Abstandsberechnung Punkt-Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Grüble gerade an einer Hausaufgabe, die ich einfach nicht rausbekomme! wäre nett, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte, oder den Lösungsweg!
Habe schon verschiedene Ansätze probiert, von denen aber keiner zur richtigen Lösung führte..
Hier die Aufgabe:
"Bestimme eine Gleichung der Ebene durch A(2|3|4) und B(6|5|16), welche vom Ursprung den Abstand 2 hat."
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Vielen Dank!
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Um eine Ebene aufzuspannen, brauchst du einen dritten punkt P. Wähle als P einen Punkt mit Abstand 2 vom Ursprung.
Also etwa P(x,y,z) wobei [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] = 4 ist.
nun müssen noch die Nebenbedingungen
a) AP steht senkrecht auf OP (O=(0,0,0))
b) BP steht senkrehct auf OP
Dann müsste eigentlich genau ein Punkt übrigbleiben.
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Danke erstmal für deine Antwort!
Wenn ich jetzt diese drei Bedingungen in Gleichungen fasse, bleiben folgende drei Gleichungen:
I
[mm] x^{2}+y^{2}+z^{2} [/mm] = 4
II
[mm] x^{2}+y^{2}+z^{2} [/mm] - 2x - 3y - 4z = 0
III
[mm] x^{2}+y^{2}+z^{2} [/mm] - 6x - 5y - 16z = 0
Wie bekomme ich daraus die Koordinaten für P?
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also in II und III kannst du die summe der quadrate mit 4 ersetzen. Dann hast du 2 gleichungen mit 3 unbekannten. Du kannst also etwa y in x,z ausdrücken. Dieses solltest du mal in [mm] x^2+y^2+z^2=4 [/mm] einsetzen, und dann das ergebnis betrachten. (Sitze gerade in einem Seminar, wenn de das gemacht hast, kann ich dir weiterhelfen.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Fr 19.11.2004 | | Autor: | matze_v1.0 |
Ja, habe ich dann auch rausgefunden! Hatte es erst mit einem LGS mit Setzen usw. versucht und bin immer auf ein falsches Ergebnis gekommen!
Die Methode mit dem Eliminieren ergab dann irgendwann das richtige Ergebnis! Vielen Dank für Deine Hilfe! Grüße,
Matthias 
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Hallo:
Gegeben: zwei Punkte A(2|3|4) und B(6|5|16) einer Ebene mit Abstand 2 zum Ursprung.
Setzen wir uns als Ziel, die Geradengleichung in der Normalform
ux+vy+wz=2
zu erhalten. Wegen Punkt A wissen wir
2u+3v+4w=2,
wegen Punkt B analog.
"Normal" in der Normalform heißt, dass der Vektor (u,v,w) normiert ist, also den Betrag 1 hat, Also [mm] u^2+v^2+w^2=1, [/mm] Das ist unangenehm, weil nicht linear. Nach festem Schema können wir doch nur lineare Gleichungssysteme lösen. Deshalb ein Trick: wir verzichten zunächst darauf, dass der Normalenvektor normiert ist. Dann können wir eine der drei Vektorkomponenten fest vorgeben (sofern sie nicht gerade 0 sein müsste). Geben wir also willkürlich u=1 vor. Die nun unbekannte Länge des Normalenvektors nennen wir c. Dann ändert sich die Gleichung, die aus Punkt A folgt, in
2*1+3v+4w=2c.
Dazu eine analoge Gleichung aus Punkt B, ergibt ein lineares Gl.Syst., also können wir v und w bestimmen.
In einem letzten Schritt verwenden wir die Normierungsbedingung, um c zu bestimmen.
Hab's nicht durchgerechnet, bin aber sehr zuversichtlich, dass es so geht.
Viel Erfolg, PP
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Fr 19.11.2004 | | Autor: | matze_v1.0 |
Danke für die Hilfe, jetzt habe ich es auch rausbekommen!
Eine kleine Aufgabe hinter der doch mehr steckt als man denkt..
Vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo matze
denk aber bitte daran, dass es 2 Lösungen gibt!
Der Abstand kann ja +2 oder auch -2 sein!
Mit lieben Grüssen
paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Fr 19.11.2004 | | Autor: | matze_v1.0 |
ja stimmt, es gibt zwei Ebenen, die die Bedingungen erfüllen, danke für den Hinweis!
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