\left| n+1\right|}}{\bruch{{\left| z^{n}\right|}}{{\left| n\right|}}}
[/mm]
[mm] = \bruch{n}{z^{n}} * \bruch{z^{n+1}}{n+1}
[/mm]
...aber was dann? Ich sehe überhaut keine Möglichkeit, wie ich am Ende nur auf [mm]\left| z \right| < 1[/mm] kommen soll.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Zeige, mit Hilfe des Quotientenkriteriums, für die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n} [/mm] wobei z [mm]\in[/mm] C , dass
> sie absolut konvergent ist, also |z| < 1 gilt.
> Hallihallo
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht recht weiter.
> Ich habe die Reihe mal in das QK eingetragen, sodass
> [mm]\bruch{\bruch{\left|z^{n+1}\right|}{\left| n+1\right|}}{\bruch{{\left| z^{n}\right|}}{{\left| n\right|}}}
[/mm]
>
>
> [mm]= \bruch{n}{z^{n}} * \bruch{z^{n+1}}{n+1}
[/mm]
Hier fehlen die Beträge!
> ...aber was dann? Ich sehe überhaut keine Möglichkeit,
> wie ich am Ende nur auf [mm]\left| z \right| < 1[/mm] kommen soll.
Es gilt:
[mm] |\bruch{n}{z^{n}}*(\bruch{z^{n+1}}{n+1})|=|\bruch{n}{n+1}|*|z|
[/mm]
Was muss nun gelten, damit das Quotientenkriterium erfüllt ist?
> Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
DieAcht
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Sorry, die Betragsstriche hab ich nur vergessen.
Wie kommst du denn auf $ [mm] |\bruch{n}{n+1}|\cdot{}|z| [/mm] $ ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
> Sorry, die Betragsstriche hab ich nur vergessen.
Macht nichts.
> Wie kommst du denn auf [mm]|\bruch{n}{n+1}|\cdot{}|z|[/mm] ?
Nach Potenzgesetzen gilt:
[mm] \frac{z^{n+1}}{z^n}=z^{n+1-n}=z
[/mm]
- oder anders:
[mm] \frac{z^{n+1}}{z^n}=\frac{z^n*z}{z^n}=z
[/mm]
Klarer?
Gruß
DieAcht
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Ah super, danke! :D
Dh $ [mm] |\bruch{n}{n+1}| [/mm] $ geht gegen 1
=> $ 1*|z| $
also bleibt es, dass wenn $ q < 1$ die Reihe konvergiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ah super, danke! :D
>
> Dh [mm]|\bruch{n}{n+1}|[/mm] geht gegen 1
>
> => [mm]1*|z|[/mm]
>
> also bleibt es, dass wenn [mm]q < 1[/mm] die Reihe konvergiert?
Ja, für $|z|<1$ existiert ein [mm] \theta\in(0,1) [/mm] mit [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}|\le\theta [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Mi 22.01.2014 | | Autor: | Akkulader |
Danke ! :)
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