Absolutes Maximum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Di 22.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das absolute Maximum der Funktion [mm] $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $f(x):=xy(x^2-y-2)$
[/mm]
auf der Menge
[mm] $G:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| x\geq 0, y\geq x^2-2\}$ [/mm] |
Hi,
ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht so recht voran.
Ich habe den Gradienten und möchte die kritischen Punkte bestimmen. Danach wollte ich dann erstmal gucken in wie weit sie mit den Bedinungen zusammen passen, aber irgendwie kriege ich das gerade nicht hin...
Mein Gradient sieht wie folgt aus:
[mm] $\operatorname{gradient}\, f(x)=\begin{pmatrix}3x^2y-y^2-2y\\-2xy+x^2-2x\end{pmatrix}$
[/mm]
Setze ich nun die erste Komponente gleich Null erhalte ich
[mm] $y(3x^2-y-2)=0$
[/mm]
[mm] $y=0\vee y=3x^2-2$
[/mm]
Setze ich die zweite Komponente gleich Null, komme ich auf
[mm] $x(x^2-2-2y)=0$
[/mm]
[mm] $x=0\vee x^2-2-2y=0$
[/mm]
Setze ich hier y ein, so komme ich auf
[mm] $x=\sqrt{\frac{2}{5}}$
[/mm]
die negative Lösung fällt ja weg.
Für diesen x-Wert ist [mm] $y=-\frac{4}{5}$
[/mm]
und [mm] $(\sqrt{\frac{2}{5}}, -\frac{4}{5})\in [/mm] G$
Wofür sich dann auch direkt das Maximum der Funktion ergibt.
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> Bestimmen Sie das absolute Maximum der Funktion
> [mm]f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]f(x):=xy(x^2-y-2)[/mm]
>
> auf der Menge
>
> [mm]G:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| x\geq 0, y\geq x^2-2\}[/mm]
> Hi,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht so recht
> voran.
> Ich habe den Gradienten und möchte die kritischen Punkte
> bestimmen. Danach wollte ich dann erstmal gucken in wie
> weit sie mit den Bedinungen zusammen passen, aber irgendwie
> kriege ich das gerade nicht hin...
>
> Mein Gradient sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\operatorname{gradient}\, f(x)=\begin{pmatrix}3x^2y-y^2-2y\\-2xy+x^2-2x\end{pmatrix}[/mm]
>
> Setze ich nun die erste Komponente gleich Null erhalte ich
>
> [mm]y(3x^2-y-2)=0[/mm]
>
> [mm]y=0\vee y=3x^2-2[/mm]
>
> Setze ich die zweite Komponente gleich Null, komme ich auf
>
> [mm]x(x^2-2-2y)=0[/mm]
>
> [mm]x=0\vee x^2-2-2y=0[/mm]
>
> Setze ich hier y ein, so komme ich auf
>
> [mm]x=\sqrt{\frac{2}{5}}[/mm]
>
> die negative Lösung fällt ja weg.
>
> Für diesen x-Wert ist [mm]y=-\frac{4}{5}[/mm]
>
> und [mm](\sqrt{\frac{2}{5}}, -\frac{4}{5})\in G[/mm]
>
> Wofür sich dann auch direkt das Maximum der Funktion
> ergibt.
>
Hallo YuSul
mit deiner Rechnung hast du zwar einen Punkt [mm] P(x_1|y_1)
[/mm]
ermittelt, in welchem die Funktion ein lokales Maximum
annimmt. Dieser Punkt liegt auch innerhalb des angegebenen
Gebietes G. Allerdings hast du nicht einmal den Wert dieses
(lokalen !) Maximums angegeben.
Daraus darf aber nicht geschlossen werden, dass der
Funktionswert im Punkt P tatsächlich der größte Wert
ist, den die Funktion f über dem Gebiet G annimmt.
Auch bei Berücksichtigung der Stetigkeit der Funktion f
bleibt es dir nicht erspart, auch die Werte der Funktion
am Rand von G zu betrachten.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 22.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke, das ist einleuchtend. Ja den Funktionswert hätte ich angeben sollen, da kommt nur was sehr unschönes raus.
Ist die Menge G überhaupt kompakt? Ich würde sagen nein, denn sie ist ja nicht beschränkt. Jedenfalls gibt es nur eine untere Schranke und stetige Funktionen nehmen ja erstmal nur auf kompakten Mengen Minimum und Maximum an.
Was genau bildet den Rand meiner Menge?
Muss ich dann die Funktion für $x=0$ und [mm] $y=x^2-2$ [/mm] betrachten?
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> Danke, das ist einleuchtend. Ja den Funktionswert hätte
> ich angeben sollen, da kommt nur was sehr unschönes raus.
>
> Ist die Menge G überhaupt kompakt? Ich würde sagen nein,
> denn sie ist ja nicht beschränkt. Jedenfalls gibt es nur
> eine untere Schranke und stetige Funktionen nehmen ja
> erstmal nur auf kompakten Mengen Minimum und Maximum an. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Halt ! So ausgedrückt stimmt dies natürlich nicht.
Falls die Menge G (und auch deren Rand) kompakt
wäre, dann könnte man mit Sicherheit ohne weitere
Rechnung sagen, dass die stetige Funktion f auf G
ein Minimum und ein Maximum haben muss.
Da nun aber die vorliegende Menge G nicht kompakt
ist, bleibt das Spiel weiterhin ganz offen. Es könnte
sein, dass weder Maximum noch Minimum existieren,
Maximum aber kein Minimum, Minimum aber kein
Maximum oder Maximum und Minimum. Man muss
also definitiv das Funktionsverhalten am Rand [mm] $\delta [/mm] G$
untersuchen.
> Was genau bildet den Rand meiner Menge?
> Muss ich dann die Funktion für [mm]x=0[/mm] und [mm]y=x^2-2[/mm] betrachten?
Zeichne dir die Menge auf ! Der Rand besteht aus einer
auf der y-Achse liegenden Halbgeraden (Strahl) und einer
Halbparabel.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Di 22.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich habe mir die Funktion bei Wolframalpha plotten lassen.
Aber was genau ist hier nun der wichtige Rand, den ich bezüglich der Menge G betrachten muss.
Muss ich, wie gesagt, x=0 und [mm] y=x^2-2 [/mm] betrachten?
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> Ich habe mir die Funktion bei Wolframalpha plotten lassen.
> Aber was genau ist hier nun der wichtige Rand, den ich
> bezüglich der Menge G betrachten muss.
> Muss ich, wie gesagt, x=0 und [mm]y=x^2-2[/mm] betrachten?
Ja, und zwar $\ x=0$ für [mm] y\ge-2
[/mm]
und [mm] y=x^2-2 [/mm] für [mm] x\ge0
[/mm]
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Bestimmen Sie das absolute Maximum der Funktion
> [mm]f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]f(x):=xy(x^2-y-2)[/mm]
>
> auf der Menge
>
> [mm]G:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| x\geq 0, y\geq x^2-2\}[/mm]
> Hi,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht so recht
> voran.
> Ich habe den Gradienten und möchte die kritischen Punkte
> bestimmen. Danach wollte ich dann erstmal gucken in wie
> weit sie mit den Bedinungen zusammen passen, aber irgendwie
> kriege ich das gerade nicht hin...
>
> Mein Gradient sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\operatorname{gradient}\, f(x)=\begin{pmatrix}3x^2y-y^2-2y\\-2xy+x^2-2x\end{pmatrix}[/mm]
Tippfehler
[mm]\begin{pmatrix}3x^2y-y^2-2y\\-2xy+x^\red{3}-2x\end{pmatrix}[/mm],
aber du hast mit dem richtigen Ausdruck weiter gerechnet.
>
> Setze ich nun die erste Komponente gleich Null erhalte ich
>
> [mm]y(3x^2-y-2)=0[/mm]
>
> [mm]y=0\vee y=3x^2-2[/mm]
>
> Setze ich die zweite Komponente gleich Null, komme ich auf
>
> [mm]x(x^2-2-2y)=0[/mm]
>
> [mm]x=0\vee x^2-2-2y=0[/mm]
>
> Setze ich hier y ein, so komme ich auf
>
> [mm]x=\sqrt{\frac{2}{5}}[/mm]
>
> die negative Lösung fällt ja weg.
weil negative x-Werte vin der Grundmenge ausgeschlossen sind, ja.
>
> Für diesen x-Wert ist [mm]y=-\frac{4}{5}[/mm]
und der geht sich gerade noch in der Grundmenge aus
> und [mm](\sqrt{\frac{2}{5}}, -\frac{4}{5})\in G[/mm]
>
> Wofür sich dann auch direkt das Maximum der Funktion
> ergibt.
?? Woraus schließt du das jetzt? Das muss doch erst auf die bekannte Art und Weise überprüft werden, obs ein Extremum ist und welches.
Und um die Untersuchung des Randes wirst du jetzt auch nicht herum kommen.
Außerdem hast du noch weitere 4 kritische Punkte unterschlagen (für $x=0$ bzw. $y=0$) von denen nur einer wegen negativer x-Koordinate ausscheidet.
Also, auf dich wartet noch jede Menge Arbeit 
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Di 22.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich hatte diese Punkte nicht hingeschrieben, da ich dachte sie wären für die Aufgabe erstmal nicht von belang. Berechnet habe ich sie natürlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ich hatte diese Punkte nicht hingeschrieben, da ich dachte
> sie wären für die Aufgabe erstmal nicht von belang.
> Berechnet habe ich sie natürlich.
Sie sind auch nicht von Belang, wenn es um das absolute Maximum geht, aber das muss begründet werden. In diesem Fall einfach, weil der Funktionwert für $x=0 [mm] \vee [/mm] y=0$ Null ist, aber [mm] $f\left({\wurzel\frac{2}{5};-\frac{4}{5}}\right)=\frac{16*\wurzel{10}}{125}>0$ [/mm] ist. Das macht aber nur Sinn, wenn man auch prüft, dass hier überhaupt ein Extremum vorliegt.
Gruß RMix
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