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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Abstand des Punktes A (0|7|3) von der Ebene E
[mm] 6x_1-2x_2-3x_3+1=0 [/mm] |
Die Aufgabe ist soweit eigentlich kein Problem.
Jedoch habe ich eine Frage denn ich bekomme für zwei Wege zweimal das selbe Ergebnis nur mit anderem Vorzeichen.
Also meine Vorgehensweise:
Erstmal den Normalenvektor bestimmt [mm] \vec{n}= \vektor{6 \\ -2 \\ -3}
[/mm]
Und daraus dann [mm] \vec{n_0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7} \vektor{6 \\ -2 \\ -3} [/mm] für die HNF
Wenn ich jetzt die Ebenengleichung nehmen :
[mm] 6x_1-2x_2-3x_3+1=0 [/mm] und mir hierraus noch einen Punkt suche z.B. B(1|0,5|2)
und das einsetze in die HNF (gleich mit dem Punkt A)
[mm] \bruch{1}{7} \vektor{6 \\ -2 \\ -3} [/mm] [ [mm] \vektor{0 \\ 7 \\ 3} -\vektor{1 \\0,5 \\ 2} [/mm] ] = d
komme ich auf d= [mm] -\bruch{22}{7}
[/mm]
Jetzt gibt es noch einen anderen Ansatz.
Hier geht man von folgendem aus :
[mm] -\bruch{6}{7}x_1+\bruch{2}{7}x_2+\bruch{3}{7}x_3-\bruch{1}{7}=0
[/mm]
Hier habe ich mich erstmal gefragt warum am Anfang [mm] -\bruch{6}{7} [/mm] steht und am ende ebenfalls eine negative Zahl , müssten diese nicht beide positiv sein ?
Aufjedenfall kommt man nach einsetzen des Punktes A in [mm] x_1 [/mm] etc. auf [mm] +\bruch{22}{7} [/mm]
Was stimmt da nun nicht ?
grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie den Abstand des Punktes A (0|7|3) von der
> Ebene E
> [mm]6x_1-2x_2-3x_3+1=0[/mm]
> Die Aufgabe ist soweit eigentlich kein Problem.
>
> Jedoch habe ich eine Frage denn ich bekomme für zwei Wege
> zweimal das selbe Ergebnis nur mit anderem Vorzeichen.
>
>
> Also meine Vorgehensweise:
>
> Erstmal den Normalenvektor bestimmt [mm]\vec{n}= \vektor{6 \\ -2 \\ -3}[/mm]
>
> Und daraus dann [mm]\vec{n_0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{7} \vektor{6 \\ -2 \\ -3}[/mm]
> für die HNF
>
>
> Wenn ich jetzt die Ebenengleichung nehmen :
> [mm]6x_1-2x_2-3x_3+1=0[/mm] und mir hierraus noch einen Punkt suche
> z.B. B(1|0,5|2)
>
> und das einsetze in die HNF (gleich mit dem Punkt A)
>
> [mm]\bruch{1}{7} \vektor{6 \\ -2 \\ -3}[/mm] [ [mm]\vektor{0 \\ 7 \\ 3} -\vektor{1 \\0,5 \\ 2}[/mm]
> ] = d
Hallo,
es gibt zwei Einheitsvektoren, die auf der Ebene senkrecht stehen: [mm]\bruch{1}{7} \vektor{6 \\ -2 \\ -3}[/mm] und [mm]\bruch{-1}{7} \vektor{6 \\ -2 \\ -3}[/mm] .
Da ein Abstand immer eine nichtnegative Zahl ist, sollest du zur Sicherheit gleich den Betrag verwenden.
Gruß Abakus
>
>
> komme ich auf d= [mm]-\bruch{22}{7}[/mm]
>
>
> Jetzt gibt es noch einen anderen Ansatz.
>
> Hier geht man von folgendem aus :
>
> [mm]-\bruch{6}{7}x_1+\bruch{2}{7}x_2+\bruch{3}{7}x_3-\bruch{1}{7}=0[/mm]
>
>
> Hier habe ich mich erstmal gefragt warum am Anfang
> [mm]-\bruch{6}{7}[/mm] steht und am ende ebenfalls eine negative
> Zahl , müssten diese nicht beide positiv sein ?
>
> Aufjedenfall kommt man nach einsetzen des Punktes A in [mm]x_1[/mm]
> etc. auf [mm]+\bruch{22}{7}[/mm]
>
>
> Was stimmt da nun nicht ?
>
> grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Aber man benötigt doch ein Vorzeichen um grundsätzlich sagen zu können auf welcher Seite der Ebene sich der Punkt A befindet ?
Ich dachte wenn der Abstand d<0 ist , befindet sich der Punkt A und der Ursprung auf der selben Seite ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Aber man benötigt doch ein Vorzeichen um grundsätzlich
> sagen zu können auf welcher Seite der Ebene sich der Punkt
> A befindet ?
Davon stand nichts in deiner zitierten Aufgabenstellung.
>
> Ich dachte wenn der Abstand d<0 ist , befindet sich der
> Punkt A und der Ursprung auf der selben Seite ?
>
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In der Lösung ist halt das positive Ergebnis angegeben. Und dahinter steht eben noch auf welcher Seite sich der Punkt befindet. Also auch wenn es nicht explizit in der Aufgabe stand , spielt es hier trotzdem eine Rolle.
Also muss ja entweder die Lösung falsch sein oder meine Rechnung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Di 09.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> In der Lösung ist halt das positive Ergebnis angegeben.
> Und dahinter steht eben noch auf welcher Seite sich der
> Punkt befindet. Also auch wenn es nicht explizit in der
> Aufgabe stand , spielt es hier trotzdem eine Rolle.
Puh, wenn'S nicht gefragt ist, kann'S ja trotzdem interessant sein, oder?
> Also muss ja entweder die Lösung falsch sein oder meine
> Rechnung.
Die sind schon beide richtig, allerdings ist, wenn man nach Abstan fragt eine nicht-negtaive Zahl gefragt, also deine Lösung, da negativ, falsch. Du hättest noch den Betrag nehmen müssen!
Ob zwei Punkte auf der gleichen Seite liegen, hängt daran ob ihr vorzeichenbehafteter Abstand das gleiche Vorzeichen haben. Dh ohne Kontext kann auf der gleiuchen Seite mit dem Ursprung sowohl positiv als auch negativ sein.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
Wenn Du das Skalarprodukt eines Punktes der Ebene mit einem Normalenvektor der Ebene echt positiv ist, so zeigt der Normalenvektor vom Ursprung auf die Ebene. Wenn Du diesen wählst, markiert ein positiver Wert einen Punkt, der vom Ursprung aus betrachtet hinter der Ebene liegt.
LG
gfm
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Aber es müsste doch trotzdem für die zwei Lösungswege das gleiche raus kommen oder nicht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 09.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber es müsste doch trotzdem für die zwei Lösungswege
> das gleiche raus kommen oder nicht ?
Wie schon mehrmals erwähnt - es gibt zwei Normalenvektoren. Die Lösung hängt von der Wahl dessen ab und verändert das Vorzeichen der Lösung.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> > Bestimmen Sie den Abstand des Punktes A (0|7|3) von der
> > Ebene E
> > [mm]6x_1-2x_2-3x_3+1=0[/mm]
> > Die Aufgabe ist soweit eigentlich kein Problem.
> >
> > Jedoch habe ich eine Frage denn ich bekomme für zwei Wege
> > zweimal das selbe Ergebnis nur mit anderem Vorzeichen.
> >
> >
> > Also meine Vorgehensweise:
> >
> > Erstmal den Normalenvektor bestimmt [mm]\vec{n}= \vektor{6 \\ -2 \\ -3}[/mm]
>
> >
> > Und daraus dann [mm]\vec{n_0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{7} \vektor{6 \\ -2 \\ -3}[/mm]
> > für die HNF
> >
> >
> > Wenn ich jetzt die Ebenengleichung nehmen :
> > [mm]6x_1-2x_2-3x_3+1=0[/mm] und mir hierraus noch einen Punkt suche
> > z.B. B(1|0,5|2)
> >
> > und das einsetze in die HNF (gleich mit dem Punkt A)
> >
> > [mm]\bruch{1}{7} \vektor{6 \\ -2 \\ -3}[/mm] [ [mm]\vektor{0 \\ 7 \\ 3} -\vektor{1 \\0,5 \\ 2}[/mm]
> > ] = d
> Hallo,
> es gibt zwei Einheitsvektoren, die auf der Ebene senkrecht
> stehen: [mm]\bruch{1}{7} \vektor{6 \\ -2 \\ -3}[/mm] und
> [mm]\bruch{-1}{7} \vektor{6 \\ -2 \\ -3}[/mm] .
> Da ein Abstand immer eine nichtnegative Zahl ist, sollest
> du zur Sicherheit gleich den Betrag verwenden.
> Gruß Abakus
> >
> >
> > komme ich auf d= [mm]-\bruch{22}{7}[/mm]
> >
> >
> > Jetzt gibt es noch einen anderen Ansatz.
> >
> > Hier geht man von folgendem aus :
> >
> >
> [mm]-\bruch{6}{7}x_1+\bruch{2}{7}x_2+\bruch{3}{7}x_3-\bruch{1}{7}=0[/mm]
Hallo,
das ist nur eine von unendlich vielen Kordinatengleichungen ein und der selben Ebene.
Durch Multiplikation mit einer beliebigen Zahl ungleich Null erhältst du eine andere Form dieser Gleichung, z.B.
durch Multiplikation mit 7: [mm] -6x_1+2x_2+3x_3-1=0
[/mm]
durch Multiplikation mit -7: [mm] x_1-2x_2-3x_3+1=0
[/mm]
durch Multiplikation mit 0,5: [mm]-\bruch{6}{14}x_1+\bruch{2}{14}x_2+\bruch{3}{14}x_3-\bruch{1}{14}=0[/mm]
> >
> >
> > Hier habe ich mich erstmal gefragt warum am Anfang
> > [mm]-\bruch{6}{7}[/mm] steht und am ende ebenfalls eine negative
> > Zahl , müssten diese nicht beide positiv sein ?
> >
> > Aufjedenfall kommt man nach einsetzen des Punktes A in [mm]x_1[/mm]
> > etc. auf [mm]+\bruch{22}{7}[/mm]
> >
> >
> > Was stimmt da nun nicht ?
> >
> > grüße
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
Die beiden Gleichungen unterscheiden sich um einen Faktor von -1/7, was aufjedem Fall einem Umklappen des Normalenvektors entspricht.
Aus [mm] \overrightarrow{n}\*\overrightarrow{\Delta v}=d [/mm] wird dann [mm] -\overrightarrow{n}\*\overrightarrow{\Delta v}=-d
[/mm]
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dann wäre also beide Lösungen richtig , da sie jeweils zu einem n gehören ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
Na,ja. Ein Abstand ist immer nicht-negativ. Wer einen Abstand negativ angibt, obwohl die Metrik positiv definit ist, könnte Punktabzüge bekommen.
Was die rechte Seite der HNF angibt, ist die Projektion eines Vektors auf den Einheitsnormalenvektor. Der Betrag davon ist immer der Abstand. Ohne Betrag zeigt das Vorzeichen an, ob der der Winkel zwischen Einheitsnormalenvektor zwischen +-90° liegt. Dann nämlich zeigt der Vektor in denselben Halbraum wie der Normalenvektor in Bezug auf die Ebene.
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