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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tynia |
Hallo zusammen. Ich hoffe ihr könnt mir bei einem Problem helfen.
Ich habe eine Ebene der Form
[mm] E:a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0
[/mm]
und einen Punkt [mm] P(p_{1},p_{2},p_{3}) [/mm] und [mm] Q(q_{1},q_{2},q_{3}). [/mm] Der eine Punkt liegt oberhalb der Ebene der andere unterhalb.
Wie kann ich prüfen, welcher Punkt wo liegt?
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Hallo,
zwei Möglichkeiten:
i).
Lege eine Gerade durch P und Q und berechne den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene. Wenn es entweder keinen solchen Schnittpunkt gibt, oder es gibt einen aber er liegt außerhalb der Strecke PQ, dann liegen die beiden Punkte auf der gleichen Seite der Ebene.
ii).
Beide Punkte in die Formel für den Abstand Punkt-Ebene einsetzen und die Betragsklammer im Zähler weglassen. Dann kann man am Vorzeichen ablesen, auf welcher Seite der Ebene der betreffende Punkt liegt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tynia |
Hallo. Danke erstmal. Also die Punkt-Abstand-Formel ist doch
[mm] \overline{n}\overline{p}-a_{0}=\lambda
[/mm]
wobei [mm] \overline{n} [/mm] der Normalenvektor der Ebene ist, also [mm] \overline{n}=\vektor{a_{1} \\ a_{2}\\a_{3}}
[/mm]
Richtig?
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Hallo,
> Hallo. Danke erstmal. Also die Punkt-Abstand-Formel ist
> doch
>
> [mm]\overline{n}\overline{p}-a_{0}=\lambda[/mm]
>
> wobei [mm]\overline{n}[/mm] der Normalenvektor der Ebene ist, also
> [mm]\overline{n}=\vektor{a_{1} \\
a_{2}\\
a_{3}}[/mm]
>
> Richtig?
nein: das ist nicht ganz richtig. In der Form stimmt das nur, wenn [mm] \overrightarrow{n} [/mm] der Normaleneinheitsvektor ist.
Die allgemeine Formel lautet
[mm]d=\bruch{|\overrightarrow{n}*\overrightarrow{p}+a_0|}{|\overrightarrow{n}|}[/mm]*
Die meinte ich...
*In den Formelsammlungen steht i.a. vor der Konstante ein Minuszeichen. Das gilt dann für eine Ebenengleichung der Form
[mm] a_1*x_1+a_2*x_2+a_3*x_3=a_0
[/mm]
Ich bin also mit dem Plus-Zeichen auf die Schreibweise deiner Ebenengleichung eingegangen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tynia |
Okay. Ich bin jetzt etwas verwirrt, ich habe nämlich diese Formel gefunden
[mm] d=\bruch{n_{1}p_{1}+n_{2}p_{2}+n_{3}p_{3}+a_{0}}{|\overline{n}|}
[/mm]
Ist das dasselbe? Wenn jetzt d für [mm] \overline{p} [/mm] negativ wäre, liegt der Punkt unterhalb der Ebene?
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Hallo,
das kann keine Formel für einen Abstand sein, denn wie du selbst gesagt hast: sie kann negative Werte zurückliefern.
Ich weiß jetzt nicht genau, was dich daran verwirrt: wenn es das Vorzeichen vor dem [mm] a_0 [/mm] ist dann siehe dazu meinen Nachtrag in meinem vorigen Beitrag.
Ansonsten: für dein eigentliches Problem kannst du die Formel so wie gepostet anwenden, ich würde es nur vermeiden, das Resultat 'd' zu nennen, weil d wie distance eben ein gebräuchliches Symbol für Abstände ist. Nenne es etwa d* oder [mm] \overline{d}.
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tynia |
Das mit der Formel habe ich vielleicht falsch ausgedrückt. Aber du sagtest doch zu beginn, dass ich die Betragstriche bei der Punkt-Ebene-Abstand-Formel einfach weglassen kann, um festzustellen, auf welcher seite der Ebene sich der Punkt befindet
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Hallo,
> Das mit der Formel habe ich vielleicht falsch ausgedrückt.
> Aber du sagtest doch zu beginn, dass ich die Betragstriche
> bei der Punkt-Ebene-Abstand-Formel einfach weglassen kann,
> um festzustellen, auf welcher seite der Ebene sich der
> Punkt befindet
ich habe ja auch geschrieben, dass du den von dir angegebenen Term auf dein Problem anwenden kannst, genau so wie besprochen. Also unterschiedliche Vorzeichen bedeuten unterschiedliche Seiten.
Aber wenn du schreibst, du hättest eine Formel gefunden dann muss man die Möglichkeit in Betracht ziehen, dass du der Ansicht bist, es handle sich um eine Formel zur Berechnung von Abständen. Und das stimmt eben nicht ohne Betragsstriche im Zähler, so viel Gründlichkeit muss sein. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tynia |
Das ist richtig. Ich danke dir sehr für deine Hilfe.
Viele Grüße
tynia
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