Abstand Punkt zur Ebene < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Di 18.10.2016 | | Autor: | Jura86 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Abstand von [mm] \vec{x} [/mm] von E |
Das sind die gegebenen Werte :
[mm] \vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
E:= [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +\mathbb [/mm] R [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich habe das so umgeschrieben:
[mm] \begin{vmatrix} -4 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix} [/mm]
[mm] \begin{vmatrix} -4& 1 & 0 \\ 1/3 & 1 & 1/3 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix} [/mm]
Hier habe ich das Lambda elemeniert
III - II = -7 0 5
II - II = 13 0 3
Daraus folgte dann
-7+ [mm] 5\mu
[/mm]
[mm] 13+3\mu
[/mm]
Dann habe ich umgeschrieben
[mm] 1/5\cdot (X_{3} [/mm] - [mm] X_{2})-1/3\cdot (X_{2} [/mm] - [mm] X_{1}) [/mm] = (-7/5)- (13/3)
Wenn ich das ausrechne komme ich auf diese Darstellung
E= 15x-32y+9y
[mm] \sqrt{15^{2} + -32^{2} + 9^{2} } [/mm]
= [mm] \sqrt{1330}
[/mm]
Dann habe ich den Gegebenen Punkt in die Ergebnisse in die Formel eingesetzt
[mm] \frac{15*(-1)-32*(-5)+9*4}{\sqrt{1330} } [/mm] |
Und das habe ich als Ergebnis rausbekommen
[mm] \frac{211}{\sqrt{1330} } [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Di 18.10.2016 | | Autor: | abakus |
Es ist mir unklar, was du da treibst. Einen Normalenvektor der Ebene bekommst du mit dem Kreuzprodukt der Spannvektoren
[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] und [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm].
Dabei erhält man [mm]\begin{pmatrix} 5 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
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> Berechnen Sie den Abstand von [mm]\vec{x}[/mm] von E
> Das sind die gegebenen Werte :
> [mm]\vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> E:= [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\mathbb[/mm] R
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +\mathbb[/mm] R
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nicht beides R, sonst bekommst du nur eine Gerade
>
> Ich habe das so umgeschrieben:
> [mm]\begin{vmatrix} -4 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix}[/mm]
>
>
>
> [mm]\begin{vmatrix} -4& 1 & 0 \\ 1/3 & 1 & 1/3 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix}[/mm]
>
>
> Hier habe ich das Lambda elemeniert
>
>
Dieser Weg ist mir völlig unbekannt. Ich sehe auch kein Lambda.
> III - II = -7 0 5
>
> II - II = 13 0 3
>
> Daraus folgte dann
>
> -7+ [mm]5\mu[/mm]
> [mm]13+3\mu[/mm]
>
>
> Dann habe ich umgeschrieben
>
> [mm]1/5\cdot (X_{3}[/mm] - [mm]X_{2})-1/3\cdot (X_{2}[/mm] - [mm]X_{1})[/mm] = (-7/5)-
> (13/3)
>
> Wenn ich das ausrechne komme ich auf diese Darstellung
>
> E= 15x-32y+9y =???
Wenn du (-4|1|-2) einsetzt, kommt -110 heraus. Ist das Ok?
Ich habe E: 5x-2y+z+24=0.
>
> [mm]\sqrt{15^{2} + -32^{2} + 9^{2} }[/mm]
> = [mm]\sqrt{1330}[/mm]
>
>
>
> Dann habe ich den Gegebenen Punkt in die Ergebnisse in die
> Formel eingesetzt
>
> [mm]\frac{15*(-1)-32*(-5)+9*4}{\sqrt{1330} }[/mm] |
>
>
> Und das habe ich als Ergebnis rausbekommen
>
>
> [mm]\frac{211}{\sqrt{1330} }[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 22.10.2016 | | Autor: | Jura86 |
| Aufgabe | | Berechnen SIe den ABstand von [mm] \vec{x} [/mm] von E |
Ich habe das ganze nochmal vernünftiger durchgerechnet und abgetippt. Weil ich eingesehen habe, dass es wirklich komisch gerechnet und dargestellt war die Rechnung.
Die Aufgabestellung habe ich genauso abgetippt.
Und möchte wissen was an meinem Recheneweg falsch ist, und welche Schritte ich machen muss um die Aufgabe richtig zu lösen.
Das sind die gegebenen Werte :
[mm] \vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]
E:= [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +\mathbb [/mm] R [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich habe das in Tabelarische Form umgeschrieben:
[mm] X_1 [/mm] = -4 + [mm] 1\lambda [/mm] + [mm] 0\mu
[/mm]
[mm] X_2 [/mm] = 1 + [mm] 3\lambda [/mm] + [mm] 1\mu
[/mm]
[mm] X_3 [/mm] = -2 + [mm] 1\lambda [/mm] + [mm] 2\mu
[/mm]
Hier habe ich das Lambda elemeniert
[mm] (X_{2}/3)- X_1
[/mm]
[mm] X_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] 1\lambda [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}\mu
[/mm]
-
[mm] X_{A} [/mm] = -4 + [mm] 1\lambda [/mm] + [mm] 0\mu
[/mm]
= [mm] -\bruch{11}{3} [/mm] + [mm] 0\lambda [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}\mu
[/mm]
[mm] X_{3}- X_{1}
[/mm]
[mm] X_{3} [/mm] = -2 + [mm] 1\lambda [/mm] + [mm] 2\mu
[/mm]
-
[mm] X_{1} [/mm] = -4 + [mm] 1\lambda [/mm] + [mm] 0\mu
[/mm]
= 2 + [mm] 0\lambda [/mm] + [mm] 2\mu
[/mm]
[mm] \bruch{-11}{3}+\bruch{1}{3}\mu [/mm] | * 3
[mm] 2+2\mu [/mm] | * [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Dann habe ich umgeschrieben
[mm] 3\cdot (X_{2} [/mm] - [mm] X_{1})- \bruch{1}{2}\cdot (X_{3} [/mm] - [mm] X_{1})
[/mm]
Wenn ich das ausrechne komme ich auf diese Darstellung
[mm] -\bruch{5}{2}X_{1} [/mm] + [mm] 3X_{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}X_{3} [/mm]
E:= [mm] -\frac{5}{2}x [/mm] + 3 y - [mm] \frac{1}{2} [/mm] z
Dann habe ich den Gegebenen Punkt in das Ergebniss und in die Formel eingesetzt
[mm] -\bruch{5}{2}X_{1} [/mm] + [mm] 3X_{2} -\bruch{1}{2}X_{3} [/mm]
[mm] -\bruch{5}{2}*(-1 )+3*(-5)-\frac{1}{2}*(4) [/mm]
[mm] \frac{\bruch{5}{2}-15-2}{\sqrt{\bruch{31}{2}} } [/mm]
Und das habe ich als Ergebnis rausbekommen
[mm] \frac{\bruch{-29}{2}}{\sqrt{\bruch{31}{2}} } [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 So 23.10.2016 | | Autor: | Herby |
Hallo Jura,
> Berechnen SIe den ABstand von [mm]\vec{x}[/mm] von E
> Ich habe das ganze nochmal vernünftiger durchgerechnet
> und abgetippt. Weil ich eingesehen habe, dass es wirklich
> komisch gerechnet und dargestellt war die Rechnung.
> Die Aufgabestellung habe ich genauso abgetippt.
> Und möchte wissen was an meinem Recheneweg falsch ist,
> und welche Schritte ich machen muss um die Aufgabe richtig
> zu lösen.
>
> Das sind die gegebenen Werte :
> [mm]\vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> E:= [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\mathbb[/mm] R
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +\mathbb[/mm] R
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> Ich habe das in Tabelarische Form umgeschrieben:
> [mm]X_1[/mm] = -4 + [mm]1\lambda[/mm] + [mm]0\mu[/mm]
>
> [mm]X_2[/mm] = 1 + [mm]3\lambda[/mm] + [mm]1\mu[/mm]
>
> [mm]X_3[/mm] = -2 + [mm]1\lambda[/mm] + [mm]2\mu[/mm]
>
>
>
> Hier habe ich das Lambda elemeniert
>
> [mm](X_{2}/3)- X_1[/mm]
>
> [mm]X_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]1\lambda[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}\mu[/mm]
> -
> [mm]X_{A}[/mm] = -4 + [mm]1\lambda[/mm] + [mm]0\mu[/mm]
Hier ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen. Es steht bei [mm] X_{1} [/mm] ein [mm] \big{\red{-}} [/mm] vor der 4 und somit kommst du auf [mm] +\frac{13}{3}
[/mm]
HJKweseleit hatte dir doch auch bereits die Ebene genannt: E: 5x-2y+z+24=0
und der Abstand sollte nachher bei ungefähr 6,025 liegen.
Viele Grüße
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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> Berechnen SIe den ABstand von [mm]\vec{x}[/mm] von E
> Ich habe das ganze nochmal vernünftiger durchgerechnet
> und abgetippt. Weil ich eingesehen habe, dass es wirklich
> komisch gerechnet und dargestellt war die Rechnung.
> Die Aufgabestellung habe ich genauso abgetippt.
> Und möchte wissen was an meinem Recheneweg falsch ist,
> und welche Schritte ich machen muss um die Aufgabe richtig
> zu lösen.
>
> Das sind die gegebenen Werte :
> [mm]\vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> E:= [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\mathbb[/mm] R [mm] \red{\lambda}[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +\mathbb[/mm] R [mm] \red{\mu}[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> Ich habe das in Tabelarische Form umgeschrieben:
> [mm]X_1[/mm] = -4 + [mm]1\lambda[/mm] + [mm]0\mu[/mm]
>
> [mm]X_2[/mm] = 1 + [mm]3\lambda[/mm] + [mm]1\mu[/mm]
>
> [mm]X_3[/mm] = -2 + [mm]1\lambda[/mm] + [mm]2\mu[/mm]
>
>
>
> Hier habe ich das Lambda elemeniert
>
> [mm](X_{2}/3)- X_1[/mm]
>
> [mm]X_{2}\red{/3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]1\lambda[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}\mu[/mm]
> -
> [mm]X_{A}[/mm] = -4 + [mm]1\lambda[/mm] + [mm]0\mu[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\red{13}}{3}[/mm] + [mm]0\lambda[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}\mu[/mm]
>
>
> [mm]X_{3}- X_{1}[/mm]
>
> [mm]X_{3}[/mm] = -2 + [mm]1\lambda[/mm] + [mm]2\mu[/mm]
> -
> [mm]X_{1}[/mm] = -4 + [mm]1\lambda[/mm] + [mm]0\mu[/mm]
>
> = 2 + [mm]0\lambda[/mm] + [mm]2\mu[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{-11}{3}+\bruch{1}{3}\mu[/mm] | * 3
> [mm]2+2\mu[/mm] | * [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
>
> Dann habe ich umgeschrieben
Ich mach jetzt mal mit dem falschen Zwischenergebnis weiter, damit du den Fehler erkennst:
>
> [mm]3\cdot (X_{2}\red{/3}[/mm] - [mm]X_{1})- \bruch{1}{2}\cdot (X_{3}[/mm] - [mm]X_{1}) = -11+\mu -(1+\mu)[/mm]=-12 (-12 fehlt bei dir total!) (richtiger Wert: = +12)
Das gibt nun [mm] X_2-3X_1-\bruch{1}{2}X_3+\bruch{1}{2}X_1=12 [/mm] (jetzt wieder mit richtigem Wert)
oder [mm] 2X_2-6X_1-X_3+X_1=24
[/mm]
oder -5x+2y-z-24=0 bzw. 5x-2y+z+24=0.
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>
>
>
>
> Wenn ich das ausrechne komme ich auf diese Darstellung
>
> [mm]-\bruch{5}{2}X_{1}[/mm] + [mm]3X_{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}X_{3}[/mm]
>
> E:= [mm]-\frac{5}{2}x[/mm] + 3 y - [mm]\frac{1}{2}[/mm] z
>
>
>
> Dann habe ich den Gegebenen Punkt in das Ergebniss und in
> die Formel eingesetzt
>
> [mm]-\bruch{5}{2}X_{1}[/mm] + [mm]3X_{2} -\bruch{1}{2}X_{3}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{5}{2}*(-1 )+3*(-5)-\frac{1}{2}*(4)[/mm]
>
> [mm]\frac{\bruch{5}{2}-15-2}{\sqrt{\bruch{31}{2}} }[/mm]
>
>
>
> Und das habe ich als Ergebnis rausbekommen
>
>
> [mm]\frac{\bruch{-29}{2}}{\sqrt{\bruch{31}{2}} }[/mm]
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