Abstand zweier Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Mo 21.06.2010 | | Autor: | LadyVal |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Abstand zwischen den Geraden mit den Gleichungen
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 5} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = t [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -3} [/mm] |
Hallo,
da man den Abstand berechnen soll, gehe ich davon aus, dass es einen gibt und somit die beiden Geraden echt parallel sind.
Wenn ich mein übliches Schema anwende, nämlich
1. Schritt: Hilfsebene H durch eine der beiden Geraden legen, welche parallel zur anderen Geraden (nenne sie 'h') verläuft
2. Schritt: Abstand der beiden Geraden ist gleich dem Abstand von H zum Stützpunkt der Geraden 'h'
erhalte ich für den Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren den Nullvektor.
(Wenn H parallel zur zweiten Geraden sein soll, muss sie den gemeinsamen Normalenvektor der beiden Geraden als Normalenvektor besitzen).
Wenn ich den Nullvektor erhalte, komme ich beim Einsetzen in die HNF zu folgender problematischen Aussage:
d(g;h) = d(g, H) = [mm] \vmat{ [...] \* \bruch{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}}{\vmat{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}}}}
[/mm]
Es muss also irgendwie anders gehen... nur wie?
Bin Euch dankbar für jegliche Hilfe! :')
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Mo 21.06.2010 | | Autor: | Wredi |
Hi,
ich gehe an solche Aufgaben auch mit einer Hilfsebene ran, die liegt bei mir anders:
1. Konstruiere Hilfsebene H in der Normalform von Gerade g (als Ortsvektor von H wird der Ortsvektor von g, der Normalvektor von H ist der Richtungsvektor von g)
2. Bestimme den Schnittpunkt der parallelen Geraden h mit Hilfsebene H
3. Bestimme den Abstand des Schnittpunkten von h und H und dem ortsvektor von g.
MfG
Wredi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Mo 21.06.2010 | | Autor: | LadyVal |
Okay, wenn ich mich an Deine Schritte halte, sieht H folgendermaßen aus:
H: [mm] \pmat{ \vektor{2 \\ 5 \\ 5} - \vec{x}} \* \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] = 0
Schnittpunkt von H und h wäre demnach:
[mm] \vektor{2+t \\ 5+t \\ 5+3t} \* \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] = 0
Ausmultipliziert erhält man:
I. 2+ t = 0
II. 5+ t = 0
III. 15+9t = 0
Und das liefert einen Widerspruch.
Wo liegt der Denkfehler? :'(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mo 21.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> Okay, wenn ich mich an Deine Schritte halte, sieht H
> folgendermaßen aus:
>
> H: [mm]\pmat{ \vektor{2 \\ 5 \\ 5} - \vec{x}} \* \vektor{1 \\ 1 \\ 3}[/mm]
> = 0
>
> Schnittpunkt von H und h wäre demnach:
>
> [mm]\vektor{2+t \\ 5+t \\ 5+3t} \* \vektor{1 \\ 1 \\ 3}[/mm] = 0
>
> Ausmultipliziert erhält man:
>
> I. 2+ t = 0
> II. 5+ t = 0
> III. 15+9t = 0
>
> Und das liefert einen Widerspruch.
>
> Wo liegt der Denkfehler? :'(
ich nehme jetzt einfach mal an, dass du h und H richtig bestimmt hast.
dein Denkfehler liegt beim SKALARprodukt. dort erhölst du keine drei gleichungen, sondern eine gleichung mit einer varialben, denn das SKALARprodukt liefert dir eine "Zahl" und keinen Vektor.
MfG
Wredi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Mo 21.06.2010 | | Autor: | LadyVal |
Okeh, Skalarprodukt.
Ja.
Natürlich
Ich schäme mich ein bisschen :'D
Alles gut.
Danke :')
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mo 21.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe eben was gelesen, nämlich dass Du bei
$ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 5} [/mm] $ + t $ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] $
$ [mm] \vec{x} [/mm] $ = t $ [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -3} [/mm] $
hier angeblich "eine Ebene bestimmen willst, die parallel zu einer der beiden Geraden ist".
Ist Dir klar, dass Du (durch Drehung der Ebene um eine Gerade) hier keine eindeutig bestimmte Ebene erhalten kannst, sondern dass es derer unendlich viele gibt? Denn ohne es wirklich rechnerisch nachvollzogen zu haben: Vermutlich wird da in der Rechnung etwas schiefgehen...
(Man kann sich das sehr schön veranschaulischen, indem man zwei Bleistifte echt parallel zueinander im Raum hat (symbolisch für die echt parallelen Geraden), und dann eine flache Hand für die Ebene symbolisch benutzt und diese um den anderen Bleistift dreht (entlang der Bleistiftachse).)
Es wäre sinnvoll, eine weitere Bedingung an die Ebene zu stellen, also nicht nur, dass sie zur anderen Gerade parallel verläuft.
Ein Ausweg wäre sicherlich:
Die gesuchte parallele Ebene soll senkrecht zur Ebene [mm] $E(g)\,$ [/mm] steht, die entsteht, wenn man fordert, dass eine der Geraden [mm] $g\,$ [/mm] in $E(g)$ liegen soll und ein anderer Richtungsvektor von $E(g)$ gerade als Differenzvektor (irgend-)zweier Punkte der Geraden ist, wobei nicht beide gleichzeitig auf der selben Geraden liegen dürfen.
Anders formuliert:
Du forderst nicht nur, dass die Ebene parallel zu der festgehaltenen Geraden ist, sondern auch zudem, dass diese parallele Ebene senkrecht auf der Ebene steht, die die beiden Geraden enthält.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:52 Di 22.06.2010 | | Autor: | LadyVal |
Schwere Kost um diese Zeit :')
Aber ich glaube, ich habe verstanden, was Du schriebst. Ich denke morgen früh nochmals mit wachem Geist darüber nach.
In jedem Fall ein herzliches Dankeschön!
Gute Nacht Dir (und dem Forum) :')
LG
Val
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