Abstand Punkt - Ebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Julian |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei Ebenen im [mm] \IR_{3}:
[/mm]
[mm] E_{1} [/mm] = x + y + z = 2 und [mm] E_{2} [/mm] = x + 2y - z = 1
Gesucht ist der Punkt [mm] P_{s} [/mm] = [mm] (x_{s}; y_{s}; z_{s}) [/mm] auf der Schnittgeraden von [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2}, [/mm] der von den Ebenen [mm] E_{2} [/mm] und [mm] E_{4} [/mm] den gleichen Abstand hat:
[mm] E_{3}: \vec{n}_{3} [/mm] * [mm] (\vec{r} [/mm] - [mm] \vec{r}_{3}) [/mm] = 0; [mm] \vec{n}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}, \vec{r}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_{4}: \vec{n}_{4} [/mm] * [mm] (\vec{r} [/mm] - [mm] \vec{r}_{5}) [/mm] = 0; [mm] \vec{n}_{5} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}, \vec{r}_{5} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0} [/mm] |
Hallo ihr!
Ich bin am verzeifeln mit dieser Aufgabe.
Mein Ansatz:
1. Schnittgerade bestimmen: g: [mm] \vektor{1,5 \\ 0 \\ 0,5} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{-1,5 \\ 1 \\ 0,5}
[/mm]
2. Schnittgerade in Formel für Abstand Punkt - Ebene einsetzen (d = [mm] |\vec{n}_{1} [/mm] * [mm] (\vec{r}_{Q} [/mm] - [mm] \vec{r}_{E})|, [/mm] wobei [mm] \vec{n}_{1} [/mm] die Normale der Ebene ist, [mm] \vec{r}_{Q} [/mm] der Richtungsvektor des Punktes Q und [mm] \vec{r}_{E} [/mm] der Richtungsvektor der Ebene)
3. Das Einsetzen aus 2. macht man zwei mal, für jede Ebene und
4. setzt diese dann gleich, um ein [mm] \lambda [/mm] zu bestimmen und dann den Punkt auszurechnen.
Leider ergibt sich beim Gleichsetzen bei mir immer so etwas wie 0 = 4..
Hoffe mir kann einer helfen!
Lieben Gruß,
Julian
Nachtrag: Wir haben nun doch ein Ergebnis, was sogar stimmt. Und zwar haben wir für beide Abstände die Formel d (von oben) = 0 gesetzt und dann jeweils ein [mm] \lambda [/mm] ausgerechnet, dann die Mitte zwischen den beiden [mm] \lambda [/mm] ausgerechnet und dann in die Geradengleichung eingesetzt, als Ergebnis für den Punkt kommt dann raus: [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Dies ist auch das was rauskommen sollte.. Geht es denn noch einfacher das auszurechnen?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Sa 02.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> 3. Das Einsetzen aus 2. macht man zwei mal, für jede Ebene
> und
Bis hierher richtig.
Nachtrag: Der Abstand ist eigentlich [m]\sqrt{<\bruch{n}{||n||},p-r>^2}[/m], aber die Norm bei beiden Vektoren ist gleich. Für das Quadrat siehe unten.
> 4. setzt diese dann gleich, um ein [mm]\lambda[/mm] zu bestimmen
> und dann den Punkt auszurechnen.
Ich habe das mal nachgerechnet, und ich erhalte auch ein falsches Ergebnis. Aber wenn man sich das aufzeichnet, wird einem klar warum: Der Abstand von der Ebene ist in Wahrheit ja blos [m]\sqrt{^2}[/m] - also sie sind bis auf Vorzeichen gleich. Und damit eine Lösung entsteht, muss der Punkt zwischen den Ebenen liegen. Die Normalenvektoren sind jetzt so orientiert, das die Vorzeichen sich unterscheiden - also ist die Gleichung in Wahrheit hier [m]1.Gl = -1 * 2.Gl[/m], i.a. [m]1.Gl=\pm*2.Gl[/m]. Der Abstandsvektor hat hier jeweisl unterschiedliche Richtung - zeichen es mal auf.
> Dies ist auch das was rauskommen sollte.. Geht es denn noch
> einfacher das auszurechnen?
Mache mal das obige - dann erhälst du die Lösung.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Julian |
Hallo SEcki!
Vielen Dank für den Hinweis.
So funktioniert das natürlich.
Aber mir ist ehrlich gesagt noch nicht ganz klar, warum die zweite Gleichung *(-1) gerechnet werden muss - und das trotz Zeichnung.
Kannst du versuchen mir das nochmal etwas genauer zu erklären, oder mit anderen Worten, warum das so ist?
Vielen Dank schon mal!
Lieben Gruß,
Julian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 So 03.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> So funktioniert das natürlich.
> Aber mir ist ehrlich gesagt noch nicht ganz klar, warum
> die zweite Gleichung *(-1) gerechnet werden muss - und das
> trotz Zeichnung.
Vom Punkt aus den Pfeil auf die zwei Ebenen - da erhälst du unterschiedliche Richtungen, da deine Normalvektoren gleich orientiert sind, erhälst du hier das Minuszeichen. Alternativ zeiche und berechne noch weitere Werte in der Zeichung.
Im Zweifel einfach rechnerisch verstehen, da der Absatnd eben der Betrag ist, und nicht das Skalarprodukt.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 03.02.2008 | | Autor: | Julian |
Klasse, das wars.
Vielen Dank nochmal!
Lieben Gruß,
Julian
|
|
|
|
