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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mo 02.03.2009 | | Autor: | sunny9 |
| Aufgabe | | Zeichnen Sie ein Schrägbild eines Würfels mit der Kantenlänge a, der Grundfläche ABCD und der Raumdiagonalen [mm] \bar [/mm] AG. Berechnen Sie den Abstand dieser Raumdiagonalen [mm] \bar [/mm] AG und der Flächendiagonalen [mm] \bar [/mm] BD. Wählen Sie dazu das Koordinatensystem geschickt. |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe versucht zu lösen. Meine Lösung ist auch komplett, nur leider scheint sie falsch zu sein.
Ich wäre sehr dankbar darüber, wenn jemand sie korigieren könnte und mir vorallem auch sagen könnte, warum es so nicht geht, wie ich es machen wollte. Meine Zeichnung hänge ich mit dran.
Meine Lösung:
Punkte: B(a/0/0), D(0/a/0), A(0/0/0), G(a/a/a)
Geradengleichungen aufstellen: [mm] g:\vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] h:\vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} a \\ -a \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Dann hab ich das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren gebildet: [mm] \begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix} [/mm] [mm] \times \begin{pmatrix} a \\ -a \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a*0-a*(-a) \\ a*a-a*0 \\ a*(-a)-a*a \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ -a^4 \end{pmatrix}
[/mm]
Dann hab ich den Betrag davon gebildet:
[mm] \wurzel{(a^2)^2+(a^2)^2+(-a^4)^2}
[/mm]
Ja, und irgendwas ist falsch oder es geht auch gleich ganz anders. Vielen Dank schon mal und viele Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo sunny,
dein Kreuzprodukt ist falsch (3. Komponente).
Weil in der Aufgabenstellung etwas von geschickter
Wahl des Koordinatensystems steht, habe ich mir
eine noch etwas unkonventionellere Wahl vorge-
stellt, bei der man dann mit sehr einfachen Mitteln
und ohne eigentliche Vektorgeometrie auskommt:
Nullpunkt in A, z-Achse durch E, x-Achse durch C !
Die interessierenden Punkte haben dann die Koor-
dinaten A(0/0/0), [mm] C(a\wurzel{2}/0/0) [/mm] , [mm] G(a\wurzel{2}/0/a) [/mm] .
Ich zeichne nur die x-z-Ebene, denn in dieser liegt
die Körperdiagonale k=AG sowie die gesuchte kürzeste
Transversale der Länge d. Sie erscheint im Dreieck
ACG als Lot vom Mittelpunkt M der Flächendiago-
nalen AC auf die Hypotenuse k (Fusspunkt P). Ihre
Länge kann man dann durch eine einfache Ähnlich-
keitsüberlegung bestimmen, denn die Dreiecke
ACG und AFP (Reihenfolge beachten!) sind ähnlich,
und es gilt:
[mm] \underbrace{\overline{MF}}_{\textbf{\red{d}}}:\overline{AM}=\overline{GC}:\overline{AG}
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mo 02.03.2009 | | Autor: | sunny9 |
Vielen Dank, ich hab gesehen, das deine Wahl noch besser ist.
Ich habe meine dritte Koordinate trotzdem nochmal angeguckt.
Dann kommt $ [mm] \begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix} [/mm] $ $ [mm] \times \begin{pmatrix} a \\ -a \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cdot{}0-a\cdot{}(-a) \\ a\cdot{}a-a\cdot{}0 \\ a\cdot{}(-a)-a\cdot{}a \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ -a^2-a^2 \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ 2*(-a^2) \end{pmatrix} [/mm] $ raus?
Dann hab ich am Ende:$ [mm] \wurzel{(a^2)^2+(a^2)^2+(2*(-a^2))^2} [/mm] $ ja?
Und wenn ich das dann ausrechne: [mm] 4a^2 [/mm] bei mir raus, aber das ist falsch...
Nach deiner Wahl bekomme ichs hin, aber ich wüsste noch gerne, warums mit der anderen nicht klappt?
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> Vielen Dank, ich hab gesehen, das deine Wahl noch besser
> ist.
> Ich habe meine dritte Koordinate trotzdem nochmal
> angeguckt.
>
> Dann kommt [mm]\begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}[/mm] [mm]\times \begin{pmatrix} a \\ -a \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cdot{}0-a\cdot{}(-a) \\ a\cdot{}a-a\cdot{}0 \\ a\cdot{}(-a)-a\cdot{}a \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ -a^2-a^2 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ 2*(-a^2) \end{pmatrix}[/mm] raus?
>
> Dann hab ich am Ende:[mm] \wurzel{(a^2)^2+(a^2)^2+(2*(-a^2))^2}[/mm]
> ja?
Ich erhalte hier [mm] $\wurzel{6}a^2$
[/mm]
>
> Und wenn ich das dann ausrechne: [mm]4a^2[/mm] bei mir raus, aber
> das ist falsch...
> Nach deiner Wahl bekomme ichs hin, aber ich wüsste noch
> gerne, warums mit der anderen nicht klappt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mo 02.03.2009 | | Autor: | sunny9 |
Ja, jetzt komm ich auch drauf, vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Mo 02.03.2009 | | Autor: | sunny9 |
oh, Entschuldigung, das sollte eine Mitteilung sein...
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