Abstand von Ebene zu Kurve < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Alio |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle. Ich habe eine Frage bezüglich einer speziellen Kurve: der Viviani-Kurve mit [mm] \begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix} [/mm] mit [mm]u=0...2*Pi[/mm]. Diese habe ich in meiner Arbeit, die ich gerade schreibe schon mit ihren zugehörigen Rissen (Grundriss, Aufriss, Seitenriss) dargestellt. Dazu habe ich die entsprechenden Teile (x, y oder z) gleich 0 gesetzt. Nun soll ich den Riss, der auf einer beliebigen Ebene, die sich auch noch irgendwie im Raum bewegt darstellen. Doch wie gehe ich jetzt vor?
Meine Idee wäre, den minimalen Abstand der Kurve zu der Ebene [mm]E:x+y+3*z=4[/mm] zu berechnen. Dazu habe ich jetzt die Ebene in die Hessesche Normalform gebracht:
[mm]\begin{pmatrix}x\\4-x-3*z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+x*\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+z*\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}[/mm]
Um jetzt den Abstand zu berechnen müsste ich doch die Differenz bilden und diese dann ableiten. Doch ich weiß nicht, wie ich die Differenz aus Kurve und Ebene bilden soll. Kann mir da mal vielleicht jemand ein Tipp geben, wie das aussehen könnte?
Vielen Dank schon mal!
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Hallo Alio, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich habe erstmal nur eine Nachfrage und einen guten Link (der weitere enthält).
> Hallo an alle. Ich habe eine Frage bezüglich einer
> speziellen Kurve: der Viviani-Kurve mit
> [mm]\begin{pmatrix}cos^2(u)\\
cos(u)*sin(u)\\
sin(u)\end{pmatrix}[/mm]
> mit [mm]u=0...2*Pi[/mm]. Diese habe ich in meiner Arbeit, die ich
> gerade schreibe schon mit ihren zugehörigen Rissen
> (Grundriss, Aufriss, Seitenriss) dargestellt. Dazu habe ich
> die entsprechenden Teile (x, y oder z) gleich 0 gesetzt.
> Nun soll ich den Riss, der auf einer beliebigen Ebene, die
> sich auch noch irgendwie im Raum bewegt darstellen. Doch
> wie gehe ich jetzt vor?
Im technischen Zeichnen ist ein "Riss" nichts weiter als die Parallelprojektion eines räumlichen Gebildes (sei es Bauwerk oder Werkstück oder...) in eine bestimmte Ebene, wobei zwischen sichtbaren und unsichtbaren Flächen (und Linien) unterschieden wird. Je nach Zweck der Zeichnung werden die unsichtbaren Linien z.B. gestrichelt wiedergegeben, oder eben gar nicht.
> Meine Idee wäre, den minimalen Abstand der Kurve zu der
> Ebene [mm]E:x+y+3*z=4[/mm] zu berechnen.
Daher die Nachfrage. Für eine Projektion brauchst Du den Abstand der Kurve zur Ebene doch überhaupt nicht. Ich würde vereinfachend hier davon ausgehen, dass die Betrachtungsrichtung senkrecht zur Ebene liegt, der Projektionsrichtungsvektor also zugleich ein Normalenvektor der Ebene ist.
> Dazu habe ich jetzt die
> Ebene in die Hessesche Normalform gebracht:
>
> [mm]\begin{pmatrix}x\\
4-x-3*z\\
z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
4\\
0\end{pmatrix}+x*\begin{pmatrix}1\\
-1\\
0\end{pmatrix}+z*\begin{pmatrix}0\\
-3\\
1\end{pmatrix}[/mm]
> Um jetzt den Abstand zu berechnen müsste ich doch die
> Differenz bilden und diese dann ableiten. Doch ich weiß
> nicht, wie ich die Differenz aus Kurve und Ebene bilden
> soll. Kann mir da mal vielleicht jemand ein Tipp geben, wie
> das aussehen könnte?
>
> Vielen Dank schon mal!
So, und ![[]](/images/popup.gif) hier noch der versprochene Link. Wenn Du da nach ganz unten scrollst, findest Du eine Liste mit weiteren Links, darunter z.B. auch ein Applet, das u.a. gerade die Viviani-Kurve als Beispiel "eingebaut" hat. Die gleiche Seite, die das Applet bereitstellt, hat auch einen guten Theorieteil zur Frage der Projektion von Raumkurven.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Alio |
Es tut mir leid, dass es bei mir etwas länger dauert... Muss mich erst zurechtfinden... Aber danke für deine schnelle Antwort!
Die üblichen Risse (wie sie auch in deinem ersten Link dargestellt sind) sind Projektionen auf entweder die xy-Ebene, die xz-Ebene oder die yz-Ebene. Das habe ich ja noch hinbekommen.
Leider habe ich Schwierigkeiten, das Applet zu öffnen. Trotzdem, dass ich noch Java installiert habe, bekomme ich eine Fehlermeldung.
Meine Problematik ist aber, dass jetzt nicht eine der drei üblichen Projektionen gezeigt werden soll, sondern eine Projektion auf eine beliebige Ebene, die ich als [mm]E:x+y+3*z=4[/mm] gewählt habe. Diese Ebene soll quasi wie ein Spiegel im Raum bewegen und das Bild der Viviani-Kurve einfangen. Somit wird die dreidimensionale Kurve nun zweidimensional abgebildet. Ich dachte nun, (da ich das Ganze auch noch in Maple darstellen muss) berechne ich den minimalen Abstand der Viviani-Kurve zur Ebene. Dabei wollte ich über die Differenz gehen, wie man das auch bei Abstand von Punkt-Gerade oder ähnlichem macht
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Hallo Alio,
> Es tut mir leid, dass es bei mir etwas länger dauert...
> Muss mich erst zurechtfinden... Aber danke für deine
> schnelle Antwort!
> Die üblichen Risse (wie sie auch in deinem ersten Link
> dargestellt sind) sind Projektionen auf entweder die
> xy-Ebene, die xz-Ebene oder die yz-Ebene. Das habe ich ja
> noch hinbekommen.
>
> Leider habe ich Schwierigkeiten, das Applet zu öffnen.
> Trotzdem, dass ich noch Java installiert habe, bekomme ich
> eine Fehlermeldung.
Hm. Da kann ich Dir nicht helfen. Es gibt da aber irgendwo Hinweise, was der Browser erfüllen muss, damit das Applet läuft.
Trotzdem sind wahrscheinlich die Erläuterungen zur Funktionsweise des Applets hilfreicher für Dich.
> Meine Problematik ist aber, dass jetzt nicht eine der drei
> üblichen Projektionen gezeigt werden soll, sondern eine
> Projektion auf eine beliebige Ebene, die ich als
> [mm]E:x+y+3*z=4[/mm] gewählt habe. Diese Ebene soll quasi wie ein
> Spiegel im Raum bewegen und das Bild der Viviani-Kurve
> einfangen. Somit wird die dreidimensionale Kurve nun
> zweidimensional abgebildet. Ich dachte nun, (da ich das
> Ganze auch noch in Maple darstellen muss) berechne ich den
> minimalen Abstand der Viviani-Kurve zur Ebene. Dabei wollte
> ich über die Differenz gehen, wie man das auch bei Abstand
> von Punkt-Gerade oder ähnlichem macht
Wozu? Bei einer Parallelprojektion ist der Abstand doch vollkommen unerheblich!
Es gibt zwei mögliche Wege:
1) Du projizierst jeden Punkt der Kurve in die gewählte Ebene. Dazu legst Du durch den betreffenden Punkt eine Gerade in Richtung des Normalenvektors der Ebene und bestimmst den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene.
2) Du führst eine Koordinatentransformation von Kurve und Ebene durch, so dass die Ebene in den neuen Koordinaten eine Koordinatenebene wird (bzw. parallel zu einer neuen Koordinatenebene liegt). Ein Kurvenpunkt in den neuen Koordinaten ist dann ja leicht in die Ebene zu projizieren, indem man einfach die dritte Koordinate "weglässt".
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Alio |
1) Du projizierst jeden Punkt der Kurve in die gewählte Ebene. Dazu legst Du durch den betreffenden Punkt eine Gerade in Richtung des Normalenvektors der Ebene und bestimmst den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene.
In meiner Vorstellung seh ich das genau vor mir. Doch gibt es dazu mögliche Rechnungen, die ich anstellen kann? Wenn ich beispielsweise einen Punkt von der Kurve nehme, wie sieht der dann aus, wenn die Kurve [mm][mm] \begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix} [/mm] als Darstellung hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mi 26.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Punkt der kurve ist ein u aus dem Definitionsbereich, dadurch legst du die Gerade inNormalenrichtung und schneidest mit der Ebene, odereben die Koordinatentransformation.
bitte bezieh dich doch in Antworten auf die vorigen posts, es ist schwer zu sehen,wasdu verstanden hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Alio |
>Hallo
>ein Punkt der kurve ist ein u aus dem Definitionsbereich, dadurch legst >du die Gerade in Normalenrichtung und schneidest mit der Ebene, >odereben die Koordinatentransformation.
Wenn also mein Definitionsbereich [mm]0...2*Pi[/mm] ist könnte also ein möglicher Punkt [mm] \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} [/mm] lauten.
Bedeutet "schneiden mit der Ebene", dass ich dann die Ebene und den Punkt gleichsetze?
>bitte bezieh dich doch in Antworten auf die vorigen posts, es ist schwer >zu sehen,wasdu verstanden hast.
>Gruss leduart
Sorry, doch wenn man neu ist, dauert es ein wenig, bis man den Durchblick hat...
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Hallo nochmal,
benutz doch einfach die Zitierfunktion, die der Editor bereithält.
> >ein Punkt der kurve ist ein u aus dem Definitionsbereich,
> dadurch legst >du die Gerade in Normalenrichtung und
> schneidest mit der Ebene, >odereben die
> Koordinatentransformation.
>
> Wenn also mein Definitionsbereich [mm]0...2*Pi[/mm] ist könnte also
> ein möglicher Punkt [mm]\begin{pmatrix}1\\
0\\
0\end{pmatrix}[/mm]
> lauten.
Ja, aber Du kannst ruhig einen allgemeinen Punkt [mm] \vec{p}=\vektor{\cos^2{(u)}\\\sin{(u)}*\cos{(u)}\\\sin{(u)}} [/mm] nehmen.
Sei die Ebene nun [mm] $E:\;\vec{x}*\vec{n}=d$.
[/mm]
Die Gerade durch [mm] \vec{p} [/mm] sei [mm] $g:\;\vec{x}=\vec{p}+k*\vec{n}$ [/mm] mit [mm] k\in\IR.
[/mm]
Dann muss der Schnittpunkt [mm] \vec{p}\;' [/mm] von Gerade und Ebene, also der in die Ebene projizierte Kurvenpunkt, also erfüllen
[mm] \vec{p}\;'*\vec{n}=(\vec{p}+k*\vec{n})*\vec{n}=d
[/mm]
[mm] \gdw\;\;k*\vec{n}*\vec{n}=k*|\vec{n}|^2=d-\vec{p}*\vec{n}
[/mm]
[mm] \gdw\;\;k=\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}
[/mm]
und damit [mm] \vec{p}\;'=\vec{p}+\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}*\vec{n}
[/mm]
Verwendet man einen normierten Normalenvektor, so ist [mm] |\vec{n}|^2=1, [/mm] wodurch sich die Gleichung noch einmal vereinfacht.
Grüße
reverend
> Bedeutet "schneiden mit der Ebene", dass ich dann die
> Ebene und den Punkt gleichsetze?
>
> >bitte bezieh dich doch in Antworten auf die vorigen posts,
> es ist schwer >zu sehen,wasdu verstanden hast.
> >Gruss leduart
>
> Sorry, doch wenn man neu ist, dauert es ein wenig, bis man
> den Durchblick hat...
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Alio |
> Ja, aber Du kannst ruhig einen allgemeinen Punkt
> [mm]\vec{p}=\vektor{\cos^2{(u)}\\\sin{(u)}*\cos{(u)}\\\sin{(u)}}[/mm]
> nehmen.
>
> Sei die Ebene nun [mm]E:\;\vec{x}*\vec{n}=d[/mm].
> Die Gerade durch [mm]\vec{p}[/mm] sei [mm]g:\;\vec{x}=\vec{p}+k*\vec{n}[/mm]
> mit [mm]k\in\IR.[/mm]
>
> Dann muss der Schnittpunkt [mm]\vec{p}\;'[/mm] von Gerade und Ebene,
> also der in die Ebene projizierte Kurvenpunkt, also
> erfüllen
>
> [mm]\vec{p}\;'*\vec{n}=(\vec{p}+k*\vec{n})*\vec{n}=d[/mm]
>
> [mm]\gdw\;\;k*\vec{n}*\vec{n}=k*|\vec{n}|^2=d-\vec{p}*\vec{n}[/mm]
>
> [mm]\gdw\;\;k=\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}[/mm]
>
> und damit
> [mm]\vec{p}\;'=\vec{p}+\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}*\vec{n}[/mm]
>
> Verwendet man einen normierten Normalenvektor, so ist
> [mm]|\vec{n}|^2=1,[/mm] wodurch sich die Gleichung noch einmal
> vereinfacht.
>
> Grüße
> reverend
>
Zitierfunktion gefunden 
Vielen Dank reverend! Ich werde mich jetzt mal voll und ganz deiner Antwort widmen!
Ich hoffe, ich kriege es hin!
Viele liebe Grüße und vielleicht bis bald!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Alio |
Hallo! Ich beziehe mich auf gestrige Frage, in der ich rausfinden wollte, wie ich das Bild der Viviani-Kurve mit der Darstellung [mm] \begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix} [/mm] mit [mm]u=0...2*Pi[/mm] auf eine beliebige Ebene darstellen kann. Wichtig: die Ebene soll sich im Raum bewegen und sozusagen ein Spiegel sein, der das Bild der Kurve ständig einfängt... Ich hoffe, die Erklärung war verständlich...
Jetzt habe ich mich mit der Antwort von reverend lange beschäftigt, aber hänge noch ein wenig...
> Ja, aber Du kannst ruhig einen allgemeinen Punkt
> [mm]\vec{p}=\vektor{\cos^2{(u)}\\\sin{(u)}*\cos{(u)}\\\sin{(u)}}[/mm]
> nehmen.
Habe diesen Punkt gewählt...
> Sei die Ebene nun [mm]E:\;\vec{x}*\vec{n}=d[/mm].
Habe die Ebene [mm]E: x+y+3*z=6[/mm] gewählt.
> Die Gerade durch [mm]\vec{p}[/mm] sei [mm]g:\;\vec{x}=\vec{p}+k*\vec{n}[/mm]
> mit [mm]k\in\IR.[/mm]
Die Gerade durch [mm]\vec p[/mm] lautet: [mm]g: \vec x=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
> Dann muss der Schnittpunkt [mm]\vec{p}\;'[/mm] von Gerade und Ebene,
> also der in die Ebene projizierte Kurvenpunkt, also
> erfüllen
>
> [mm]\vec{p}\;'*\vec{n}=(\vec{p}+k*\vec{n})*\vec{n}=d[/mm]
>
> [mm]\gdw\;\;k*\vec{n}*\vec{n}=k*|\vec{n}|^2=d-\vec{p}*\vec{n}[/mm]
>
> [mm]\gdw\;\;k=\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}[/mm]
>
> und damit
> [mm]\vec{p}\;'=\vec{p}+\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}*\vec{n}[/mm]
Bin jetzt so vorgegangen:
[mm] \vec p'*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=(\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix})*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=6
[/mm]
[mm] \gdw k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=6
[/mm]
[mm] \gdw k*11=6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \gdw k=\bruch{6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{11}
[/mm]
damit ist:
[mm] \vec p'=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+\bruch{6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{11}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}
[/mm]
Mein Problem ist aber jetzt, dass bei diesem Ergebnis (habe es mal mit Maple geplottet) wieder was dreidimensionales rauskommt und auch gar nicht auf der Ebene liegt. Eigentlich muss ja was zweidimensionales rauskommen, da es ja nur um das Bild geht. Irgendwo habe ich ein Fehler gemacht, könnt ihr ihn sehen?
> Verwendet man einen normierten Normalenvektor, so ist
> [mm]|\vec{n}|^2=1,[/mm] wodurch sich die Gleichung noch einmal
> vereinfacht.
Habe ich auch ausprobiert. Das Ergebnis lautete dann:
[mm] \vec p'=\begin{pmatrix}0\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}
[/mm]
Dann hatte es aber gar nix mehr mit der Ebene zu tun...
Ich verzweifle bald...
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Hallo Alio,
> Hallo! Ich beziehe mich auf gestrige Frage, in der ich
> rausfinden wollte, wie ich das Bild der Viviani-Kurve mit
> der Darstellung
> [mm]\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}[/mm]
> mit [mm]u=0...2*Pi[/mm] auf eine beliebige Ebene darstellen kann.
> Wichtig: die Ebene soll sich im Raum bewegen und sozusagen
> ein Spiegel sein, der das Bild der Kurve ständig
> einfängt... Ich hoffe, die Erklärung war verständlich...
>
>
> Jetzt habe ich mich mit der Antwort von reverend lange
> beschäftigt, aber hänge noch ein wenig...
>
> > Ja, aber Du kannst ruhig einen allgemeinen Punkt
> >
> [mm]\vec{p}=\vektor{\cos^2{(u)}\\\sin{(u)}*\cos{(u)}\\\sin{(u)}}[/mm]
> > nehmen.
> Habe diesen Punkt gewählt...
>
> > Sei die Ebene nun [mm]E:\;\vec{x}*\vec{n}=d[/mm].
> Habe die Ebene [mm]E: x+y+3*z=6[/mm] gewählt.
>
> > Die Gerade durch [mm]\vec{p}[/mm] sei [mm]g:\;\vec{x}=\vec{p}+k*\vec{n}[/mm]
> > mit [mm]k\in\IR.[/mm]
> Die Gerade durch [mm]\vec p[/mm] lautet: [mm]g: \vec x=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> > Dann muss der Schnittpunkt [mm]\vec{p}\;'[/mm] von Gerade und Ebene,
> > also der in die Ebene projizierte Kurvenpunkt, also
> > erfüllen
> >
> > [mm]\vec{p}\;'*\vec{n}=(\vec{p}+k*\vec{n})*\vec{n}=d[/mm]
> >
> > [mm]\gdw\;\;k*\vec{n}*\vec{n}=k*|\vec{n}|^2=d-\vec{p}*\vec{n}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw\;\;k=\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}[/mm]
> >
> > und damit
> >
> [mm]\vec{p}\;'=\vec{p}+\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}*\vec{n}[/mm]
>
> Bin jetzt so vorgegangen:
> [mm]\vec p'*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=(\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix})*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=6[/mm]
>
> [mm]\gdw k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=6[/mm]
>
> [mm]\gdw k*11=6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\gdw k=\bruch{6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{11}[/mm]
>
> damit ist:
> [mm]\vec p'=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+\bruch{6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{11}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> Mein Problem ist aber jetzt, dass bei diesem Ergebnis (habe
> es mal mit Maple geplottet) wieder was dreidimensionales
> rauskommt und auch gar nicht auf der Ebene liegt.
Daß hier etwas dreidimensionales herauskommt ist klar,
da die gegebene Ebene im Raum liegt.
Wenn Du das so rechnest:
[mm]\vec p'=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+\bruch{\blue{(}6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\blue{)}}{11}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
Dann liegt das auch auf der Ebene.
> Eigentlich muss ja was zweidimensionales rauskommen, da es
> ja nur um das Bild geht. Irgendwo habe ich ein Fehler
> gemacht, könnt ihr ihn sehen?
>
> > Verwendet man einen normierten Normalenvektor, so ist
> > [mm]|\vec{n}|^2=1,[/mm] wodurch sich die Gleichung noch einmal
> > vereinfacht.
>
> Habe ich auch ausprobiert. Das Ergebnis lautete dann:
> [mm]\vec p'=\begin{pmatrix}0\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann hatte es aber gar nix mehr mit der Ebene zu tun...
>
> Ich verzweifle bald...
>
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:42 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Alio |
Hallo MathePower!
Erst einmal danke für deine Antwort!
Verstehe ich dich richtig, dass ich grundsätzlich die Rechnung gar nicht mal so falsch habe...? Jetzt weiß ich nur nicht, wie ich es hinbekomme, dass die Ebene quasi als Spiegel fungiert, die das Bild der Kurve einfängt. Ich möchte nämlich einen "Riss" der Kurve auf diese Ebene darstellen. (Grundriss, Aufriss und Seitenriss habe ich schon dargestellt, indem ich entsprechend x, y oder z gleich 0 gesetzt habe). Nun das Ganze halt auf einer sich im Raum bewegenden Ebene... Aber das, was ich da habe kann irgendwie nicht sein... Hat jemand eine Idee, was ich ändern könnte?
> Hallo Alio,
>
> > Hallo! Ich beziehe mich auf gestrige Frage, in der ich
> > rausfinden wollte, wie ich das Bild der Viviani-Kurve mit
> > der Darstellung
> > [mm]\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}[/mm]
> > mit [mm]u=0...2*Pi[/mm] auf eine beliebige Ebene darstellen kann.
> > Wichtig: die Ebene soll sich im Raum bewegen und sozusagen
> > ein Spiegel sein, der das Bild der Kurve ständig
> > einfängt... Ich hoffe, die Erklärung war verständlich...
> >
> >
> > Jetzt habe ich mich mit der Antwort von reverend lange
> > beschäftigt, aber hänge noch ein wenig...
> >
> > > Ja, aber Du kannst ruhig einen allgemeinen Punkt
> > >
> >
> [mm]\vec{p}=\vektor{\cos^2{(u)}\\\sin{(u)}*\cos{(u)}\\\sin{(u)}}[/mm]
> > > nehmen.
> > Habe diesen Punkt gewählt...
> >
> > > Sei die Ebene nun [mm]E:\;\vec{x}*\vec{n}=d[/mm].
> > Habe die Ebene [mm]E: x+y+3*z=6[/mm] gewählt.
> >
> > > Die Gerade durch [mm]\vec{p}[/mm] sei [mm]g:\;\vec{x}=\vec{p}+k*\vec{n}[/mm]
> > > mit [mm]k\in\IR.[/mm]
> > Die Gerade durch [mm]\vec p[/mm] lautet: [mm]g: \vec x=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > > Dann muss der Schnittpunkt [mm]\vec{p}\;'[/mm] von Gerade und Ebene,
> > > also der in die Ebene projizierte Kurvenpunkt, also
> > > erfüllen
> > >
> > > [mm]\vec{p}\;'*\vec{n}=(\vec{p}+k*\vec{n})*\vec{n}=d[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw\;\;k*\vec{n}*\vec{n}=k*|\vec{n}|^2=d-\vec{p}*\vec{n}[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw\;\;k=\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}[/mm]
> > >
> > > und damit
> > >
> >
> [mm]\vec{p}\;'=\vec{p}+\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}*\vec{n}[/mm]
> >
> > Bin jetzt so vorgegangen:
> > [mm]\vec p'*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=(\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix})*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=6[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=6[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw k*11=6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw k=\bruch{6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{11}[/mm]
>
> >
> > damit ist:
> > [mm]\vec p'=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+\bruch{6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{11}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Mein Problem ist aber jetzt, dass bei diesem Ergebnis (habe
> > es mal mit Maple geplottet) wieder was dreidimensionales
> > rauskommt und auch gar nicht auf der Ebene liegt.
>
>
> Daß hier etwas dreidimensionales herauskommt ist klar,
> da die gegebene Ebene im Raum liegt.
>
> Wenn Du das so rechnest:
>
> [mm]\vec p'=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+\bruch{\blue{(}6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\blue{)}}{11}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Dann liegt das auch auf der Ebene.
>
>
> > Eigentlich muss ja was zweidimensionales rauskommen, da es
> > ja nur um das Bild geht. Irgendwo habe ich ein Fehler
> > gemacht, könnt ihr ihn sehen?
> >
> > > Verwendet man einen normierten Normalenvektor, so ist
> > > [mm]|\vec{n}|^2=1,[/mm] wodurch sich die Gleichung noch einmal
> > > vereinfacht.
> >
> > Habe ich auch ausprobiert. Das Ergebnis lautete dann:
> > [mm]\vec p'=\begin{pmatrix}0\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Dann hatte es aber gar nix mehr mit der Ebene zu tun...
> >
> > Ich verzweifle bald...
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Alio,
> Hallo MathePower!
>
> Erst einmal danke für deine Antwort!
> Verstehe ich dich richtig, dass ich grundsätzlich die
> Rechnung gar nicht mal so falsch habe...? Jetzt weiß ich
Ja, das verstehst Du richtig.
> nur nicht, wie ich es hinbekomme, dass die Ebene quasi als
> Spiegel fungiert, die das Bild der Kurve einfängt. Ich
> möchte nämlich einen "Riss" der Kurve auf diese Ebene
> darstellen. (Grundriss, Aufriss und Seitenriss habe ich
> schon dargestellt, indem ich entsprechend x, y oder z
> gleich 0 gesetzt habe). Nun das Ganze halt auf einer sich
> im Raum bewegenden Ebene... Aber das, was ich da habe kann
> irgendwie nicht sein... Hat jemand eine Idee, was ich
> ändern könnte?
>
>
> > Hallo Alio,
> >
> > > Hallo! Ich beziehe mich auf gestrige Frage, in der ich
> > > rausfinden wollte, wie ich das Bild der Viviani-Kurve mit
> > > der Darstellung
> > > [mm]\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}[/mm]
> > > mit [mm]u=0...2*Pi[/mm] auf eine beliebige Ebene darstellen kann.
> > > Wichtig: die Ebene soll sich im Raum bewegen und sozusagen
> > > ein Spiegel sein, der das Bild der Kurve ständig
> > > einfängt... Ich hoffe, die Erklärung war verständlich...
> > >
> > >
> > > Jetzt habe ich mich mit der Antwort von reverend lange
> > > beschäftigt, aber hänge noch ein wenig...
> > >
> > > > Ja, aber Du kannst ruhig einen allgemeinen Punkt
> > > >
> > >
> >
> [mm]\vec{p}=\vektor{\cos^2{(u)}\\\sin{(u)}*\cos{(u)}\\\sin{(u)}}[/mm]
> > > > nehmen.
> > > Habe diesen Punkt gewählt...
> > >
> > > > Sei die Ebene nun [mm]E:\;\vec{x}*\vec{n}=d[/mm].
> > > Habe die Ebene [mm]E: x+y+3*z=6[/mm] gewählt.
> > >
> > > > Die Gerade durch [mm]\vec{p}[/mm] sei [mm]g:\;\vec{x}=\vec{p}+k*\vec{n}[/mm]
> > > > mit [mm]k\in\IR.[/mm]
> > > Die Gerade durch [mm]\vec p[/mm] lautet: [mm]g: \vec x=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > > Dann muss der Schnittpunkt [mm]\vec{p}\;'[/mm] von Gerade und Ebene,
> > > > also der in die Ebene projizierte Kurvenpunkt, also
> > > > erfüllen
> > > >
> > > > [mm]\vec{p}\;'*\vec{n}=(\vec{p}+k*\vec{n})*\vec{n}=d[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\gdw\;\;k*\vec{n}*\vec{n}=k*|\vec{n}|^2=d-\vec{p}*\vec{n}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\gdw\;\;k=\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}[/mm]
> > > >
> > > > und damit
> > > >
> > >
> >
> [mm]\vec{p}\;'=\vec{p}+\bruch{d-\vec{p}*\vec{n}}{|\vec{n}|^2}*\vec{n}[/mm]
> > >
> > > Bin jetzt so vorgegangen:
> > > [mm]\vec p'*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=(\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix})*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=6[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\gdw k*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=6[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\gdw k*11=6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\gdw k=\bruch{6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{11}[/mm]
>
> >
> > >
> > > damit ist:
> > > [mm]\vec p'=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+\bruch{6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{11}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Mein Problem ist aber jetzt, dass bei diesem Ergebnis (habe
> > > es mal mit Maple geplottet) wieder was dreidimensionales
> > > rauskommt und auch gar nicht auf der Ebene liegt.
> >
> >
> > Daß hier etwas dreidimensionales herauskommt ist klar,
> > da die gegebene Ebene im Raum liegt.
> >
> > Wenn Du das so rechnest:
> >
> > [mm]\vec p'=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+\bruch{\blue{(}6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\blue{)}}{11}*\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> >
> > Dann liegt das auch auf der Ebene.
> >
> >
> > > Eigentlich muss ja was zweidimensionales rauskommen, da es
> > > ja nur um das Bild geht. Irgendwo habe ich ein Fehler
> > > gemacht, könnt ihr ihn sehen?
> > >
> > > > Verwendet man einen normierten Normalenvektor, so ist
> > > > [mm]|\vec{n}|^2=1,[/mm] wodurch sich die Gleichung noch einmal
> > > > vereinfacht.
> > >
> > > Habe ich auch ausprobiert. Das Ergebnis lautete dann:
> > > [mm]\vec p'=\begin{pmatrix}0\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dann hatte es aber gar nix mehr mit der Ebene zu tun...
> > >
> > > Ich verzweifle bald...
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 30.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Sa 29.12.2012 | | Autor: | leduart |
allo alio
deine Ebene liegt im Raum, also auch dein "Spiegel".Wenn du jetzt dieses bild auf deinem 2d bildschirm ziegen willst, musst du die Ebene
in deine bildschirmebene, wahrscheinlich die x-y Ebene drehen. Dann waere es besser, garnicht erst die projektion zu berechnen, sondern gleih eine koordinatentransformation zu machen, die die ebene in die x-y ebene dreht, deine Viviani Kurve mit und dann wieder einfach die z-Komponente weglassen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Alio |
Ich habe nun weiter über mein Problem nachgedacht und habe wieder eine Frage:
Normalerweise wird der Abstand beispielsweise von Punkt-Ebene ja folgendermaßen berechnet:
[mm]E:n_1*x+n_2*y+n_3*z=a[/mm]
[mm]\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}[/mm]
[mm]|\vec n|=\wurzel((n_1)^2+(n_2)^2+(n_3)^2)[/mm]
[mm]d=\bruch{n_1*x+n_2*y+n_3*z}{|\vec n|}[/mm]
Kann ich dies auf den Abstand Kurve-Ebene übertragen? wie könnte das dann im Ansatz aussehen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mi 26.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
hast Du meine Antwort gelesen?
Wozu brauchst Du den Abstand?
Für die Lösung Deiner Aufgabe ist der nutzlos.
Grüße
reverend
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> Hallo an alle. Ich habe eine Frage bezüglich einer
> speziellen Kurve: der Viviani-Kurve mit
> [mm]\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}[/mm]
> mit [mm]u=0...2*Pi[/mm].
> Meine Idee wäre, den minimalen Abstand der Kurve zu der
> Ebene [mm]E:x+y+3*z=4[/mm] zu berechnen. Dazu habe ich jetzt die
> Ebene in die Hessesche Normalform gebracht:
>
> [mm]\begin{pmatrix}x\\4-x-3*z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+x*\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+z*\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Dies hat mit Hessescher Normalform so gut wie nichts
zu tun ...
Falls du wirklich die Punkte der Kurve mit minimalem
Abstand von der Ebene bestimmen möchtest (was aber
wohl nicht wirklich die eigentliche Aufgabe ist),
ginge dies recht einfach. Da alle zu E parallelen Ebenen
Gleichungen der Form x+y+3z-4=C (mit [mm] C\in\IR) [/mm] haben
und C linear vom Abstand dieser neuen Ebene von E
abhängig ist, müsstest du nur diejenigen Punkte auf
der Kurve suchen, für welche der Term |x+y+3z| , also
$\ T(u)\ =\ [mm] |\,cos^2(u)+cos(u)*sin(u)+3*sin(u)-4\,|$
[/mm]
minimal wird.
LG, Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Alio |
Hallo Al-Chwarizmi!
> > Hallo an alle. Ich habe eine Frage bezüglich einer
> > speziellen Kurve: der Viviani-Kurve mit
> > [mm]\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}[/mm]
> > mit [mm]u=0...2*Pi[/mm].
>
> > Meine Idee wäre, den minimalen Abstand der Kurve zu der
> > Ebene [mm]E:x+y+3*z=4[/mm] zu berechnen. Dazu habe ich jetzt die
> > Ebene in die Hessesche Normalform gebracht:
> >
> >
> [mm]\begin{pmatrix}x\\4-x-3*z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+x*\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+z*\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Dies hat mit Hessescher Normalform so gut wie nichts
> zu tun ...
>
> Falls du wirklich die Punkte der Kurve mit minimalem
> Abstand von der Ebene bestimmen möchtest (was aber
> wohl nicht wirklich die eigentliche Aufgabe ist),
> ginge dies recht einfach. Da alle zu E parallelen Ebenen
> Gleichungen der Form x+y+3z-4=C (mit [mm]C\in\IR)[/mm] haben
> und C linear vom Abstand dieser neuen Ebene von E
> abhängig ist, müsstest du nur diejenigen Punkte auf
> der Kurve suchen, für welche der Term |x+y+3z| , also
>
> [mm]\ T(u)\ =\ |\,cos^2(u)+cos(u)*sin(u)+3*sin(u)-4\,|[/mm]
>
> minimal wird.
> LG, Al-Chw.
>
Ich glaube, genau das müsste ich machen. Wenn ich nämlich die Punkte finde, dann habe ich doch dadurch, dass ich den kleinsten Abstand habe, die Projektionspunkte gefunden und kann somit die so entstehende Kurve zeichnen lassen, oder? Jetzt stellt sich mir nur die Frage, gibt es eine bestimmte Vorgehensweise, wie ich die Punkte bestimmen kann?
Liebe Grüße, Alio
>
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> Hallo Al-Chwarizmi!
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> > > Hallo an alle. Ich habe eine Frage bezüglich einer
> > > speziellen Kurve: der Viviani-Kurve mit
> > > [mm]\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)*sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}[/mm]
> > > mit [mm]u=0...2*Pi[/mm].
> >
> > > Meine Idee wäre, den minimalen Abstand der Kurve zu der
> > > Ebene [mm]E:x+y+3*z=4[/mm] zu berechnen. Dazu habe ich jetzt die
> > > Ebene in die Hessesche Normalform gebracht:
> > >
> > >
> >
> [mm]\begin{pmatrix}x\\4-x-3*z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+x*\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+z*\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}[/mm]
> >
> >
> > Dies hat mit Hessescher Normalform so gut wie nichts
> > zu tun ...
> >
> > Falls du wirklich die Punkte der Kurve mit minimalem
> > Abstand von der Ebene bestimmen möchtest (was aber
> > wohl nicht wirklich die eigentliche Aufgabe ist),
> > ginge dies recht einfach. Da alle zu E parallelen
> Ebenen
> > Gleichungen der Form x+y+3z-4=C (mit [mm]C\in\IR)[/mm] haben
> > und C linear vom Abstand dieser neuen Ebene von E
> > abhängig ist, müsstest du nur diejenigen Punkte auf
> > der Kurve suchen, für welche der Term |x+y+3z| , also
> >
> > [mm]\ T(u)\ =\ |\,cos^2(u)+cos(u)*sin(u)+3*sin(u)-4\,|[/mm]
> >
> > minimal wird.
>
> > LG, Al-Chw.
> >
> Ich glaube, genau das müsste ich machen. Wenn ich nämlich
> die Punkte finde, dann habe ich doch dadurch, dass ich den
> kleinsten Abstand habe, die Projektionspunkte gefunden und
> kann somit die so entstehende Kurve zeichnen lassen, oder?
Nein !
dann hättest du jene (ganz wenigen - vermutlich nur einen
einzigen) Punkt(e) der Kurve, welche von der Ebene minimalen
Abstand haben.
Aber du willst doch, wenn ich das recht verstanden habe, die
gesamte Kurve auf die Ebene projizieren. Das machst du am
besten, indem du etwa eines der von reverend vorgeschlagenen
Rezepte in die Tat umsetzt.
LG, Al-Chw.
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