Abstand im normierten Raum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Sa 04.05.2013 | | Autor: | lol13 |
| Aufgabe | Sei K eine kompakte Menge in einem normierten Raum (X, ||.|| ). Zeigen Sie, dass es (mindestens) 2 Elemente [mm] x_{1}\in [/mm] K und [mm] x_{2}\in [/mm] K gibt, die minimalen und maximalen Abstand zu x=0 haben, also
|| [mm] x_{1} [/mm] || = inf{||x|| : [mm] x\in [/mm] K} und [mm] ||x_{2} [/mm] || = sup{||x|| : [mm] x\in [/mm] K} |
In der Vorlesung haben wir den Satz vom Maximum/ Minimum bereits behandelt. Daher weiß ich nicht, was ich hier noch beweisen soll.
Vllt habt ihr ja eine Idee. Danke für eure Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Sa 04.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Definiere f:K [mm] \to \IR [/mm] durch $f(x)=||x||$
f ist stetig auf K.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Sa 04.05.2013 | | Autor: | lol13 |
darf man einfach [mm] \IR [/mm] annehmen?
Und: Was ändert deine definierte Schreibweise? Inwiefern liefert diese mehr als der Satz vom Maximum?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 04.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> darf man einfach [mm]\IR[/mm] annehmen?
Was ist los ?
> Und: Was ändert deine definierte Schreibweise?
Was ist los ?
> Inwiefern
> liefert diese mehr als der Satz vom Maximum?
Was ist los ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Sa 04.05.2013 | | Autor: | lol13 |
verstehst du nich was ich meine?
|
|
|
| |
|
Hiho,
fred hat dich, wenn auch etwas unkonventionell, darauf hingewiesen, dass deine Fragen keinen Sinn machen. Daher kann man nicht verstehen, was du meinst und du solltest dich mit Antworten, die man dir gibt, etwas intensiver beschäftigen, bevor du neue Fragen stellst.
> In der Vorlesung haben wir den Satz vom Maximum/ Minimum bereits behandelt. Daher weiß ich nicht, was ich hier noch beweisen soll.
Was sagt der Satz denn aus? Zitiere ihn doch mal, vielleicht fällt dir dann ja auf "was du hier noch beweisen" sollst bzw musst.
Um dir meine Aussage von oben auch zu belegen, dass deine Fragen keinen Sinn machen:
> darf man einfach [mm] \IR [/mm] annehmen?
Nirgends wird [mm] \IR [/mm] "angenommen". Du solltest dir Freds Antwort vielleicht nochmal durchlesen und wenn dir da einiges nicht klar ist, konkrete Fragen stellen. Es wird nirgends behauptet, dass $K = [mm] \IR$ [/mm] angenommen wird.
> Und: Was ändert deine definierte Schreibweise?
Wo hat Fred deine eine definierte Schreibweise eingeführt?
> Inwiefern liefert diese mehr als der Satz vom Maximum?
Wo wir wieder beim Problem von Oben sind: Ohne dass dir klar ist, was dieser Satz aussagt, kommen wir hier nicht weiter....
Daher: Zitiere ihn mal und stelle fest, was dir bei der Aufgabe dafür fehlt!
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 So 05.05.2013 | | Autor: | lol13 |
gut, dann zitiere ich jetzt erst noch den Satz:
"Sei (M,d) ein metrischer Raum, [mm] K\subsetM [/mm] kompakt, [mm] f:M\to\IR [/mm] stetig.
Dann nimmt f Maximum und Minimum über f an, d.h. [mm] \exists x\pm \in [/mm] K: f(x+)=max{f(x) : [mm] x\in [/mm] K}
f(x-)=min{f(x) : [mm] x\in [/mm] K}
"
Laut Proposition ist jeder normierte Raum eine Metrik. (Stimmt das so?)
K ist laut Aufgabe kompakt.
Dann die obigen Annahmen: Definiere [mm] f:K\to \IR [/mm] durch f(x)=||x|| und f ist stetig.
Somit ergibt sich:
[mm] ||x_{1}||=inf{f(x):x\in K} [/mm] || [mm] x_{2}||=sup{f(x):x\in K} [/mm]
Hier steht nun Supremum und Infimum statt Maximum und Minimum, da [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] noch in K liegen sollen?
Wäre schön, wennihr noch mal drüber schauen könntet. Habt ihr euch das so vorgestellt? Habe ich etwas vergessen?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 So 05.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> gut, dann zitiere ich jetzt erst noch den Satz:
> "Sei (M,d) ein metrischer Raum, [mm]K\subsetM[/mm] kompakt,
> [mm]f:M\to\IR[/mm] stetig.
> Dann nimmt f Maximum und Minimum über f an, d.h. [mm]\exists x\pm \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> K: f(x+)=max{f(x) : [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K}
> f(x-)=min{f(x) : [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K}
> "
>
> Laut Proposition ist jeder normierte Raum eine Metrik.
Du meinst sicher, dass ein normierter Raum ein metrischer Raum ist.
> (Stimmt das so?)
> K ist laut Aufgabe kompakt.
> Dann die obigen Annahmen: Definiere [mm]f:K\to \IR[/mm] durch
> f(x)=||x|| und f ist stetig.
>
> Somit ergibt sich:
> [mm]||x_{1}||=inf{f(x):x\in K}[/mm] ||
> [mm]x_{2}||=sup{f(x):x\in K}[/mm]
Genauer: es ex. [mm] x_1,x_2 \in [/mm] K mit:
[mm] f(x_1) \le [/mm] f(x) [mm] \le f(x_2) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] K.
Das bedeutet:
[mm] ||x_1||= [/mm] inf [mm] \{ ||x||: x \in K\} [/mm] und [mm] ||x_2||= [/mm] sup [mm] \{ ||x||: x \in K\} [/mm]
>
> Hier steht nun Supremum und Infimum statt Maximum und
> Minimum, da [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] noch in K liegen sollen?
Weil [mm] x_1,x_2 \in [/mm] K haben wir
[mm] ||x_1||= [/mm] inf [mm] \{ ||x||: x \in K\} [/mm] = min [mm] \{ ||x||: x \in K\} [/mm]
und
[mm] ||x_2||= [/mm] sup [mm] \{ ||x||: x \in K\} [/mm] = max [mm] \{ ||x||: x \in K\} [/mm]
FRED
>
> Wäre schön, wennihr noch mal drüber schauen könntet.
> Habt ihr euch das so vorgestellt? Habe ich etwas
> vergessen?
>
> Danke
|
|
|
|
