Abstand Punkt Gerade < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi !
Ich habe einen Punkt und eine Gerade, die in einer Ebene liegen.
Ich weiß nat. dass man sich eine Hilfsebene konstruieren kann, deren Normalenvektor kollinear zum Geradenvektor ist, und die den Punkt enthält. Dann kann man den Abstand ausrechnen.
Aber stellen wir uns vor, wir haben seeeeeh seeehr lange Terme und wollen eine solche Ebene nicht konstruieren. Aber wir haben ja die erst gennante Ebene, die Gerade und Punkt enthält.
Hat jemand eine Idee, wie man da möglichst simpel den minimalen Abstand der Gerade und des Punktes errechnen kann ?
Wäre euch sehr dankbar !!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Mo 21.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Gib doch mal ein konkretes Beispiel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Hm, ich glaube, es hätte hier gar keine nutzen ein konkretes Beispiel zu nennen.
Ich fang mal an es selbst zu probieren.
Ich rechne den Vektor aus, der auf der Geraden senkrecht steht (der hat dann nat. noch mehrere Unbekannte).
Nun muss das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor der Ebene und dem errechneten Vektor null ergeben, weil der Vektor vom Punkt zum Lotfußpunkt auf der Geraden in der Ebene enthalten ist.
Dann habe ich jetzt eine Vektor dessen Skalarprodukt mit der Gerade null ergibt und der in der Ebene enthalten ist.
Ich bastele mir eine neue Gerade mit dem Punkt als Stützvektor und dem genannten Vektor als Richtungsvektor udn schaue wo er die Gerade schneided etc.
Müsste gehen oder ?
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Hallo,
also Abstand Punkt-Gerade:
I. Bilde den allg. Ortsvektor für einen Punkt auf der Geraden. (ich nenn den mal [mm] \vec{p})
[/mm]
II. Bilde den Vektor zwischen [mm] \vec{p} [/mm] und dem Ortsvektor deines Punktes. Es ergibt sich der Vekotr (ich nenn den) [mm] \vec{s}
[/mm]
III. RV (Richtungsvektor) der Geraden muss ja senkrecht auf [mm] \vec{s} [/mm] stehen, also muss deren Skalarpodukt 0 ergeben.
Also folgende Gleichung auflösen: [mm] \vec{s}*RV=0
[/mm]
IV. Ergebnis aus III. in [mm] \vec{s} [/mm] einsetzen.
V. [mm] |\vec{s}| [/mm] ist dann der gesuchte Abstand.
Liebe Grüße
Andreas
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