Abstand der Ebene zum Ursprung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Ebene soll parallel zur x2x3-Ebene sein und vom Ursprung den Abstand 3 haben. |
Mein Lösungsansatz wäre jetzt:
1. Aufstellung einer Ebenengleichung der x2x3-Ebene
da die Punkte A(0|3|2),B(0|4|6) und
C(0|5|10) in der Ebene liegen,
bilden die Vektoren AB sowie AC die Richtungsvektoren, wodurch die x2x3 Ebene die Ebenengleichung
E:x= (0|3|2) + s* (0|1|4) + r* (0|2|8)
Da die Ebene parallel sein soll, müssen die Richtungsvektoren zu dem Normalenvektor der 2. Ebene orthogonal sein.
durch aufstellen eines LGS
n2+4n3=0
2n3+8n3=0
komme ich auf den Normalenvektor (0|4|-1)
soweit so gut, aber woher weiß ich denn jetzt, ob die Ebene vom Ursprung den Abstand 3 hat?
meine Idee wäre als x1 Koordinate des Stützvektors dann 3 zu nehmen.. ist das richtig?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Ebene-parallel-zur-x2x3-Ebene
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Hallo,
au weia, da hast du aber feste um die Ecke herumgedacht und dich dabei letztendlich auch noch völlig verrechnet.
Ich geb dir mal zwei Tipps für die beiden Formen der Ebenengleichung.
a). Parameterform:
Wenn die Ebene parallel zur [mm] x_2x_3-Ebene [/mm] sein soll, dann auch zur [mm] x_2- [/mm] und zur [mm] x_3-Achse. [/mm] Deren Richtung kannst du also jeweils als Rcihtungsvektor verwenden. Weiterhin liegen die Punkte (0|0|-3) und (0|0|3) jeweils 3LE vonm Ursprung weg (an dieser Stelle ist deine Aufgabe nicht eindeutig gestellt. Entweder du hast etwas vergessen anzugeben, oder es gibt zwei mögliche Lösungen).
b) Koordinatenform:
Zu welcher Koordinatenachse muss die gesuchte Ebene wohl orthogonal sein? Deren Richtung nimmst du als Normalenvektor nd bedenkst wieder das mit den zwei möglichen Ebenen punkten.
Generell sollte man bei solchen Aufgaben nicht so blindlings losrechnen, sondern vielleicht ers einmal ein wenig darüber nachdenken. 
Gruß, Diophant
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a) also wäre eine mögliche Ebenengleichung
(0|0|3) + s* (0|2|0) + r* (0|0|6) oder?
und zu b) was bringt mir das jetzt im Hinblick zur Aufgabe? :/
aber die Ebene muss zur x1 Achse orthogonal verlaufen und die Richtung dieser Achse wäre ja t* (1|0|0) zB. oder?
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Hallo,
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> a) also wäre eine mögliche Ebenengleichung
>
> (0|0|3) + s* (0|2|0) + r* (0|0|6) oder?
Nein, diese Ebene geht durch den Ursprung (für s=0 und r=-0,5).
> und zu b) was bringt mir das jetzt im Hinblick zur Aufgabe?
> :/
> aber die Ebene muss zur x1 Achse orthogonal verlaufen und
> die Richtung dieser Achse wäre ja t* (1|0|0) zB. oder?
Ja, gut überlegt. Lös erstmal a, dann müsste b eigentlich problemlos gehen.
Grüße
reverend
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Also irgendwie bin ich jetzt komplett verwirrt. :(
Könntest du mir vielleicht ein Beispiel für die Lösung der Aufgabe a geben?
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Hallo nochmal,
Du hast doch schon richtig erkannt, dass die [mm] $x_1$-Richtung [/mm] senkrecht auf der Ebene steht. Das heißt, dass Dein Aufpunkt in [mm] $x_1$-Richtung [/mm] den Koordinatenwert 3 (oder -3) haben muss.
Grüße
reverend
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Danke erst mal für deine Mühe!
Also liege ich jetzt in der Annahme richtig, dass meine Ebene:
(3|0|6) + s* (0|2|0) + r* (0|0|3) richtig wäre?
Also der Stützvektor 3|0|6 -- weil er den Abstand 3 zur x1 Achse hat.
und die beiden Richtungsvektoren, weil sie jeweils die Richtung der x2 bzw. x3 Achse angeben, oder? :)
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Hallo,
warum einfach, wenns auch kompliziert geht?
Was hältst du davon:
E: [mm] \vec{x}=\vektor{3\\0\\0}+r*\vektor{0\\1\\0}+s*\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Dafür habe ich nichts gerechnet.
BTW: Die Sache mit der Eindeutigkeit hast du noch nicht beantwortet. So wie die Aufgabe dasteht, gibt es noch eine zweite Mglichkeit, ist dir klar weshalb?
Gruß, Diophant
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Die Aufgabe war so gestellt.
Ich denke, dass es zwei Möglichkeiten gibt, weil der Abstand sowohl im positiven als auch im negativen Bereich der x1 Achse sein kann. Was ich damit meine, dass der Stützvektor sowohl
(-3|0|0) als auch (3|0|0) sein kann. :) das ist doch jetzt korrekt oder?
Ich habe noch eine zweite, nicht zur aufgabe passende, frage.
Ich hatte gestern noch die Aufgabe, dass man eine Gerade bauen soll, die die Ebene im Punkt 3/1/4 orthogonal schneidet.
Nun war ich mir, da es bei uns im Mathebuch nur an Geraden verdeutlicht ist, nicht sicher:
Aber eine Ebene und eine Gerade sind doch dann orthogonal zueinander, wenn der Normalenvektor vom Richtungsvektor linear abhängig ist oder?
Also die Ebene mit dem Normalenvektor (1/1/1) wäre zu der Gerade mit dem Richtungsvektor (2/2/2) orthogonal. Richtig?
Denn zwei Geraden sind ja dann orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren multipliziert = 0 ergeben.
Tut mir Leid, dass das so viel ist.
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Hallo,
> Die Aufgabe war so gestellt.
> Ich denke, dass es zwei Möglichkeiten gibt, weil der
> Abstand sowohl im positiven als auch im negativen Bereich
> der x1 Achse sein kann. Was ich damit meine, dass der
> Stützvektor sowohl
>
> (-3|0|0) als auch (3|0|0) sein kann. :) das ist doch jetzt
> korrekt oder?
Das ist genau richtig, so meinte ich es! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe noch eine zweite, nicht zur aufgabe passende,
> frage.
>
> Ich hatte gestern noch die Aufgabe, dass man eine Gerade
> bauen soll, die die Ebene im Punkt 3/1/4 orthogonal
> schneidet.
> Nun war ich mir, da es bei uns im Mathebuch nur an Geraden
> verdeutlicht ist, nicht sicher:
> Aber eine Ebene und eine Gerade sind doch dann orthogonal
> zueinander, wenn der Normalenvektor vom Richtungsvektor
> linear abhängig ist oder?
> Also die Ebene mit dem Normalenvektor (1/1/1) wäre zu der
> Gerade mit dem Richtungsvektor (2/2/2) orthogonal.
> Richtig?
>
> Denn zwei Geraden sind ja dann orthogonal, wenn ihre
> Richtungsvektoren multipliziert = 0 ergeben.
>
> Tut mir Leid, dass das so viel ist.
Beginne bitte besser für jede neue Aufgabe auch einen neuen Thread, sonst wird es unübersichtlich. Deine obigen Überlegungen sind allerdings allesamt richtig, von daher hat sich dasn Problem ja dann vielleicht schon erledigt?
Gruß, Diophant
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Ja, aber da ich das gestern schon mal gefragt hatte (mir aber nicht sicher war, ich brauche in Mathe leider immer Bestätigung :D) wollte ich nicht noch einen neuen Thread öffnen.
Danke trotzdem für die viele Mühe, einen schönen Abend noch :)
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> Die Ebene soll parallel zur x2x3-Ebene sein und vom
> Ursprung den Abstand 3 haben.
Diese Aufgabe ist doch ganz, aber wirklich gaaanz einfach !
Man braucht dazu nicht einmal den Vektorbegriff, Normalen-
vektoren etc.
Eine analoge Aufgabe wäre etwa:
| Aufgabe | Wie lauten die Gleichungen jener Geraden in der x-y-Ebene,
welche parallel zur y-Achse sind und vom Ursprung den
Abstand 3 haben ? |
LG Al-Chw.
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Vielleicht steh ich auch einfach auf'm Schlauch. Aber irgendwie bin ich verwirrt und weiß nichts mit der Aufgabe anzufangen :(
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> Vielleicht steh ich auch einfach auf'm Schlauch. Aber
> irgendwie bin ich verwirrt und weiß nichts mit der Aufgabe
> anzufangen :(
Geraden in der x-y-Ebene, die zur y-Achse parallel sind,
haben Gleichungen der Form x = Konstante .
Der Absolutbetrag der Konstanten entspricht dann auch
dem Abstand der Geraden von der y-Achse (und folglich
auch vom Ursprung)
Ebenen im x-y-z-Raum, welche zur y-z-Ebene parallel
sind, haben ebenfalls Gleichungen der Form x = Konstante.
Die gesuchten beiden Ebenen haben also die Gleichungen
x=3 bzw. x=-3 .
Fertig !
LG Al-Chw.
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