Abstand von zwei Ebenen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | Masaky |
Hey,
also wenn ich zwei Ebenen in Normalenform habe, die einen kollinearen Normalenvektor haben, sinddiese ja linear abhängig, oder?
Aber wie gucke ich, ob sie parallel sind?
Dann muss doch ein Punkt von der Ebene 1 irgendein Abstand zur Ebene 2 haben, oder geht das noch anders?
WIe geht man da vor?
Dankee :)
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> Hey,
> also wenn ich zwei Ebenen in Normalenform habe, die einen
> kollinearen Normalenvektor haben, sinddiese ja linear
> abhängig, oder?
>
> Aber wie gucke ich, ob sie parallel sind?
> Dann muss doch ein Punkt von der Ebene 1 irgendein Abstand
> zur Ebene 2 haben, oder geht das noch anders?
Hallo Masaky,
was willst du nun genau ?
nur zwei Ebenen auf Parallelität prüfen oder ihren
Abstand berechnen oder beides ?
Was ist gegeben und was ist gesucht ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Do 10.06.2010 | | Autor: | Masaky |
Ja ich will beides...
naja ich dachte allgemein halten würde schneller gehen, aber anscheinend nicht!
Also: E: (x - [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1 }) [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] = 0
F: (x - [mm] \vektor{6 \\ -5 \\ 0 }) [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ -2 } [/mm] = 0
So E und F sind ja linearr abhängig, also parallel oder identisch, oder?!
Aber wie berechne ich hier den Abstand?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Do 10.06.2010 | | Autor: | Pappus |
> Ja ich will beides...
> naja ich dachte allgemein halten würde schneller gehen,
> aber anscheinend nicht!
>
> Also: E: (x - [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1 })[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
> = 0
>
> F: (x - [mm]\vektor{6 \\ -5 \\ 0 })[/mm] * [mm]\vektor{-2 \\ 2 \\ -2 }[/mm] =
> 0
>
>
> So E und F sind ja linearr abhängig, also parallel oder
> identisch, oder?!
>
> Aber wie berechne ich hier den Abstand?
Guten Tag!
1. [mm]P(2 / 3 / 1) \in E[/mm] und [mm]Q(6 / -5 / 0) \in F[/mm]
2. Der Abstand von P zu F stimmt mit dem Abstand der Ebenen überein.
3. Benutze für die Abstandsberechnung die Hesse'sche Normalenform der Ebenengleichung.
Viel Erfolg!
Pappus
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> Ja ich will beides...
> naja ich dachte allgemein halten würde schneller gehen,
> aber anscheinend nicht!
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> Also: E: (x - [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1 }) * \vektor{1 \\ -1 \\ 1 }= 0[/mm]
>
> F: (x - [mm]\vektor{6 \\ -5 \\ 0 }) * \vektor{-2 \\ 2 \\ -2 }= 0[/mm]
>
> So E und F sind ja linear abhängig, also parallel oder
> identisch, oder?!
>
> Aber wie berechne ich hier den Abstand?
Guten Abend !
Zunächst verstehe ich nicht, weshalb du für die Darstellung
der Ebenengleichungen von E und F verschiedene Normalen-
vektoren benützt. Diese sind ja offensichtlich kollinear bzw.
parallel zueinander. Also kann man ebensogut für beide Ebenen
wirklich denselben Normalenvektor verwenden. Schreibe also
die Ebenengleichung der zweiten Ebene so:
F: (x - [mm]\vektor{6 \\ -5 \\ 0 }) * \vektor{1 \\ -1 \\ 1 }= 0[/mm]
Ferner würde ich empfehlen, beide Ebenengleichungen auf
Koordinatenform zu bringen, d.h. auszumultiplizieren und
möglichst zu vereinfachen. Die Ebenengleichungen haben dann
die Form:
E: [mm] x-y+z=c_E
[/mm]
F: [mm] x-y+z=c_F
[/mm]
Übrigens sind nicht die Ebenen linear abhängig, sondern
ihre Normalenvektoren. Die Ebenen sind zueinander parallel,
eventuell sogar identisch (letzteres, falls sich herausstellen
sollte, dass [mm] c_E=c_F [/mm] ist).
Den Abstand der beiden Ebenen ermittelt man am besten,
indem man die Ebenengleichungen auf die "Hessesche
Normalform" bringt. Dies erreicht man, wenn man den
Normalenvektor auf Einheitslänge bringt. Da im vorlie-
genden Beispiel der Normalenvektor [mm] \vec{n}=\pmat{1\\-1\\1} [/mm] den
Betrag [mm] |\vec{n}|=\sqrt{3} [/mm] hat, muss man die vorherigen
Gleichungen nur durch diesen Wert dividieren und hat:
E: [mm] \frac{x-y+z}{\sqrt{3}}=\frac{c_E}{\sqrt{3}}
[/mm]
F: [mm] \frac{x-y+z}{\sqrt{3}}=\frac{c_F}{\sqrt{3}}
[/mm]
Wenn die Ebenengleichungen der parallelen Ebenen so
normiert sind, entspricht ihr Abstand der Differenz der
Konstanten auf der rechten Seite:
$\ Abstand(E,F)\ =\ [mm] \left|\frac{c_E}{\sqrt{3}}\,-\,\frac{c_F}{\sqrt{3}}\right|\ [/mm] =\ [mm] \frac{\left|c_E\,-\,c_F\right|}{\sqrt{3}}$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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