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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Abstand Punkt-Gerade
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Abstand Punkt-Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 So 10.09.2006
Autor: JR87

Aufgabe
g mit [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2}+t \vektor{-1 \\ 3} [/mm]
P(3/6)

Bestimmen sie eine Gerade die durch Punkt P senkrecht zu g verläuft

So das ganze mache ich ja nur mit dem Richtungsverktor also [mm] \vektor{-1 \\ 3} [/mm]
Gleichung: -x+3y=0
Um die Gleichung zu erfüllen nehme ich jetzt z.B. die Punkte 9 und 3.
So jetzt bekomme ich die Gerade:

[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 6}+t\vektor{9 \\ 3} [/mm]

oder ebend

[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 6}+t\vektor{6 \\ -3} [/mm]

Also sozusagen ich bin mir jetzt unsicher ob ich das mit den Punkten 9 und 3 als Richtungsvektor stehen lassen kann oder ob ich die Zweipunkteform nutzen muss.

        
Bezug
Abstand Punkt-Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 So 10.09.2006
Autor: Leopold_Gast

Deine erste Geradengleichung stimmt. Die Herleitung kann ich allerdings nicht nachvollziehen.

Worum geht es?

Der neue Richtungsvektor muß senkrecht auf dem alten

[mm]\begin{pmatrix} - 1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]

stehen. Da muß man nur die Koordinaten vertauschen und bei einer der Koordinaten das Vorzeichen ändern, etwa

[mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]

Warum ist das so? Einfach, weil das Skalarprodukt 0 ergibt:

[mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = 0[/mm]

Also ist

[mm]\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]

eine mögliche Geradengleichung.

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Bezug
Abstand Punkt-Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 So 10.09.2006
Autor: JR87

Ok dann ist das schonmal richtig aber die Frage bei der Aufgabe ist das ich den Abstand ziwschen der Gerade und den Punkt berechnen soll. Mein Problem ist nur das ich jetzt ein anderes Ergebnis rausbekomme also in der Schule. Ich schreib mal meine weiteren Punkte auf und ihr könnt mir ja sagen wo der Fehler liegt

Also nachdem ich die Gerade bestimmt habe setze ich beide gleich

I.1-t = 3+9s
II.2+3t=6+3s
_______________
5        =15+30s
30s    = -10
    s    [mm] =-\bruch{1}{3} [/mm]

Eingesetzt ergibt sich daraus dann der Schnittpunkt S(0/5)

So jetzt berechne ich noch den Abstand zwischen dem gegebenen Punkt P und dem soebend errechneten Punkt S

[mm] \overline{AB}= \wurzel{3²+0²} [/mm] + [mm] \wurzel{6² - 5²} [/mm]
[mm] \overline{AB}=\wurzel{20} [/mm]
[mm] \overline{AB} \approx [/mm] 4,47

So ich der Schule hab ich aber
[mm] \overline{AB}=\wurzel{10} [/mm]
[mm] \overline{AB} \approx [/mm] 3,16

Was ist denn nun richtig?


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Abstand Punkt-Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 So 10.09.2006
Autor: riwe

wenn du die richtige formel benutz, stimmt dein ergebnis mit dem aus der schule überein
[mm] d(PQ)=\sqrt{(3-0)^{2}+(6-1)^{2}} [/mm]

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Abstand Punkt-Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 So 10.09.2006
Autor: JR87

Das verstehe ich jetzt aber nicht richtig. Der Schnittpunkt den ich berechnet habe war doch 0 und 5 und nicht 0 und 1. Oder wie soll ich deine Gleichung deuten? Auch wenn ich deine Gleichung zusammenrechne komme ich nicht auf [mm] \wurzel{10} [/mm]

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Abstand Punkt-Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 So 10.09.2006
Autor: Leopold_Gast

Richtig. Der Schnittpunkt ist (0|5).
Das ist einfach ein Zahlendreher:

fälschlich 6-1=5 statt richtig 6-5=1

Bezug
                                        
Bezug
Abstand Punkt-Gerade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 So 10.09.2006
Autor: JR87

OK dann habe ich's verstanden, danke

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