Abstand windschiefer Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | mm ich hab mal ne frage ich zur Abstandsbestimmung .
wie kann man diese Formel [mm] [\vec{a}-\vec{b}]*\vec{n_0} [/mm] herleiten.
das mit den parallelen ebenen habe ich verstanden. das mit dem Normalenvektor versteht man auch aber wieso werden die stürzvektoren der beiden Geraden von einander abgezogen, das vestehe ich nicht so ganz... |
danke für antwort
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Hallo,
> [mm][\vec{a}-\vec{b}]*\vec{n_0}[/mm]
[mm]\vec{a}-\vec{b}[/mm] verläuft irgendwie schräg zwischen den beiden Geraden. Wenn man ihn auf [mm]\vec{n_0}[/mm] projiziert, hat man den Abstand zwischen den Geraden (eventuell mit neg. Vorzeichen, dann Betrag nehmen).
Die entscheidende Idee ist hier also die Projektion eines Vektors auf einen Einheitsvektor, die ja auch bei Ebenen in der Hesseschen Normalform benutzt wird.
Gruß, MatheOldie
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| Aufgabe | | mmm...ok aber ich verstehs immer noch nicht wegen den stützvektoren.... |
trotzdem danke
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> mmm...ok aber ich verstehs immer noch nicht wegen den
> stützvektoren....
> trotzdem danke
Hallo,
Voraussetzung für das, was ich schreibe, ist, daß Du das Skalarprodukt wirklich verstanden hast.
Schau Dir mal das ![[]](/images/popup.gif) Bildchen an, welches ich gut gelungen finde.
Unten hast Du die grüne Gerade h, oben die blaue g.
Der vektor [mm] \vec{n} [/mm] steht auf g und h senkrecht, und wir stellen uns mal vor, daß er schon normiert ist, also der Vektor [mm] \vec{n_0}.
[/mm]
Jetzt denke Dir die verbindung von P und Q.
Erkennst Du, daß ihre senkrechte Projektion auf die rote Ebene gerade so lang ist wie d? Und genau diese senkrechte Projektion auf die Ebene ist doch die Projektion von [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] auf den Normaleneinheitsvektor, also das Skalarprodukt.
Gruß v. Angela
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