Abstand paralleler geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mo 12.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
ich möchte den Abstand der folgenden beiden Geraden bestimmen, die parallel zueinander liegen:
[mm] g_{1}: \vektor{5 \\ 0 \\ 9}+\lambda\vektor{-2 \\ -4 \\ 4}
[/mm]
[mm] g_{2}: \vektor{4 \\ 6 \\ 1}+\mu\vektor{1 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
Dazu bin ich so vorgegangen:
d(g,h) = [mm] d(\vektor{5 \\ 0 \\ 9},h)
[/mm]
= [mm] |\vektor{5 \\ 0 \\ 9}-\vektor{4 \\ 6 \\ 1}-<\bruch{(\vektor{5 \\ 0 \\ 9}-\vektor{4 \\ 6 \\ 1}),\vektor{1 \\ 2 \\ -2}}{(\vektor{1 \\ 2 \\ -2})^2}>*\vektor{1 \\ 2 \\ -2}|
[/mm]
= [mm] \vektor{1 \\ -6 \\ 8}+3\vektor{1 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich hier richtig zusammengefasst habe, denn laut Lösung soll einfach nur [mm] \wurzel{20} [/mm] als Abstand rauskommen.
Habe ich hier einen Fehler gemacht?
Danke
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Hallo Dom_89
Das Ergebnis [mm] $\sqrt{20}\ [/mm] =\ [mm] 2\sqrt{5}$ [/mm] für den Abstand der
beiden Geraden habe ich auch erhalten.
Deine Darstellung des Lösungsweges kann ich nur zum
(kleineren) Teil nachvollziehen. Am Ende muss jedenfalls
für den Abstand einfach eine positive Zahl herauskommen
und nicht ein vektorieller Ausdruck.
Kurz zu meinen Überlegungen:
Ich betrachte das Parallelogramm, welches von den
beiden Vektoren [mm] $\overrightarrow{d}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{e}$ [/mm] aufgespannt wird,
wobei: [mm] $\overrightarrow{d}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\2\\-2}$ [/mm] (Richtungsvektor beider Geraden)
und [mm] $\overrightarrow{e}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{5\\0\\9}\,-\,\pmat{4\\6\\1}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\-6\\8}$ [/mm] (Transversalvektor)
(diesen Vektor hattest du auch in deiner Rechnung)
Der gesuchte Abstand zwischen den beiden parallelen
Geraden entspricht nun der Höhe h in diesem Parallelogramm,
welche man beispielsweise so errechnen kann:
$\ h\ =\ [mm] |\overrightarrow{e}|\,*\,sin\left(\angle(\overrightarrow{d},\overrightarrow{e})\right)$
[/mm]
Ein etwas anderer Weg geht über ein Vektorprodukt:
Höhe h = [mm] $\frac{Flaecheninhalt}{Grundlinie}\ [/mm] =\ [mm] \frac{|\overrightarrow{d} \times \overrightarrow{e}|}{|\overrightarrow{d}|}$ [/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mo 12.02.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
der Lösungsweg des Fragestellers geht wie folgt:
Nimm einen Punkt der ersten Geraden (trivialerweise meist den Stützpunkt [mm] $s_1$) [/mm] und einen beliebigen Punkt der zweiten Geraden. Der Verbindungsvektor ist dann gerade:
[mm] $s_1-s_2+ \lambda r_2$ [/mm]
wobei die [mm] $s_i$ [/mm] die Stützvektoren und [mm] $r_2$ [/mm] der Richtungsvektor der zweiten Geraden ist.
Steht dieser nun Senkrecht auf dem Richtungsvektor, hat man den kürzesten aller Vektoren gefunden, d.h. bestimme [mm] $\lambda$, [/mm] so dass
[mm] $ [/mm] = 0 [mm] \quad \gdw \quad \lambda [/mm] = [mm] \frac{}{|r_2|^2}$
[/mm]
Dann ist der gesuchte Wert gerade [mm] $|s_1-s_2+ \lambda r_2|$
[/mm]
Und diese Formel mit obigem [mm] $\lambda$ [/mm] hat der Fragesteller benutzt.
Gruß,
Gono
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danke für die Erläuterung
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Hiho,
> = [mm]\vektor{1 \\ -6 \\ 8}+3\vektor{1 \\ 2 \\ -2}[/mm]
$= [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 2}$
[/mm]
Deine Lösung ist ok und stellt den kürzesten Verbindungsvektor von der Stützstelle der ersten Geraden [mm] $\vektor{5 \\ 0 \\ 9}$ [/mm] zur zweiten Geraden dar.
Du hast nur die Betragsstriche vergessen nach dem ersten Gleichheitszeichen.
D.h. du musst nur noch die Länge des Vektors bestimmen.
Diese ist [mm] $\sqrt{20}$ [/mm] und entspricht damit der dir gegebenen Lösung.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mo 12.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
danke für die Antwort! Ich konnte die Aufgabe dann soweit zu Ende bringen.
Ich habe allerdings noch eine kurze Frage:
Ich habe eine Ebene 1, die durch drei Punkte verläuft:
[mm] E_{1}: [/mm] x = [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 1}+\lambda\vektor{-2 \\ 1 \\ -1}+\mu\vektor{1 \\ -3 \\ -1}
[/mm]
und eine weitere Ebene 2
[mm] E_{2}: [/mm] 8x+6y-10z-16=0
Über die Ebene 2 weiß ich nun, dass [mm] n=\vektor{8 \\ 6 \\ -10} [/mm] und ich den Ortsvektor bestimmen kann, indem ich zwei Variablen gleich Null setzt - dann erhalte ich p = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Die beiden Ebenen liegen parallel zueinander und es soll wieder der Abstand berechnet werden.
In der Lösung wurde nun der Abstand von einem Punkt zur Ebene bestimmt (mit [mm] \wurzel{8}) [/mm]
Könnte man auch sagen:
[mm] E_{1}: [/mm] x = [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 1}+\lambda\vektor{-2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] E_{2}: [/mm] x = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0}+\mu\vektor{1 \\ -3 \\ -1}
[/mm]
Und dann mein Verfahren aus der ursprünglichen Fragestellung nutzen bzw. würde dass Sinn machen?
Vielen Dank für die Antwort!
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> Ich habe allerdings noch eine kurze Frage:
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> Ich habe eine Ebene 1, die durch drei Punkte verläuft:
>
> [mm]E_{1}:[/mm] x = [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}+\lambda\vektor{-2 \\ 1 \\ -1}+\mu\vektor{1 \\ -3 \\ -1}[/mm]
>
> und eine weitere Ebene 2
>
> [mm]E_{2}:[/mm] 8x+6y-10z-16=0
>
> Über die Ebene 2 weiß ich nun, dass [mm]n=\vektor{8 \\ 6 \\ -10}[/mm]
> und ich den Ortsvektor bestimmen kann, indem ich zwei
> Variablen gleich Null setzt - dann erhalte ich p =
> [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Die beiden Ebenen liegen parallel zueinander und es soll
> wieder der Abstand berechnet werden.
>
> In der Lösung wurde nun der Abstand von einem Punkt zur
> Ebene bestimmt (mit [mm]\wurzel{8})[/mm]
>
> Könnte man auch sagen:
>
> [mm]E_{1}:[/mm] x = [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}+\lambda\vektor{-2 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]E_{2}:[/mm] x = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}+\mu\vektor{1 \\ -3 \\ -1}[/mm]
Nein, das passt so nicht. Was du hier zuletzt angibst, sind
nicht Gleichungen für Ebenen, sondern für Geraden.
Zwar wäre der Abstand dieser beiden Geraden (so wie
in der vorherigen Aufgabe berechenbar) auch gleich dem
gesuchten Abstand zwischen den beiden Ebenen.
Aber dies ginge nun auch definitiv deutlich einfacher.
LG, Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 12.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort!
Das heißt, ich berechne den Abstand von Punkt/Ebene - so wie es auch in der Lösung angegeben ist!?
Vielen Dank
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Hallo,
> vielen Dank für die Antwort!
>
> Das heißt, ich berechne den Abstand von Punkt/Ebene - so
> wie es auch in der Lösung angegeben ist!?
Grundsätzlich ist es so:
- Der Abstand zweier paralleler Geraden lässt sich reduzieren auf das Problem Abstand Punkt-Gerade.
- Der Abstand zweier paralleler Ebenen lässt sich reduzieren auf das Problem Abstand Punkt-Ebene.
Da man für die Abstände Punkt-Gerade bzw. Punkt-Ebene Formeln hat, ist es zweckmäßig, dies zu erkennen und anzuwenden. Dass es gleich ist, welchen Punkt auf dem einen Objekt man verwendet, sollte unmittelbar klar sein.
Es lohnt sich wirklich, über solche Abstandsprobleme etwas tiefer nachzudenken. Nimm mal als Anregung den Gedanken mit, dass ein Abstand ja nichts anderes als eine Metrik ist (in diesem Fall die Euklidische Metrik) und dass es sich damit insbeondere um eine Größe handelt, die zwei Punkten zugeordnet ist. Dem entspricht die völlig banale Tatsache, dass wenn du per Zollstock eine Entfernung misst, dann befindet sich das eine Ende an einem Punkt deiner Wahl und der Punkt, an dem du die Skala abliest an einem weiteren solchen Punkt...
Gruß, Diophant
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Falls du die Ebenendarstellung in Normalenform kennst, ist dieses wohl der einfachste Weg:
Stell dir vor, die erste Gerade spießt senkrecht eine Ebene im Punkt (5|0|9) auf. Dann ist der Richtungsvektor ein Normalenvektor, und die Ebenengleichung lässt sich sofort (teilweise) an seinen Koordinaten ablesen:
E: -2x-4y+4z+k=0 mit noch unbekanntem k
Die Gleichung beschreibt alle Geraden, die von der Geraden senkrecht durchbohrt werden. Nun "schieben" wir die Ebene daran entlang, bis sie durch (5|0|9) geht, d.h., dieser Punkt soll nun in der Ebene liegen und muss deshalb die Ebenengleichung erfüllen. Also setzen wir die Koordinaten einfach ein und erhalten
E: -2*5-4*0+4*9+k=26+k=0, d.h. für k=-26 liegt der Punkt in E.
Diese Ebene wird nun von der 2. Geraden ebenfalls (senkrecht) durchbohrt, und wenn wir deren Koordinaten in die soeben erhaltene Ebenengleichung einsetzen, erhalten wir den Durchstoßpunkt.
E: [mm] -2(4+\mu)-4(6+2\mu)+4(1-2\mu)-26=0
[/mm]
[mm] -8-2\mu -24-8\mu+4-8\mu-26=0
[/mm]
[mm] -54-18\mu=0
[/mm]
[mm] \mu=-3
[/mm]
Eingesetzt in die 2. Geradengleichung ergibt das den Punkt (1|0|7).
Die eine Gerade durchstößt also die Ebene im Punkt (5|0|9), die andere in (1|0|7).
Beide Punkte und damit die beiden Geraden haben zueinander den Abstand [mm] \wurzel{20}.
[/mm]
Es wird hier viel Anschaulichkeit, aber wenig Rechnung verlangt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Mo 12.02.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Falls du die Ebenendarstellung in Normalenform kennst, ist
> dieses wohl der einfachste Weg:...
das ist wieder eine dieser der Apparatschik-Mathematik an den (deutschen) Schulen geschuldeten Fehleinschätzungen.
Die Methode mit der Hilfsebene ist so ziemlich der komplizierteste umständlichste Weg, das Problem zu lösen, dafür allerdings der anschaulichste (bzw. um genauer zu sein: der, bei dem man am wenigsten denken muss).
Den einfachsten Weg hat jedoch der Themenstarter gewählt, wie ja auch schon gesagt wurde (wenn ich mich nicht irre).
Gruß, Diophant
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Nein, an den Schulen wird auch der Weg gelehrt, bei dem man einen "allgemeinen" Vektor von einem Startpunkt auf Gerade 1 zu einem beliebigen Punkt auf Gerade 2 konstruiert und diesen dann per Diff-Rechung in seiner Länge minimiert.
Noch einfacher oder zumindest genau so einfach ist die Rechnung über das Kreuzprodukt:
Ist [mm] \vec{a} [/mm] ein Vektor, der von einer parallelen Geraden zur anderen führt, und [mm] \vec{n} [/mm] ein Richtungsvektor der Geraden, so ist
[mm] d=\bruch{|\vec{a}\times\vec{n}|}{|\vec{n}|} [/mm] der Abstand beider Geraden, hier also
mit [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 0 \\9}-\vektor{4 \\ 6 \\1}=\vektor{1 \\-6 \\8}, \vec{n}= \vektor{1 \\ 2 \\-2} [/mm] und [mm] \vec{a}\times \vec{n}=\vektor{-4 \\ 10 \\8}
[/mm]
[mm] d=\wurzel{180}/3=\wurzel{20}.
[/mm]
Die Frage ist immer, ob man ein "visueller" Typ ist, der das meiste aus der Anschauung heraus entwickelt, oder mehr ein "Gedächtnistyp", der nach Formeln sucht, die er anwenden kann.
Als ich 1970 mit dem Studium anfing, wehrten sich die Studenten gegen die verschulte Ausbildung mit der Frage" Wollen wir Rezepte-Anwender sein, oder Rezepte erfinden?"
Wenn man nur Formeln anwendet, ohne zu verstehen, wie sie entstanden sind und/oder was dahintersteckt, kommt man nicht sehr weit.
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> Nein, an den Schulen wird auch der Weg gelehrt, bei dem man
> einen "allgemeinen" Vektor von einem Startpunkt auf Gerade
> 1 zu einem beliebigen Punkt auf Gerade 2 konstruiert und
> diesen dann per Diff-Rechung in seiner Länge minimiert.
Hallo zusammen,
ich bin glücklich darüber, dass ich an einer Schule
(in der Schweiz) unterrichten durfte, wo es für derartige
und andere Aufgaben keinen irgendwie "vorgegebenen Weg"
gab, nach dem bestimmte Aufgabenarten zu lösen ge-
wesen wären ...
Deshalb habe ich seinerzeit bestimmt auch für Aufgaben
wie diese hier nicht immer (bei einer Klasse nach der
anderen) denselben Lösungsweg beschritten. Erst wenn
man selber mit den unterschiedlichen möglichen Ansätzen
experimentiert, kann man gewisse Vor- und Nachteile etwa
für deren Einsatz im Unterricht kennenlernen.
Für mich sind übrigens alle hier vorgelegten Methoden
auch "anschaulich". Bei der Formel, in welcher etwa der
Betrag eines Vektorproduktes durch den eines der Faktoren
dividiert wird, sehe ich vor meinem geistigen Auge sehr
wohl, wie hier aus dem Flächeninhalt eines Parallelogramms
durch Division durch die Länge der Grundlinie dessen Höhe
(und damit der gesuchte Geradenabstand) ermittelt wird.
Ich muss mir deshalb solche Formeln auch nicht als Formeln
einprägen, sondern muss nur an die geometrische Grundidee
(Flächeninhalt / Grundlinie = Höhe) denken.
Aufgaben wie die hier betrachtete finde ich gerade deshalb
so lehrreich, weil sie so unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten
eröffnen. Im Unterricht fehlt dann nur leider oft die Zeit, auch
wirklich mehrere Lösungswege zu besprechen und zu vergleichen.
Doch an ausgewählten Beispielen würde ich diese Vielfalt
doch immer wieder gerne einmal darlegen. Die Einsicht über
diese vielfältigen Querverflechtungen in der Mathematik war für
mich (in meiner Gymnasialzeit) tatsächlich eine wesentliche
Motivation für das Mathematikstudium.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Mo 12.02.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> ich bin glücklich darüber, dass ich an einer Schule
> (in der Schweiz) unterrichten durfte, wo es für derartige
> und andere Aufgaben keinen irgendwie "vorgegebenen Weg"
> gab, nach dem bestimmte Aufgabenarten zu lösen ge-
> wesen wären ...
Ok. Da habe ich etwas versäumt. Ich meinte grundsätzlich Mathematikunterricht an deutschen Schulen. Dass der Schulunterricht in der Schweiz fachlich besser und das Niveau höher ist als in Deutschland (oder zumindest früher war), ist glaube ich allseits bekannt.
> Deshalb habe ich seinerzeit bestimmt auch für Aufgaben
> wie diese hier nicht immer (bei einer Klasse nach der
> anderen) denselben Lösungsweg beschritten. Erst wenn
> man selber mit den unterschiedlichen möglichen Ansätzen
> experimentiert, kann man gewisse Vor- und Nachteile etwa
> für deren Einsatz im Unterricht kennenlernen.
Da bin ich völlig d'accord (und halte es im Rahmen meines Nachhilfeunterrichts soweit es geht genauso).
> Für mich sind übrigens alle hier vorgelegten Methoden
> auch "anschaulich".
Na ja, da gehen die Meinungen auseinander (was aber kein Problem sein sollte). Und da sind wir auch beim Grund dieses Beitrags. Ihr (du und HJKweseleit) habt mich falsch verstanden. Ich wollte keinesfalls kritisieren, dass alternative Lösungsansätze aufgezeigt werden. Im Gegenteil, das begrüße ich und habe auch immer schon begrüßt, dass das hier durch die Baumstruktur der Threads ja auch indirekt gefördert wird).
Ich habe bloß meiner Verwunderung Ausdruck gegeben, was HJKweseleit als 'einfachste Lösung bezeichnet' und mir erlaubt, dies als Fehleinschätzung zu bezeichnen (was natürlich meine persönliche Meinung ist).
> Bei der Formel, in welcher etwa der
> Betrag eines Vektorproduktes durch den eines der Faktoren
> dividiert wird, sehe ich vor meinem geistigen Auge sehr
> wohl, wie hier aus dem Flächeninhalt eines
> Parallelogramms
> durch Division durch die Länge der Grundlinie dessen
> Höhe
> (und damit der gesuchte Geradenabstand) ermittelt wird.
> Ich muss mir deshalb solche Formeln auch nicht als
> Formeln
> einprägen, sondern muss nur an die geometrische
> Grundidee
> (Flächeninhalt / Grundlinie = Höhe) denken.
Ja, diese Version mag ich auch am liebsten. Und sie erfordert eben das Kreuzprodukt, und das steht meist in LinAlg-Veranstaltungen nicht zur Verfügung (vermutlich, da der Zusammenhang dieses Fachgebiets mit der Geometrie ja schon lange ziemlich in den Hintergrund getreten ist).
Gruß, Diophant
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